Exercices: Fonctions logiques et conception de circuits

Les étapes de la conception d'un circuit numérique sont dans le désordre : (a) dessiner le circuit avec des portes, (b) écrire la table de vérité, (c) lire l'énoncé et identifier les entrées et les sorties, (d) écrire la fonction logique, (e) simplifier la fonction. Les remettre dans l'ordre et expliquer en une phrase ce que l'on fait à chaque étape.

Expliquer ce que représente chaque ligne d'une table de vérité et ce que signifie le fait que la sortie vaille 1 seulement dans certaines lignes, en s'appuyant sur ce cas : un voyant s'allume lorsqu'il y a de la fumée (H = 1) et que l'alarme est activée (A = 1).

Qu'est-ce qu'une fonction logique ? Lire ces deux fonctions et expliquer leur signification avec des mots : $S = A \cdot B$ et $S = A + B$. Quelle porte réalise chacune d'elles ?

Une voiture émet un bip si la portière est ouverte (P = 1) et que la clé est retirée du contact (C = 1). Identifier les entrées et la sortie du système et écrire sa fonction logique avec des lettres.

Associer chaque expression à la porte qui la réalise : $S = A \cdot B$, $S = A + B$ et $S = \overline{A}$. Expliquer en outre ce que signifie la barre au-dessus de la lettre dans la dernière expression.

Expliquer ce que signifie simplifier une fonction logique et donner deux raisons pour lesquelles il convient de simplifier avant de monter le circuit.

Un circuit comporte une porte NOT sur l'entrée A, puis une porte AND qui reçoit ce signal et l'entrée B. Écrire la fonction logique du circuit et expliquer quelle situation il détecte (quelle combinaison d'entrées active la sortie).

La figure résume la démarche de conception d'un circuit numérique, mais il manque une étape. Indiquer laquelle et expliquer ce que l'on obtient en la terminant et d'où provient cette information.

Une alarme de voiture doit sonner lorsqu'une portière est ouverte (P = 1) et que la clé est retirée du contact (C = 1). Écrire la table de vérité complète et, à partir des lignes dont la sortie vaut 1, écrire la fonction logique.

Dans une table de vérité à deux entrées, la sortie S vaut 1 lorsque A = 1 et B = 0, et aussi lorsque A = 1 et B = 1. Écrire la fonction sous forme de somme de produits et justifier à quelle fonction beaucoup plus simple elle est équivalente.

La figure montre un circuit à deux portes et sa table de vérité, dont la sortie d'une ligne n'est pas complétée. Calculer cette valeur en analysant le circuit et écrire la fonction logique de l'ensemble.

Trois détecteurs de fumée (A, B et C) surveillent un bâtiment industriel et l'alarme doit se déclencher lorsqu'au moins deux d'entre eux détectent de la fumée en même temps. Écrire la table de vérité complète du système.

La fonction $S = A \cdot B + A \cdot \overline{B}$ s'active si « A et B » ou si « A et non B ». Expliquer pourquoi elle équivaut simplement à $S = A$ et ce que l'on économise dans le circuit en s'en rendant compte.

Dans un circuit, A et B entrent dans une porte AND ; C passe par une porte NOT ; les deux résultats entrent dans une porte OR qui donne S. Écrire la fonction logique et calculer la valeur de S pour A = 1, B = 0 et C = 0.

On veut un avertisseur qui sonne lorsque le réservoir est bas (N = 1) ou lorsque la pompe est à l'arrêt (B = 1) alors que le programmateur est en marche (M = 1). Écrire la table de vérité avec les trois entrées et la fonction logique.

Vérifier, en écrivant les deux tables de vérité, que $S = A \cdot (A + B)$ est équivalent à $S = A$. Expliquer quelle conséquence pratique ce résultat a lors du montage du circuit.

