Exercices: Événements composés

On lance deux pièces de monnaie de façon indépendante. Calculer la probabilité d'obtenir exactement deux piles.

Une boîte contient $5$ boules rouges et $3$ boules bleues. On tire une boule, on note sa couleur, on la remet dans la boîte, puis on tire une seconde boule. Déterminer la probabilité que les deux boules soient rouges.

On lance un dé cubique équilibré (dont les faces sont numérotées de $1$ à $6$) et une pièce de monnaie. Quelle est la probabilité d'obtenir un nombre pair avec le dé et face avec la pièce ?

Dans un jeu espagnol de $40$ cartes (comportant $4$ rois), on tire deux cartes successivement sans remise. Calculer la probabilité que les deux cartes soient des rois.

Dans un restaurant, $60\%$ des clients prennent le menu du jour et $40\%$ prennent à la carte. Parmi ceux qui prennent le menu, $70\%$ prennent un dessert. Parmi ceux qui prennent à la carte, $50\%$ prennent un dessert. Calculer la probabilité qu'un client choisi au hasard prenne le menu du jour et prenne un dessert.

Dans une classe de seconde, il y a $12$ garçons et $18$ filles. On sait que $4$ garçons et $6$ filles portent des lunettes. On choisit un élève au hasard. Quelle est la probabilité que ce soit une fille qui porte des lunettes ?

On fait tourner les deux roues indépendantes représentées sur la figure. Calculer la probabilité que la première roue indique le nombre $3$ et que la seconde roue indique la couleur verte (V).

Dans une rue, il y a deux feux tricolores indépendants. La probabilité que le premier soit au vert est $0,4$ et la probabilité que le second soit au vert est $0,5$. Déterminer la probabilité de trouver les deux feux au vert en passant dans cette rue.

Dans une boîte, il y a $6$ stylos bleus et $4$ stylos noirs. On tire deux stylos successivement et sans remise. On souhaite calculer la probabilité que les deux stylos tirés soient de la même couleur.

Serge propose la résolution suivante :

« Comme il y a deux couleurs possibles, je calcule d'abord la probabilité de deux bleus : $\frac{6}{10} \cdot \frac{6}{10} = \frac{36}{100}$. Puis celle de deux noirs : $\frac{4}{10} \cdot \frac{4}{10} = \frac{16}{100}$. Enfin, comme l'un ou l'autre des cas me convient, je multiplie les deux résultats : $\frac{36}{100} \cdot \frac{16}{100} = 0,0576$, soit $5,76\,\%$ ».

1. a) Identifier et expliquer les deux erreurs conceptuelles commises par Serge : l'une relative à la dépendance entre étapes consécutives et l'autre à la combinaison des branches finales.
2. b) Corriger la démarche et calculer la probabilité exacte d'obtenir deux stylos de la même couleur sous forme de fraction irréductible et en pourcentage.

Dans un jeu de société, pour franchir un obstacle, il faut lancer un dé à six faces deux fois de suite. La règle stipule que l'on franchit l'obstacle si l'on obtient au moins un nombre supérieur à $4$ (c'est-à-dire un $5$ ou un $6$) à l'un des deux lancers.

1. a) Estimer : avant tout calcul exact, réfléchir et répondre : pensez-vous que la probabilité finale de réussir l'épreuve sera inférieure à $50\,\%$, exactement égale à $50\,\%$ ou supérieure à $50\,\%$ ? Écrire une phrase justifiant votre intuition.
2. b) Vérifier : modéliser le double lancer comme un événement composé. Calculer d'abord la probabilité de l'événement contraire (« ne obtenir plus de 4 à aucun des lancers ») en appliquant la règle du produit, puis en déduire la probabilité réelle de franchir l'obstacle sous forme de fraction irréductible et en pourcentage.
3. c) Comparer le résultat avec votre estimation initiale : correspondait-il à ce que vous aviez pensé ? Expliquer pourquoi, en enchaînant deux chances, la probabilité globale est nettement supérieure à celle d'un seul lancer (qui est $\frac{2}{6} = \frac{1}{3} \approx 33,3\,\%$).

On tire trois cartes successivement et sans remise dans un jeu espagnol de $40$ cartes (quatre couleurs de $10$ cartes : deniers, coupes, épées et bâtons). Calculer la probabilité d'obtenir trois cartes de la couleur des deniers (oros).

Dans un complexe sportif, on propose des cours de tennis et de padel. $120$ adhérents sont inscrits à ces cours, et chaque adhérent pratique un seul sport. On sait que $70$ adhérents jouent au padel et qu'il y a $50$ femmes au total. De plus, $30$ femmes jouent au tennis. On choisit un adhérent au hasard. Calculer la probabilité que ce soit un homme qui joue au padel.

