Exercices: Portes logiques et circuits numériques

Expliquer ce qu'est un signal numérique et en quoi il se différencie d'un signal analogique, en donnant un exemple de la vie quotidienne pour chacun.

Écrire la table de vérité d'une porte NOT et expliquer son comportement avec un exemple : un voyant qui s'allume lorsqu'une machine n'est PAS en marche.

La figure montre trois portes logiques avec leurs tables de vérité, dans lesquelles il manque deux valeurs de sortie. Compléter les valeurs manquantes et écrire le nom de chaque porte.

Écrire la table de vérité complète d'une porte OR à deux entrées et expliquer son comportement avec un exemple : deux sonnettes, une à chaque étage, qui font retentir le même avertisseur.

Si une porte AND reçoit A = 1 et B = 0, quelle est la valeur de sa sortie ? Et s'il s'agissait d'une porte OR avec les mêmes entrées ? Justifier chaque réponse.

Expliquer avec vos propres mots ce que fait une porte NOT et décrire son symbole. Donner un exemple : un voyant vert qui s'allume lorsqu'une machine n'est PAS en panne.

Classer ces signaux en analogiques ou numériques et justifier : le volume réglé par une molette, un interrupteur de lumière, la température indiquée par un thermomètre à mercure et l'état d'une porte (ouverte ou fermée).

Combien de lignes comporte la table de vérité d'un circuit à deux entrées ? Et à trois ? Déduire la règle générale pour $n$ entrées et la vérifier avec quatre.

Écrire la table de vérité complète d'une porte AND à deux entrées et décrire une situation réelle qui fonctionne avec cette même logique, par exemple dans la sécurité d'une porte ou d'un compte.

Un entrepôt veut que l'alarme sonne si la porte ou la fenêtre est ouverte. Indiquer quelle porte logique reproduit ce comportement et écrire sa table de vérité en utilisant A = porte ouverte, B = fenêtre ouverte et S = alarme qui sonne.

Un circuit relie une porte NOT à la sortie d'une porte AND. Compléter sa table de vérité et trouver le nom de cette porte combinée :

Écrire la table de vérité d'une porte OR à trois entrées (A, B et C) et expliquer en une seule phrase dans quel cas sa sortie vaut 0.

Un système n'arrose que lorsque la terre est sèche (H = 1 signifie « terre sèche ») et qu'en plus il fait nuit (N = 1 signifie « il fait nuit »). Quelle porte logique reproduit ce comportement ? Écrire sa table de vérité avec les noms des variables.

La figure montre un circuit à deux portes : les entrées A et B vont dans une porte AND, et sa sortie, avec C, entre dans une porte OR. Écrire la table de vérité complète du circuit et calculer la valeur de S dans le cas indiqué.

Expliquer ce qui se passe lorsqu'on branche deux portes NOT l'une derrière l'autre et le démontrer en écrivant la table de vérité de l'ensemble. Quel nom porte cette équivalence en logique ?

Un détecteur d'obstacles donne une sortie 1 lorsqu'il n'y a PAS d'obstacle devant. Votre robot doit allumer un voyant précisément lorsqu'il y A un obstacle. Quelle porte ajouter entre le capteur et le voyant ? Justifier avec la table de vérité.

Un ventilateur doit s'allumer ($F = 1$) seulement s'il fait chaud ($C = 1$) et que l'utilisateur l'autorise ($P = 1$), mais jamais si la fenêtre est ouverte ($V = 1$). Un camarade de classe a réalisé la commande avec deux portes logiques : une AND qui combine $C$ et $P$, et une OR qui combine ce résultat avec $V$, comme le montre le schéma. Lors de l'essai en atelier, le ventilateur s'allume quand la fenêtre est ouverte, même en plein hiver !

