Exercices: Évolutions et suites

Lucas décide d'économiser pour s'acheter un vélo. Le 1er janvier, il dispose de $120\ €$ sur son livret. Ensuite, il ajoute $15\ €$ à la fin de chaque mois. On note $u(n)$ la somme, en euros, dont dispose Lucas $n$ mois après le 1er janvier. On a donc $u(0)=120$.

1. Calculer $u(1)$ et $u(2)$.

2. Justifier que la suite $(u(n))$ est une suite arithmétique et donner sa raison.

3. Exprimer $u(n)$ en fonction de $n$.

4. Calculer la somme dont dispose Lucas $10$ mois après le 1er janvier.

5. Le vélo coûte $300\ €$. Au bout de combien de mois Lucas pourra-t-il l'acheter ?

Un jeu vidéo est vendu $75\ €$. Pendant les soldes, son prix baisse de $20\ \%$. En fin de période de soldes, le magasin applique une nouvelle remise de $10\ \%$ sur le prix soldé.

1. Calculer le prix du jeu après la première baisse.

2. Calculer le prix du jeu après la seconde remise.

3. Déterminer le taux d'évolution global du prix par rapport au prix initial de $75\ €$.

4. Après la première baisse de $20\ \%$, de quel pourcentage le prix devrait-il augmenter pour revenir à $75\ €$ ? Justifier.

Dans un laboratoire de Lille, une colonie compte $1\,000$ bactéries à midi. Le nombre de bactéries augmente de $10\ \%$ chaque heure. On note $u_n$ le nombre de bactéries $n$ heures après midi. On a donc $u_0=1\,000$.

1. Calculer $u_1$ et $u_2$.

2. Justifier que la suite $(u_n)$ est géométrique et préciser sa raison.

3. Exprimer $u_n$ en fonction de $n$.

4. Calculer $u_3$. On rappelle que $1{,}1^3=1{,}331$.

5. On donne le tableau de valeurs suivant, où les valeurs sont arrondies au centième.

$n$	5	6	7	8	9
$1{,}1^n\approx$	1,61	1,77	1,95	2,14	2,36

À partir de combien d'heures le nombre de bactéries aura-t-il doublé ?

Camille place $2\,000\ €$ sur un livret à intérêts simples, au taux annuel de $3\ \%$. Les intérêts sont calculés chaque année sur le capital initial de $2\,000\ €$. On note $u_n$ le capital, en euros, au bout de $n$ années. On a donc $u_0=2\,000$.

1. Calculer le montant des intérêts versés chaque année.

2. Calculer $u_1$ et $u_2$.

3. Montrer que $(u_n)$ est une suite arithmétique et exprimer $u_n$ en fonction de $n$.

4. Calculer le capital de Camille au bout de $10$ ans.

5. Au bout de combien d'années Camille disposera-t-elle d'au moins $2\,900\ €$ ?

6. Dans un repère, on représente les points de coordonnées $(n\ ;\ u_n)$ pour $n$ entier naturel. Ces points sont-ils alignés ? Justifier.

Inès place $4\,000\ €$ sur un compte à intérêts composés, au taux annuel de $5\ \%$. On note $v_n$ le capital, en euros, au bout de $n$ années. On a donc $v_0=4\,000$.

1. Calculer $v_1$ et $v_2$.

2. Justifier que $(v_n)$ est une suite géométrique et exprimer $v_n$ en fonction de $n$.

3. Si le placement avait été à intérêts simples au même taux de $5\ \%$, quel serait le capital au bout de $2$ ans ? Comparer avec $v_2$.

4. Préciser le sens de variation de la suite $(v_n)$. Justifier.

5. On donne le tableau de valeurs suivant, où les valeurs sont arrondies au centième.

$n$	10	12	14	15	16
$1{,}05^n\approx$	1,63	1,80	1,98	2,08	2,18

Au bout de combien d'années le capital d'Inès aura-t-il dépassé $8\,000\ €$ ?