On dispose de deux urnes. L'urne $A$ contient $4$ boules blanches et $2$ noires. L'urne $B$ contient $3$ boules blanches et $5$ noires. On lance une pièce équilibrée ; si on obtient pile, on tire une boule dans l'urne $A$, et si on obtient face, on tire une boule dans l'urne $B$. Déterminer la probabilité que la boule tirée soit blanche.

Une usine de composants électroniques possède deux machines. La machine $M_1$ produit $60\%$ des composants et la machine $M_2$ les $40\%$ restants. On sait que $2\%$ des composants produits par $M_1$ sont défectueux, tandis que $5\%$ de ceux produits par $M_2$ sont défectueux. On prélève un composant au hasard dans l'entrepôt. Quelle est la probabilité qu'il soit défectueux ?

Deux basketteuses, Manon et Laura, tirent chacune un lancer franc. La probabilité que Manon marque est $0,8$ et la probabilité que Laura marque est $0,7$. Leurs tirs sont des événements indépendants. Calculer la probabilité qu'au moins une des deux marque son lancer franc.

Dans un jeu, un participant tire d'abord une carte dans un jeu espagnol de $40$ cartes (quatre couleurs de $10$ cartes chacune : coupes, épées, bâtons et deniers). Si la carte tirée est de la couleur des coupes, il lance un dé cubique équilibré (de $1$ à $6$). Si la carte n'est PAS une coupe, il lance une pièce. Quelle est la probabilité que le participant finisse par obtenir un $5$ avec le dé ?

On dispose de deux boîtes. La boîte 1 contient $3$ jetons rouges et $2$ verts. La boîte 2 contient $1$ jeton rouge et $4$ verts. On tire un jeton au hasard dans la boîte 1 et, sans regarder sa couleur, on le place dans la boîte 2. Puis on tire un jeton au hasard dans la boîte 2. Calculer la probabilité que ce second jeton soit rouge.

Un archer a une probabilité de $0,85$ d'atteindre le centre de la cible à chaque tir. S'il effectue trois tirs successifs et indépendants, déterminer la probabilité qu'il rate les trois tirs.

Un tireur de précision a une probabilité fixe de $0,7$ d'atteindre une cible à chaque tir. S'il effectue $3$ tirs de façon totalement indépendante, on souhaite calculer la probabilité qu'il atteigne la cible au moins une fois.

Pour résoudre ce problème, on peut envisager deux stratégies différentes :

• Méthode A (directe) : identifier tous les résultats favorables (réussir exactement une fois, exactement deux fois ou les trois tirs), calculer la probabilité de chaque branche de l'arbre et les additionner.

• Méthode B (événement contraire) : calculer la probabilité de rater les trois tirs consécutivement et soustraire cette valeur de $1$.

1. a) Comparer les deux méthodes : combien de branches de l'arbre faudrait-il calculer et additionner avec la méthode A, par rapport aux opérations nécessaires avec la méthode B ? Justifier laquelle est la plus efficace et la plus sûre face aux erreurs de calcul.
2. b) Appliquer la méthode la plus adaptée pour calculer la probabilité demandée, en exprimant le résultat final sous forme décimale et en pourcentage.
3. c) Si le tireur effectuait $5$ tirs au lieu de $3$, expliquer comment évoluerait la quantité de calculs nécessaires avec la méthode A par rapport à la méthode B.

D'après les registres d'une préfecture en France relatifs aux candidats qui obtiennent le permis B :

• La probabilité qu'un candidat réussisse l'épreuve théorique (code) dès la première présentation est de $70\,\%$.

• Parmi ceux qui réussissent le code du premier coup, la probabilité de réussir l'épreuve pratique du premier coup est de $60\,\%$.

• Parmi ceux qui échouent au code à la première présentation (et le réussissent ensuite), la probabilité de réussir l'épreuve pratique du premier coup est de $40\,\%$.

1. a) Modéliser le processus en décrivant les étapes de l'expérience composée et les probabilités associées à chaque branche.
2. b) On choisit un candidat au hasard. Calculer la probabilité qu'il réussisse à la fois le code et la conduite dès la première présentation.
3. c) Calculer la probabilité totale qu'un candidat choisi au hasard réussisse l'épreuve pratique du premier coup, qu'il ait réussi le code du premier coup ou qu'il ait eu besoin de plusieurs essais. Expliquer pourquoi il est nécessaire d'additionner les probabilités de deux chemins différents de l'arbre.

Un test médical de dépistage d'une maladie a les caractéristiques suivantes : si une personne est malade, le test est positif dans $95\%$ des cas. Si la personne est saine, le test est positif (faux positif) dans $3\%$ des cas. On sait que $2\%$ de la population est atteinte de cette maladie. On choisit une personne au hasard et on lui fait passer le test. Quelle est la probabilité que le résultat soit positif ?

