Exercices: Fonctions puissances

Identifier lesquelles des expressions algébriques suivantes correspondent à une fonction puissance :

• $f(x) = 3x^2$

• $g(x) = 2^x$

• $h(x) = \frac{5}{x^3}$

• $i(x) = x^{1/2}$

Soit la fonction puissance $f(x) = 2x^4$. Calculer les images de $x = -2$, $x = 0$ et $x = 3$.

Indiquer l'ensemble de définition et déterminer le type de symétrie (paire, impaire ou aucune) de la fonction puissance $f(x) = x^6$.

Déterminer la valeur du coefficient $k$ de la fonction puissance $f(x) = k \cdot x^3$ sachant que sa courbe passe par le point de coordonnées $(2 ; 40)$.

Exprimer à l'aide d'une fonction puissance l'aire $A$ d'un disque en fonction de son rayon $r$. Quel est le degré de cette fonction puissance ?

Indiquer l'ensemble de définition et les équations des asymptotes verticales et horizontales de la fonction puissance $f(x) = x^{-2}$.

Écrire l'expression algébrique de la fonction qui, à tout nombre réel positif, associe sa racine cubique, en l'exprimant sous forme de puissance à exposant fractionnaire.

Sachant que la courbe d'une fonction puissance de la forme $f(x) = x^n$ passe par le point $(3 ; 81)$, déterminer la valeur de l'exposant $n$.

Lucie analyse les propriétés de deux fonctions puissances, $f(x) = 3 \cdot x^{-2}$ et $g(x) = 2 \cdot x^{1/4}$, et écrit dans son cahier :\n1. « Comme $f(0) = 3 \cdot 0^{-2} = 0$, la courbe de $f$ coupe l'axe $Y$ à l'origine $(0 ; 0)$ ».\n2. « Pour la fonction $g$, comme la racine quatrième de $16$ est $2$, si l'on prend une valeur négative on obtient $g(-16) = 2 \cdot (-16)^{1/4} = 2 \cdot (-2) = -4$, donc son ensemble de définition est ℝ tout entier ».\nIdentifier en justifiant l'erreur de raisonnement commise dans chacune des deux affirmations, expliquer pourquoi son calcul est incorrect et indiquer quel est le véritable ensemble de définition de chacune de ces fonctions.

Écrire l'expression algébrique d'une fonction puissance de la forme $f(x) = a \cdot x^n$ vérifiant simultanément les conditions suivantes :\na) Son exposant $n$ est un entier strictement négatif et sa courbe est symétrique par rapport à l'axe $Y$ (fonction paire, où $f(-x) = f(x)$).\nb) Elle admet une asymptote verticale d'équation $x = 0$ et une asymptote horizontale d'équation $y = 0$.\nc) Sa courbe passe par le point $P(2 ; 0,75)$.\nJustifier le choix de la valeur de $n$ la plus simple possible vérifiant les conditions et calculer en détail la valeur du coefficient $a$, en l'exprimant sous forme de fraction irréductible ou de nombre décimal.

L'intensité lumineuse $I$ reçue par un objet est inversement proportionnelle au carré de la distance $d$ à la source lumineuse, ce qui se modélise par la fonction puissance $I(d) = k \cdot d^{-2}$. Si, à une distance de $2$ mètres, l'intensité est de $100$ lux, déterminer l'expression complète de la fonction et calculer l'intensité reçue par l'objet à $5$ mètres de distance.

Déterminer par le calcul les points d'intersection des courbes des fonctions puissances $f(x) = x^2$ et $g(x) = x^4$.

L'énergie cinétique d'un corps en mouvement est donnée par la formule $E_c(v) = \frac{1}{2} m v^2$. Si la masse d'un véhicule est de $1200$ kg, exprimer son énergie cinétique comme une fonction puissance de sa vitesse $v$ (en m/s) et calculer l'énergie qu'il possède lorsqu'il roule à $20$ m/s.

Observer le graphique suivant qui représente deux fonctions puissances dans le premier quadrant.

Sachant que les expressions analytiques correspondent à $y = x^2$ et $y = x^3$, identifier laquelle est $f(x)$ et laquelle est $g(x)$. À partir du graphique et des expressions, déterminer sur quel intervalle strictement positif la fonction cube prend des valeurs inférieures à celles de la fonction carré.

