Exercices: Inéquations à une inconnue

Résoudre l'inéquation du premier degré suivante : $3(x - 2) + 4 \leq 5x - 8$. Exprimer la solution sous forme d'intervalle.

Résoudre l'inéquation avec dénominateurs : $\frac{x}{2} - \frac{x-1}{3} > 1$.

Déterminer les valeurs de $x$ qui vérifient l'inéquation du second degré, déjà présentée sous forme factorisée : $(x - 4)(x + 2) < 0$.

Résoudre l'inéquation incomplète du second degré suivante et représenter sa solution sur la droite réelle : $2x^2 - 18 \geq 0$.

Déterminer l'intervalle solution de l'inéquation du second degré : $x^2 - 5x + 6 \leq 0$.

Résoudre le système d'inéquations à une inconnue suivant et exprimer la solution sous la forme d'un unique intervalle :

$2x - 3 < 5$

$3x + 1 \geq -2$

Résoudre l'inéquation rationnelle simple en étudiant le signe du numérateur et du dénominateur : $\frac{x-3}{x+1} \leq 0$.

La somme du double d'un entier naturel et de $5$ est strictement inférieure à $17$. Écrire l'inéquation correspondante et déterminer tous les entiers naturels qui la vérifient.

Marc résout l'inéquation rationnelle $\frac{6}{x - 2} \leq 2$. Pour éliminer le dénominateur, il décide de multiplier les deux membres par $(x - 2)$, et obtient $6 \leq 2(x - 2)$. Après calculs, il conclut que la solution est $x \geq 5$, c'est-à-dire l'intervalle $[5 ; +\infty[$. a) Identifier l'erreur de raisonnement commise par Marc dans sa première étape et expliquer pourquoi il n'est pas permis de multiplier les deux membres d'une inéquation par une expression littérale dont on ne connaît pas le signe. b) Trouver un contre-exemple numérique (une valeur de $x$) qui vérifie l'inéquation initiale mais n'appartient pas à la solution de Marc. c) Résoudre correctement l'inéquation en regroupant tous les termes dans le premier membre, en les réduisant en une seule fraction et en étudiant les signes obtenus.

On considère l'inéquation polynomiale du second degré $x^2 - 2x - 8 < 0$. a) Avant tout calcul algébrique, estimer le signe du polynôme en l'évaluant mentalement pour des valeurs simples comme $x = -3$, $x = 0$ et $x = 5$. À l'aide de cette estimation, prévoir en justifiant si l'ensemble des solutions sera un intervalle borné de la forme $]a ; b[$ ou la réunion de deux demi-droites infinies. b) Résoudre l'inéquation pas à pas en factorisant le polynôme et en dressant un tableau de signes. c) Vérifier si l'intervalle obtenu coïncide avec la prévision initiale et justifier si les valeurs aux bornes $x = -2$ et $x = 4$ appartiennent ou non à l'ensemble des solutions.

Résoudre l'inéquation suivante en faisant attention aux signes négatifs devant les fractions : $\frac{2x - 1}{4} - \frac{3x + 2}{6} \geq \frac{x - 5}{3} - 1$.

On veut aménager un jardin rectangulaire dont la longueur dépasse de $4$ mètres la largeur $x$. On dispose d'assez d'engrais pour couvrir au maximum $45 \text{ m}^2$. Écrire une inéquation et déterminer les valeurs possibles de la largeur $x$.

Une petite entreprise d'artisanat a des charges fixes mensuelles de $300$ euros et la fabrication de chaque bracelet en cuir lui coûte $2$ euros. Si elle vend chaque bracelet $5$ euros, combien de bracelets doit-elle vendre au minimum par mois pour commencer à réaliser des bénéfices ? Écrire et résoudre l'inéquation.

Résoudre l'inéquation rationnelle : $\frac{2x + 1}{x - 2} > 3$. Penser à regrouper tous les termes dans un seul membre et à calculer pour obtenir un unique quotient avant d'étudier les signes.

Résoudre l'inéquation polynomiale de degré supérieur en factorisant au préalable par le facteur commun : $x^3 - 4x^2 - 5x \leq 0$.

Résoudre l'inéquation avec valeur absolue et exprimer sa solution comme réunion d'intervalles : $|2x - 5| \geq 7$.

Une camionnette de livraison consomme $8$ litres de carburant tous les $100 \text{ km}$ sur route et $12$ litres tous les $100 \text{ km}$ en ville. Sur un trajet de $500 \text{ km}$ au total, elle a consommé moins de $45$ litres. Combien de kilomètres a-t-elle pu parcourir au maximum en ville ?

Déterminer pour quelles valeurs du paramètre $k$ l'équation du second degré $x^2 - kx + 9 = 0$ n'a pas de solution réelle. Écrire l'inéquation correspondante à l'aide du discriminant et la résoudre.

Une étudiante de Marseille doit se rendre chaque jour à sa faculté en utilisant le métro. Pour la zone qu'elle parcourt, deux options tarifaires s'offrent à elle : option A, acheter des tickets unitaires à $2,80$ € le trajet ; ou option B, souscrire un abonnement mensuel de trajets illimités à $36$ € par mois, auquel s'ajoute un paiement unique de $4$ € le premier mois pour l'émission de la carte personnalisée. a) Écrire une inéquation du premier degré à une inconnue qui détermine à partir de combien de trajets par mois l'option B est strictement moins chère que l'option A pendant le premier mois d'utilisation. b) Résoudre l'inéquation et interpréter la solution en indiquant le nombre entier minimal de trajets nécessaires pour amortir l'abonnement. c) Si le mois scolaire compte 21 jours et qu'elle effectue 2 trajets par jour (aller et retour), calculer combien d'argent elle économise par mois avec l'option la plus avantageuse par rapport à l'autre.