1. a) Établir la table de vérité du circuit de votre camarade et indiquer dans quels cas il ne respecte pas le cahier des charges.
2. b) Expliquer l'erreur conceptuelle consistant à utiliser la porte OR avec $V$.
3. c) Concevoir le circuit correct : écrire la fonction logique simplifiée et indiquer les portes nécessaires.

Pour commander la barrière de sortie d'un parking, on dispose de trois signaux : détection d'une voiture sur la boucle magnétique (C = 1), ticket validé (T = 1) et cellule photoélectrique de sécurité dégagée (S = 1 ; si elle détecte un obstacle sous la barrière, S = 0). La barrière doit se lever (B = 1) uniquement lorsqu'il y a une voiture, que le ticket est valide et que la zone est dégagée. De plus, un voyant d'alarme (A = 1) doit s'activer si une voiture est présente avec un ticket valide mais que la zone n'est pas dégagée (pour signaler que la barrière ne peut pas se lever pour des raisons de sécurité).

1. a) Obtenir les fonctions logiques simplifiées pour la barrière (B) et pour l'alarme (A).
2. b) Concevoir le schéma avec des portes logiques en mutualisant les portes communes pour minimiser le nombre de composants.
3. c) Si la cellule photoélectrique tombe en panne et reste bloquée en permanence à 0, que se passerait-il pour la barrière et pour l'alarme lorsqu'un usager tente de sortir avec un ticket valide ? Justifier si le système tombe en panne de façon sûre ou dangereuse.

Imaginer un système de sécurité critique sur une chaudière industrielle équipée de deux capteurs de surchauffe indépendants (T1 et T2). On débat pour savoir s'il faut déclencher l'arrêt d'urgence (P) avec une logique AND (P = T1 · T2) ou avec une logique OR (P = T1 + T2). Analyser le comportement de chaque option face à deux pannes réelles :

1. L'un des capteurs tombe en panne et reste bloqué à 0 (il ne détecte pas la chaleur).

2. L'un des capteurs est en court-circuit et reste bloqué à 1 (fausse alarme permanente).

Justifier laquelle des deux architectures privilégie la « sécurité en cas de défaillance » (éviter à tout prix une explosion) et laquelle privilégie la « disponibilité » (éviter des arrêts coûteux et inutiles), et proposer quelle solution logique intermédiaire est employée dans l'industrie si l'on ajoute un troisième capteur redondant (T3).

En atelier de technologie, vous ne disposez que de circuits intégrés 7400, qui contiennent exclusivement des portes NAND à deux entrées. Vous devez réaliser le système d'avertissement sonore d'une machine, dont la fonction logique simplifiée est S = A + NOT B.

1. a) Appliquer les lois de De Morgan pour transformer cette fonction en une expression équivalente utilisant exclusivement des opérations NAND et des négations.
2. b) Démontrer comment construire une porte NOT en utilisant uniquement une porte NAND et écrire sa table de vérité.
3. c) Dessiner ou décrire pas à pas le schéma du circuit obtenu en utilisant uniquement des portes NAND à deux entrées, en indiquant le nombre total de portes nécessaires et en justifiant s'il est possible d'en simplifier certaines.

Dans une machine à laver industrielle, l'essorage (C) ne doit s'activer que si la porte est verrouillée (P = 1), qu'il n'y a pas de surcharge de linge (S = 0) et que la vidange de l'eau est confirmée. Pour mesurer l'eau, on installe deux pressostats redondants indépendants (A1 et A2, où 1 indique cuve vide). L'essorage ne peut démarrer que si les deux capteurs confirment qu'il n'y a pas d'eau (A1 = 1 et A2 = 1). De plus, un voyant de panne (V = 1) doit s'allumer chaque fois que les deux pressostats donnent des indications différentes (panne de capteurs), indépendamment de l'état de la porte ou de la charge.