Le rayon $r$ (en cm) d'une tache d'huile circulaire qui s'étale sur l'eau croît avec le temps $t$ (en minutes) selon la fonction puissance $r(t) = 2 \cdot t^{1/2}$. Calculer le rayon de la tache au bout de $0,25$ minutes et déterminer combien de temps doit s'écouler pour que le rayon de la tache soit exactement de $4$ cm.

Une fonction puissance est donnée par l'expression $f(x) = a \cdot x^n$. Déterminer les valeurs exactes du coefficient $a$ et de l'exposant $n$ sachant que la courbe passe par les points $(1 ; 5)$ et $(2 ; 40)$.

Soit la fonction $f(x) = -3x^{-3}$. Déterminer son ensemble de définition, son ensemble image et étudier par le calcul si elle présente une symétrie (paire ou impaire).

Le volume d'une boule en fonction de son rayon se calcule par la formule $V(r) = \frac{4}{3}\pi r^3$. Exprimer le rayon $r$ comme une fonction puissance du volume $V$. Utiliser cette nouvelle fonction pour calculer une valeur approchée du rayon d'une boule de volume $1000$ cm$^3$ (prendre $\pi \approx 3,14$).

Dans un parc éolien d'Aragon, la puissance électrique $P$ (en kilowatts, kW) produite par une éolienne est modélisée par la fonction puissance $P(v) = k \cdot v^3$, où $v$ représente la vitesse du vent (en m/s). Les données de télémétrie indiquent que, pour une vitesse de vent de $5\text{ m/s}$, la puissance produite est de $50\text{ kW}$.\na) Avant tout calcul algébrique, faire une estimation justifiée : si la vitesse du vent double et atteint $10\text{ m/s}$, la puissance sera-t-elle doublée ($100\text{ kW}$), quadruplée ($200\text{ kW}$) ou augmentera-t-elle encore davantage ? Justifier la conjecture à partir des propriétés de l'exposant 3.\nb) Déterminer la valeur exacte de la constante $k$ à partir de la donnée initiale.\nc) Calculer par le calcul la puissance $P(10)$ et vérifier si l'estimation était correcte en calculant le rapport exact entre $P(10)$ et $P(5)$.

Une fonction puissance de la forme $f(x) = a \cdot x^n$ passe par les points $A(2\,;\,6)$ et $B(6\,;\,54)$. Pour déterminer les valeurs exactes des paramètres $a$ et $n$, deux camarades de classe proposent des démarches différentes :\n- Méthode de Xavier (quotient direct) : il pose le système $\begin{cases} 6 = a \cdot 2^n \\ 54 = a \cdot 6^n \end{cases}$, divise la deuxième équation par la première pour éliminer le coefficient $a$ et regroupe les puissances de même base : $\frac{54}{6} = \left(\frac{6}{2}\right)^n \implies 9 = 3^n$.\n- Méthode d'Hélène (linéarisation par les logarithmes) : elle prend les logarithmes décimaux des deux membres de chaque équation pour transformer le système en un système linéaire de deux équations à deux inconnues, $\log(a)$ et $n$, qu'elle résout ensuite par combinaison linéaire.\na) Compléter les étapes de la méthode de Xavier et calculer les valeurs de $n$ et de $a$.\nb) Comparer les deux procédés et justifier lequel des deux est le plus efficace dans ce cas particulier.\nc) Expliquer quelle caractéristique devraient avoir les coordonnées des points pour que la méthode de Xavier ne puisse pas se résoudre immédiatement à vue et qu'il soit justifié de recourir à la méthode d'Hélène.

Le métabolisme basal $T$ (en kcal/jour) des mammifères est modélisé en fonction de leur masse corporelle $M$ (en kg) par la fonction puissance de Kleiber : $T(M) = 70 \cdot M^{3/4}$. Calculer le métabolisme basal d'un chien de $16$ kg. Déterminer ensuite la masse approximative d'un animal dont le métabolisme est de $7000$ kcal/jour.

Le graphique suivant représente trois fonctions puissances d'expressions $y = x^{-1}$, $y = x^{-2}$ et $y = x^{1/2}$.

Associer chaque courbe (A, B et C) à son expression analytique correspondante, en justifiant la réponse à partir de l'ensemble de définition, de la parité et du comportement asymptotique de chacune.

Déterminer par le calcul les points d'intersection entre la fonction cube $f(x) = 8x^3$ et la fonction inverse $g(x) = x^{-1}$.