Pour résoudre l'inéquation avec valeur absolue $|2x - 6| \leq 10$, on envisage deux stratégies différentes : voie 1 (méthode algébrique), transformer l'expression en la double inégalité simultanée $-10 \leq 2x - 6 \leq 10$ et isoler $x$ ; et voie 2 (interprétation géométrique), factoriser pour écrire $2 \cdot |x - 3| \leq 10$, simplifier en $|x - 3| \leq 5$ et interpréter la distance à la valeur centrale $3$ sur la droite réelle. a) Développer explicitement les deux procédés et vérifier que l'on obtient exactement le même intervalle solution. b) Justifier laquelle des deux méthodes vous semble la plus efficace et laquelle minimise le risque d'erreurs de signes. c) Expliquer comment adapter la démarche de chaque voie si l'inéquation était stricte et de sens opposé : $|2x - 6| > 10$.

Résoudre l'inéquation rationnelle dans laquelle le numérateur et le dénominateur sont des polynômes du second degré : $\frac{x^2 - 2x - 8}{x^2 - 9} \leq 0$.

Résoudre le système d'inéquations suivant et expliquer la particularité de son ensemble de solutions :

$x^2 - 4x + 4 \leq 0$

$2x - 1 > 0$

Lors d'une expérience scolaire, on lance une fusée à eau verticalement vers le haut. Sa hauteur $h$ en mètres en fonction du temps $t$ en secondes est donnée par l'expression $h(t) = -5t^2 + 20t + 2$. Déterminer algébriquement pendant quel intervalle de temps la fusée se trouvera au-dessus de $17 \text{ m}$ de hauteur.

Résoudre l'inéquation avec valeur absolue comportant des expressions fractionnaires : $\left| \frac{3x - 1}{2} \right| < 4$.

Les bénéfices mensuels d'une usine de trottinettes électriques, exprimés en milliers d'euros, sont donnés par la fonction $B(x) = -x^3 + 10x^2 - 16x$, où $x$ représente le nombre de centaines de trottinettes fabriquées. Combien de trottinettes faut-il fabriquer pour que l'entreprise ne soit pas en perte (c'est-à-dire pour que $B(x) \geq 0$) ?

Dans un triangle isocèle, les côtés égaux mesurent $x \text{ cm}$ et le troisième côté mesure $10 \text{ cm}$. Pour que le triangle soit constructible, la somme des longueurs de deux côtés quelconques doit être strictement supérieure à la longueur du troisième côté. De plus, on souhaite que son périmètre ne dépasse pas $36 \text{ cm}$. Écrire un système d'inéquations et déterminer les valeurs possibles de $x$.

Étudier et résoudre le système suivant, formé d'une inéquation du premier degré et d'une inéquation du second degré :

$3x - 5 \leq x + 1$

$x^2 - 7x + 10 > 0$

Résoudre l'inéquation rationnelle suivante, en effectuant les sommes algébriques nécessaires pour l'exprimer sous la forme d'un unique quotient avant d'étudier les signes : $\frac{1}{x} + \frac{1}{x+2} \geq \frac{3}{4}$.

On cherche à concevoir une inéquation rationnelle à une inconnue dont l'ensemble exact des solutions est $]-3\,;\,2] \cup ]5\,;\,+\infty[$. a) Construire une inéquation de la forme $\frac{P(x)}{Q(x)} \geq 0$, où le numérateur $P(x)$ et le dénominateur $Q(x)$ sont des polynômes factorisés en binômes unitaires du premier degré. Justifier pas à pas, en s'appuyant sur l'étude des signes par intervalles, la position de chaque facteur au numérateur ou au dénominateur. b) Expliquer en détail pourquoi les nombres $-3$ et $5$ doivent apparaître avec un crochet ouvert (tourné vers l'extérieur) dans la solution, alors que $2$ est inclus (avec un crochet fermé, tourné vers l'intérieur). c) Sans refaire tout le tableau de signes, justifier quelle transformation élémentaire il faudrait appliquer à votre inéquation pour que la solution devienne $]-\infty\,;\,-3[ \cup [2\,;\,5[$.

Un équipementier automobile de Nantes conçoit un capteur thermique dont la résistance électrique de fonctionnement $R$ (en ohms) dépend de la température extérieure $t$ (en degrés Celsius) selon l'expression $R(t) = t^2 - 2(k - 1)t + (k + 5)$, où $k$ est un paramètre réel d'étalonnage. Pour des raisons de sécurité strictes, le dispositif ne fonctionne correctement que si la résistance est strictement positive ($R(t) > 0$) pour toute température $t \in \mathbb{R}$. a) Interpréter la courbe de $y = R(t)$ comme une parabole et en déduire quelle condition géométrique par rapport à l'axe des abscisses et quelle condition algébrique sur son discriminant $\Delta = b^2 - 4ac$ doivent être remplies pour garantir ce fonctionnement. b) Écrire et résoudre l'inéquation du second degré d'inconnue $k$ issue de la condition précédente, en indiquant l'intervalle des valeurs valides pour l'étalonnage du capteur. c) Si une erreur est commise en usine et que le paramètre est réglé à $k = 4$, justifier quelle anomalie se produira et déterminer à quelle température exacte $t$ le capteur cessera de fonctionner parce que sa résistance s'annule.