1. a) Obtenir la fonction logique et la table de vérité pour l'essorage (C) et pour le signal de panne (V).
2. b) Quelle porte logique élémentaire résout directement la condition de panne V ? Justifier votre réponse.
3. c) Expliquer pourquoi cette conception redondante est plus sûre que l'utilisation d'un seul pressostat.

Un élève affirme : « Comme une porte OR donne 1 quand l'une quelconque de ses entrées vaut 1, je branche trois capteurs d'alarme périmétrique (S1, S2, S3) sur une seule porte OR à trois entrées et je pourrai ainsi identifier sur l'écran du gardien exactement laquelle des trois zones a été violée ».

1. a) Réfuter son affirmation en analysant la quantité d'information : combien d'états possibles une seule sortie binaire peut-elle transmettre et combien d'états faudrait-il distinguer pour savoir s'il n'y a pas d'alarme ou laquelle des trois zones s'est déclenchée ?
2. b) Établir la table de vérité d'un codeur qui, avec trois entrées (S1, S2, S3), fournit deux sorties binaires (Y1, Y0) pour identifier quel capteur est à 1 (en supposant qu'un seul s'active à la fois et que, si aucun n'est actif, la sortie vaut 00).
3. c) Quel problème apparaîtrait dans ce circuit si deux intrus activaient simultanément deux capteurs à la fois ?

Un technicien conçoit le système de commande du feu piéton vert ($V$) à un croisement avec une voie de tramway. Le circuit dispose de trois signaux binaires d'entrée :

• Capteur de tramway : $T = 1$ si un tramway approche et $T = 0$ si la voie est dégagée.

• Bouton piéton : $P = 1$ si des piétons qui ont appuyé sur le bouton attendent et $P = 0$ si personne n'a appuyé.

• Mode nuit : $N = 1$ pendant la nuit et $N = 0$ pendant le jour.

Le cahier des charges de sécurité exige que le feu piéton vert ne puisse s'allumer ($V = 1$) que lorsqu'aucun tramway n'approche ($T = 0$) et qu'au moins l'une des deux conditions suivantes est remplie : qu'un piéton ait appuyé sur le bouton ($P = 1$) ou que le système soit en mode nuit ($N = 1$, pour permettre la traversée automatique périodique). En aucun cas il ne doit s'allumer si le tramway arrive ($T = 1$).

Le technicien propose hâtivement la fonction logique : $V = (P \cdot \overline{T}) + N$.

1. a) Établir la table de vérité de la proposition du technicien et indiquer pour quelles combinaisons d'entrées le circuit provoquera une situation de risque imminent d'accident (feu piéton au vert alors que le tramway approche).

1. b) Corriger la fonction logique pour qu'elle respecte strictement toutes les exigences de sécurité et dessiner le schéma du circuit avec des portes logiques de base (NOT, AND, OR).

1. c) Analyser ce qui se passerait si le capteur $T$ tombait en panne et que le circuit interprétait en permanence un niveau bas ($T = 0$) : le système tolère-t-il cette panne ou crée-t-il une situation dangereuse ? Justifier votre réponse.

Pour éclairer le porche d'une maison, on analyse deux propositions de commande automatique avec trois capteurs : détecteur de présence (P = 1), capteur crépusculaire de nuit (N = 1) et interrupteur manuel de fête ou de forçage (M = 1 pour forcer l'allumage continu) :

• Proposition 1 : L1 = M + (N · P)

• Proposition 2 : L2 = (M + N) · P

1. a) Construire une table de vérité comparative pour les deux propositions avec les 8 combinaisons possibles de M, N et P.
2. b) Analyser dans quelles combinaisons le comportement des deux systèmes diffère et expliquer quel problème pratique présenterait la proposition 2 si les utilisateurs dînent assis sur le porche sans bouger ou s'ils ont besoin de lumière en plein jour pour nettoyer.
3. c) Justifier laquelle des deux conceptions optimise le mieux l'équilibre entre confort d'utilisation et efficacité énergétique, en appuyant votre choix sur les données de la table.