Deux équipes d'e-sport, Alpha et Beta, disputent la finale d'un tournoi au meilleur des trois parties (la première à gagner deux parties est déclarée championne). La probabilité qu'Alpha gagne une partie est $0,6$ et celle que Beta gagne est $0,4$ (il n'y a pas de match nul). Les résultats des parties sont indépendants. Calculer la probabilité que l'équipe Alpha remporte le tournoi.

Une urne contient $x$ boules blanches et $5$ boules noires. On tire deux boules successivement et sans remise. Sachant que la probabilité que les deux boules soient blanches est $\frac{1}{6}$, poser une équation du second degré et déterminer le nombre initial $x$ de boules blanches dans l'urne.

Le schéma suivant représente un système de canalisations avec trois vannes $A$, $B$ et $C$. L'eau circule de gauche à droite. Pour que l'eau arrive au bout, elle doit passer par la vanne $A$ ou par la branche inférieure contenant les vannes $B$ et $C$ en série. Les probabilités que les vannes soient ouvertes sont $P(A) = 0,7$, $P(B) = 0,8$ et $P(C) = 0,9$. Sachant que le fonctionnement de chaque vanne est indépendant, calculer la probabilité que l'eau traverse le système.

Lors d'un congrès international, $40\%$ des participants sont européens et $60\%$ sont américains. On sait que $30\%$ des Européens et $20\%$ des Américains sont bilingues. On choisit deux participants au hasard avec remise. Quelle est la probabilité qu'exactement l'un des deux soit bilingue ?

On tire des cartes d'un jeu espagnol de $40$ cartes (qui contient $4$ as) une à une et sans remise, jusqu'à l'apparition du premier as. L'expérience s'arrête dès qu'un as sort ou lorsque $3$ cartes au maximum ont été tirées. Calculer la probabilité que l'expérience s'arrête après avoir trouvé un as.

On lance une fléchette sur la cible de la figure, formée de deux disques concentriques de rayons $R$ et $2R$. La fléchette atteint toujours la cible et la probabilité d'atteindre une région est proportionnelle à son aire. On lance deux fléchettes de façon indépendante. Calculer la probabilité qu'une fléchette tombe dans la zone centrale (A) et l'autre dans la zone extérieure (B).

On dispose de deux urnes. L'urne $U_1$ contient $2$ boules rouges et $2$ boules noires. L'urne $U_2$ est initialement vide. On tire simultanément deux boules de $U_1$ et on les place dans $U_2$. Puis on tire une boule au hasard dans $U_2$. Calculer la probabilité que la boule tirée dans $U_2$ soit rouge.

Dans un tiroir, il y a exactement $10$ chaussettes identiques au toucher : $n$ sont bleues et les $10 - n$ restantes sont grises. Une personne tire dans le noir, successivement et sans remise, deux chaussettes.

Sachant que la probabilité que les deux chaussettes tirées soient de couleurs différentes est exactement égale à $\frac{8}{15}$ :

1. a) Modéliser l'expérience comme un événement composé de deux étapes successives et écrire l'expression littérale de cette probabilité en fonction de $n$.
2. b) Poser une équation à partir de la donnée connue et résoudre algébriquement pour trouver la valeur de $n$ afin de déterminer combien de chaussettes bleues peut contenir le tiroir.
3. c) Interpréter le fait d'obtenir deux solutions mathématiques distinctes : pourquoi est-il tout à fait logique, dans le contexte concret du problème, qu'il existe deux valeurs valides pour $n$ ?

Un musée protège une sculpture de valeur grâce à un système de sécurité composé de deux capteurs indépendants : une barrière périmétrique à infrarouges (capteur A) et une plaque de pression sous le socle (capteur B). En cas d'intrusion réelle, le capteur A se déclenche avec une probabilité de $0,90$, tandis que le capteur B se déclenche avec une probabilité de $0,85$.

L'entreprise de sécurité propose deux configurations techniques possibles pour déclencher l'alarme générale :

• Configuration en parallèle (redondante) : l'alarme sonne si au moins un des deux capteurs se déclenche.

• Configuration en série (restrictive) : l'alarme sonne uniquement si les deux capteurs se déclenchent simultanément (conçue pour limiter les fausses alertes provoquées par des courants d'air ou de la poussière).

1. a) Modéliser la configuration en parallèle à l'aide d'événements composés et calculer la probabilité que l'alarme sonne en cas d'intrusion (utiliser la règle du produit avec les événements complémentaires).
2. b) Modéliser la configuration en série et calculer sa probabilité de déclenchement lors d'une intrusion.
3. c) La direction du musée hésite entre conserver la configuration en parallèle ou remplacer tout l'équipement par un unique capteur laser de dernière génération dont la fiabilité de détection individuelle est de $0,96$. À partir de vos calculs précédents, justifier mathématiquement quelle option offre la meilleure protection réelle contre les vols et expliquer quel inconvénient opérationnel présente le système le plus sensible face aux fausses alarmes.