La troisième loi de Kepler établit que le carré de la période orbitale $T$ d'une planète est proportionnel au cube de sa distance moyenne au Soleil $R$, c'est-à-dire $T^2 = k \cdot R^3$. Pour la Terre, on a $T = 1$ an et $R = 1$ UA (unité astronomique). Exprimer la période $T$ comme une fonction puissance de $R$. Utiliser cette fonction pour calculer la période orbitale de Jupiter, sachant que sa distance moyenne au Soleil est de $5,2$ UA.

La force de résistance aérodynamique subie par un cycliste est proportionnelle au carré de sa vitesse, ce qui s'exprime par $F(v) = k \cdot v^2$. À une vitesse de $10$ m/s, la force mesurée est de $30$ N. Démontrer par le calcul par quel facteur exact la force de résistance est multipliée si le cycliste double sa vitesse (en passant d'une vitesse quelconque $v_0$ à $2v_0$) et calculer la nouvelle force lorsqu'il roule à $20$ m/s.

Déterminer l'expression analytique de la fonction puissance $f(x) = a \cdot x^n$ sachant que sa courbe passe par les points $(2 ; 2)$ et $(8 ; 16)$. Exprimer l'exposant $n$ sous forme de fraction irréductible.

Soit la fonction puissance à exposant fractionnaire $f(x) = x^{2/3}$ :

• Déterminer son ensemble de définition.

• Calculer les valeurs exactes de $f(8)$ et $f(-8)$.

• Justifier par le calcul si la fonction est paire, impaire ou ni l'une ni l'autre.

Le coût de production d'un composant électronique diminue à mesure que le nombre d'unités fabriquées augmente, selon la fonction puissance $C(x) = 5000 \cdot x^{-1/2}$, où $x$ est le nombre de composants et $C(x)$ est le coût unitaire en euros. Calculer le coût unitaire de production de $100$ composants et déterminer combien de composants il faut fabriquer au total pour que le coût unitaire descende à $25$ euros.

D'après des études techniques de la Sécurité routière, la distance de freinage $d$ (en mètres) d'une voiture sur route sèche jusqu'à l'arrêt complet est modélisée par une fonction puissance $d(v) = a \cdot v^n$, où $v$ est la vitesse de circulation (en km/h). Lors des essais d'homologation, on observe qu'à $40\text{ km/h}$ la distance de freinage est de $8\text{ mètres}$, tandis qu'à $80\text{ km/h}$ elle s'élève à $32\text{ mètres}$.\na) Déterminer par le calcul l'expression de la fonction en déduisant l'exposant entier $n$ et la constante $a$.\nb) En Espagne, la vitesse maximale dans les traversées urbaines à une seule voie par sens a été abaissée de $50\text{ km/h}$ à $30\text{ km/h}$. Calculer la distance de freinage associée à chaque vitesse et déterminer le pourcentage exact de réduction que représente cette mesure.\nc) Un conducteur affirme : « Si je roule à $140\text{ km/h}$ sur une autoroute espagnole au lieu de la limite de $120\text{ km/h}$, comme je vais seulement $16,7\,\%$ plus vite, ma distance de freinage n'augmentera quasiment que de ce même pourcentage ». Réfuter mathématiquement son argument à partir du comportement de la fonction puissance et calculer l'augmentation réelle, en pourcentage, de sa distance de freinage.

On souhaite concevoir la formule d'une fonction puissance $f(x) = a \cdot x^n$ modélisant la concentration résiduelle d'une substance et vérifiant simultanément quatre conditions mathématiques :

1. Son ensemble de définition ne contient ni valeurs négatives ni zéro, et est naturellement restreint à $]0\,;+\infty[$.

2. Elle admet pour asymptotes les axes du repère : une asymptote verticale d'équation $x = 0$ et une asymptote horizontale d'équation $y = 0$.

3. Si l'on multiplie la valeur de la variable par $9$, la valeur de la fonction est exactement divisée par 3 ; c'est-à-dire $f(9x) = \frac{1}{3} \cdot f(x)$ pour tout $x > 0$.

4. La courbe passe par le point $P(4; 2,5)$.

1. a) À partir des conditions 1 et 2, déduire en justifiant si l'exposant $n$ doit être positif ou négatif, et pourquoi il doit être une fraction de dénominateur pair.

1. b) Appliquer la condition 3 pour déterminer la valeur exacte de l'exposant $n$.

1. c) Déterminer la valeur de la constante $a$ à l'aide des coordonnées du point $P$ et écrire la fonction finale à la fois sous forme de puissance et sous forme de radical.