Dans le système d'éjection d'urgence d'une capsule aérospatiale, on utilise trois capteurs de surpression indépendants ($A$, $B$ et $C$). Pour éviter les déclenchements accidentels dus à la défaillance isolée d'un capteur, le mécanisme d'éjection ($S = 1$) ne doit s'activer que si au moins deux des trois capteurs indiquent simultanément une surpression.

Un rapport préliminaire propose la fonction simplifiée $S = A \cdot B + C$, en assurant qu'elle respecte le cahier des charges avec seulement deux portes logiques.

1. a) Réfuter formellement la validité de cette proposition : identifier quelle combinaison précise des entrées provoquera un déclenchement erroné de l'éjection et expliquer les conséquences pour l'équipage.
2. b) Obtenir la table de vérité correcte et en déduire la fonction logique minimale sous forme de somme de produits.
3. c) Concevoir le circuit en indiquant le type et le nombre minimal de portes logiques à 2 entrées nécessaires, et prévoir comment le système réagirait si le capteur $C$ subissait une panne permanente le laissant bloqué au niveau bas ($C = 0$).

Un camarade a monté le circuit combinatoire de la figure en croyant que la sortie $S$ dépendrait de la combinaison des deux variables ($A$ et $B$). En vérifiant la table de fonctionnement au laboratoire, il soupçonne que quelque chose ne colle pas.

1. a) Déduire la valeur manquante dans la table pour la combinaison $A = 1, B = 0$ et écrire la fonction logique non simplifiée qui décrit exactement le schéma de portes de la figure.
2. b) Démontrer par le calcul algébrique et expérimentalement (à partir de la table) pourquoi l'une des deux variables n'a aucune influence réelle sur la sortie $S$, et indiquer quelle simplification radicale ce circuit admet en pratique.
3. c) Prévoir ce qui se passerait si l'on échangeait la position des deux portes logiques (la AND à la place de la OR, et la OR à la place de la AND) : la table de vérité obtenue changerait-elle ? Justifier formellement votre réponse.

Le système de sécurité d'un bâtiment industriel dispose de trois capteurs numériques : ouverture de porte ($P = 1$), ouverture de fenêtre ($V = 1$) et interrupteur d'armement du système ($A = 1$ lorsque la surveillance est activée). L'alarme ($S = 1$) doit sonner si la porte ou la fenêtre est ouverte, mais uniquement lorsque le système est armé.

Un installateur branche les capteurs selon l'expression $S = P + V \cdot A$, en argumentant que « comme la porte est l'accès principal, elle doit être directement reliée à l'avertisseur ».

1. a) Identifier avec quelle combinaison des entrées l'installation du technicien sera défaillante et expliquer le grave problème de sécurité ou de fausses alarmes qu'elle provoquera dans le bâtiment.
2. b) Établir la table de vérité qui modélise exactement le cahier des charges demandé et obtenir la fonction canonique sous forme de somme de minterms.
3. c) Simplifier la fonction obtenue en appliquant les propriétés de l'algèbre de Boole et décrire le circuit électronique optimal en indiquant quelles portes logiques précises sont utilisées et combien d'entrées chacune requiert.

Le système d'arrosage automatique d'un parc municipal ($S = 1$ pour ouvrir l'électrovanne) répond à la fonction logique $S = A \cdot \overline{B} + C$, où les entrées correspondent à :

• $A$ : capteur d'humidité du sol ($A = 1$ si la terre est sèche).

• $B$ : capteur de prévisions météorologiques ($B = 1$ si de la pluie est prévue dans les prochaines heures).

• $C$ : bouton-poussoir manuel du personnel des espaces verts ($C = 1$ si l'arrosage forcé est activé).

1. a) Interpréter la signification technique de la fonction : dans quelles conditions précises le parc est-il arrosé en mode automatique ($C = 0$) ? Justifier pourquoi la variable $B$ doit apparaître niée dans l'expression.
2. b) Dessiner ou décrire le câblage détaillé du circuit logique qui réalise cette fonction en indiquant quelles portes logiques de base (NOT, AND, OR) sont nécessaires.
3. c) Si une panne électrique laisse le bouton-poussoir manuel activé en permanence ($C = 1$), prévoir ce qu'il adviendra de l'arrosage et justifier si les mesures d'humidité et les prévisions météorologiques auront encore un effet sur la consommation d'eau.
4. d) Déterminer ce qui se passerait si, au contraire, le capteur de pluie était en court-circuit et restait bloqué à $B = 1$ : dans quelle seule situation le parc sera-t-il arrosé ?

Un groupe d'élèves monte en atelier le circuit de sécurité pour la commande d'une cisaille motorisée ($S = 1$ active le moteur). Ils utilisent deux signaux : bouton d'homme mort ($A = 1$ enfoncé) et barrière photoélectrique dégagée ($B = 1$). Ils envoient $A$ et $B$ dans une porte AND, et amènent la sortie de celle-ci dans une porte OR avec le signal direct de $A$. Le groupe soutient que « la porte OR ajoute un niveau de sécurité supplémentaire parce qu'elle vérifie le bouton deux fois ».

1. a) Écrire la fonction logique qui modélise le montage réalisé et établir sa table de vérité complète.
2. b) Démontrer formellement, à l'aide des lois de l'algèbre de Boole, quelle simplification radicale la fonction admet et réfuter l'affirmation du groupe en expliquant quels composants physiques sont totalement superflus.
3. c) Évaluer les conséquences pour la sécurité au travail : si un opérateur met la main en interrompant la barrière photoélectrique ($B = 0$) tout en maintenant $A$ enfoncé, le moteur de la cisaille s'arrêtera-t-il ? Justifier votre réponse à partir de l'analyse du circuit.

Deux entreprises soumissionnent pour fabriquer en série le système d'alarme d'une flotte de véhicules ($S = 1$ active la sirène) à partir de trois signaux : contact d'allumage coupé ($A = 1$), capteur de choc ($B = 1$) et capteur volumétrique d'habitacle ($C = 1$).

• L'entreprise Alfa propose le circuit : $S_1 = A \cdot B + A \cdot C$

• L'entreprise Beta propose le circuit : $S_2 = A \cdot (B + C)$

Un expert de la compagnie d'assurance soutient que la conception d'Alfa est plus fiable parce que « si la porte AND qui traite le signal du capteur de choc $B$ tombe en panne, le véhicule restera protégé face au capteur volumétrique $C$ grâce à la seconde porte AND indépendante ».

1. a) Démontrer algébriquement l'équivalence fonctionnelle des deux circuits en indiquant la propriété mathématique appliquée.
2. b) Évaluer de façon critique l'affirmation de l'expert : dans le circuit de Beta, si le signal du capteur $B$ était défaillant, l'alarme cesserait-elle de sonner en présence du signal de $C$ ? Justifier s'il existe réellement un avantage de redondance dans la proposition d'Alfa par rapport à celle de Beta.
3. c) Déterminer le nombre et le type de portes logiques à 2 entrées nécessaires pour chaque conception et justifier en argumentant lequel des deux projets doit être retenu pour une production en série de véhicules, en tenant compte des coûts de fabrication et du nombre de composants.

On souhaite concevoir le système d'éclairage intelligent d'un couloir d'immeuble à partir de trois signaux : détecteur de mouvement ($M = 1$), capteur crépusculaire de nuit ($N = 1$) et interrupteur manuel de maintenance ($I = 1$). La lumière ($L = 1$) doit s'allumer automatiquement lorsqu'il fait nuit et qu'un mouvement est détecté, ou bien à tout moment si l'on actionne l'interrupteur manuel.

1. a) Établir la table de vérité du système et en déduire la fonction logique simplifiée $L(M, N, I)$.
2. b) Le syndic de copropriété demande d'ajouter un « mode vacances » au moyen d'un interrupteur général $V$ ($V = 1$ mode vacances actif). Dans ce mode, l'allumage automatique nocturne doit être totalement désactivé pour économiser l'énergie s'il y a des courants d'air, mais l'interrupteur manuel $I$ doit continuer à allumer la lumière pour les besoins du personnel de sécurité. Déduire la nouvelle fonction $L_{vac}(M, N, I, V)$ en justifiant la modification sans avoir à construire une table de 16 lignes.
3. c) Dans le circuit initial (sans mode vacances), les habitants signalent que la lumière reste allumée en permanence 24 heures sur 24 sans que personne n'appuie sur l'interrupteur $I$ et sans personne dans le couloir. Déduire en argumentant quelles deux pannes physiques indépendantes au niveau des entrées du circuit pourraient être à l'origine de ce dysfonctionnement.

Un élève conçoit le système d'alarme d'un logement en combinant deux capteurs : contact magnétique de porte ($A = 1$ si elle est ouverte, $A = 0$ si elle est fermée) et radar de mouvement volumétrique ($B = 1$ s'il détecte une présence). Pour être sûr de couvrir toutes les situations, il écrit dans son dossier technique :

« L'alarme ($S = 1$) doit se déclencher s'il y a un mouvement avec la porte ouverte ($A \cdot B$), et aussi s'il y a un mouvement avec la porte fermée ($\overline{A} \cdot B$). Par conséquent, la fonction est $S = A \cdot B + \overline{A} \cdot B$, que je réaliserai avec deux portes AND, une NOT et une OR ».

1. a) Démontrer par simplification algébrique et au moyen de la table de vérité correspondante quelle est la véritable fonction logique minimale du système.
2. b) Expliquer la signification physique du résultat mathématique obtenu : le capteur de porte $A$ apporte-t-il une information utile pour activer la sirène ? Quels composants du montage initial sont superflus ?
3. c) Prévoir ce qui arriverait au système de l'élève si le capteur de porte $A$ tombait en panne et restait déconnecté en permanence (niveau logique erroné) : l'alarme cesserait-elle de sonner face à un intrus, ou la sécurité serait-elle compromise par rapport au circuit simplifié ? Justifier la réponse.

Défi du thème. Comment automatiseriez-vous l'arrosage d'un potager urbain scolaire pour optimiser l'eau et l'énergie ? Vous concevrez le contrôleur logique numérique du système.

1. Recueil de données : Consulter sur Météo-France les prévisions météorologiques de votre commune pour demain (température maximale, probabilité de précipitations et rafales de vent). Définir trois variables binaires d'entrée : $T$ ($1$ si température $\ge 24,0$ °C), $L$ ($1$ si pluie $\ge 50\,\%$) et $V$ ($1$ si vent $\ge 20,0$ km/h).

2. Conception logique : Établir la table de vérité pour l'activation de l'arrosage ($S = 1$). Le système ne doit arroser que s'il fait chaud et qu'il ne pleut pas et qu'il n'y a pas de vent excessif. Obtenir la fonction canonique et la simplifier par l'algèbre de Boole ou un tableau de Karnaugh pour en déduire l'expression minimale $S = f(T, L, V)$.

3. Simulation : Réaliser le circuit combinatoire obtenu dans Tinkercad Circuits en utilisant des interrupteurs à glissière comme entrées, des circuits intégrés de portes logiques de base (série 74XX) et une DEL témoin comme actionneur. Vérifier les états.

Rendre un compte rendu bref d'une page avec les données réelles obtenues, la table de vérité, le développement algébrique et le lien ou la capture d'écran du circuit simulé.

Seront évalués :

• La définition cohérente des variables à partir des données météorologiques réelles.

• La justesse technique de la table de vérité et de la simplification de la fonction logique.

• Le montage fonctionnel et soigné du circuit combinatoire dans le simulateur.