Entre le 1er janvier 2024 et le 1er janvier 2026, la population d'une commune est passée de $20\,000$ à $28\,800$ habitants.

1. Calculer le coefficient multiplicateur global, puis le taux d'évolution global de la population sur ces deux années.

2. On suppose que la population a augmenté du même taux $t$ chaque année. Justifier que le coefficient multiplicateur annuel $c$ vérifie $c^2=1{,}44$, puis déterminer $t$.

3. On suppose que la population continue d'augmenter de $20\ \%$ par an. Calculer la population au 1er janvier 2027.

4. Dans cette commune, un loyer a augmenté de $8\ \%$ une année, puis de $5\ \%$ l'année suivante. Calculer le taux d'évolution global du loyer sur les deux années.

Louise et Hugo économisent pour un voyage. Au mois $0$, Louise possède $200\ €$ et Hugo $100\ €$.

• Chaque mois, Louise ajoute $30\ €$ à son épargne. On note $u(n)$ la somme possédée par Louise au mois $n$.

• Chaque mois, l'épargne de Hugo augmente de $20\ \%$. On note $v(n)$ la somme possédée par Hugo au mois $n$.

• Calculer $u(1)$, $u(2)$, $v(1)$ et $v(2)$.

• Préciser la nature des suites $(u(n))$ et $(v(n))$, puis exprimer $u(n)$ et $v(n)$ en fonction de $n$.

• On donne le tableau de valeurs suivant, où les valeurs sont arrondies au centième.

$n$	5	6	7	8	9	10
$1{,}2^n\approx$	2,49	2,99	3,58	4,30	5,16	6,19

1. a) Calculer $u(8)$ et donner une valeur approchée de $v(8)$. Qui possède la plus grande somme au mois $8$ ?

1. b) Déterminer le premier mois où Hugo possède strictement plus d'argent que Louise. Justifier.

1. Réaliser un schéma sur lequel apparaissent l'allure des nuages de points représentant $u(n)$ et $v(n)$ pour $n$ allant de $0$ à $10$, en faisant figurer le moment où Hugo dépasse Louise.

On injecte à un patient une dose de $400$ mg d'un médicament. Chaque heure, la quantité de médicament présente dans le sang diminue de $20\ \%$. On note $u_n$ la quantité de médicament, en mg, présente $n$ heures après l'injection. On a donc $u_0=400$.

1. Calculer $u_1$ et $u_2$.

2. Justifier que $(u_n)$ est une suite géométrique, puis exprimer $u_n$ en fonction de $n$.

3. Préciser le sens de variation de la suite $(u_n)$.

4. Déterminer le taux d'évolution global de la quantité de médicament sur deux heures.

5. On donne le tableau de valeurs suivant, où les valeurs sont arrondies au centième.

$n$	5	6	7	8
$0{,}8^n\approx$	0,33	0,26	0,21	0,17

Le médicament devient inefficace lorsque la quantité présente est inférieure ou égale à $100$ mg. Au bout de combien d'heures cela se produit-il ?

1. Pour un autre médicament, la quantité est divisée par $4$ en deux heures, avec le même taux d'évolution horaire chaque heure. Déterminer ce taux d'évolution horaire.

Un club de sport de Nantes compte $500$ adhérents fin 2024. En 2025, le nombre d'adhérents augmente de $25\ \%$. En 2026, il diminue de $20\ \%$.

1. Calculer le nombre d'adhérents fin 2025, puis fin 2026.

2. Déterminer le taux d'évolution global du nombre d'adhérents entre fin 2024 et fin 2026. Interpréter le résultat.

À partir de fin 2026, le club étudie deux scénarios. On note $n$ le nombre d'années écoulées depuis fin 2026.

• Scénario A : le club gagne $30$ adhérents chaque année. On note $a_n$ le nombre d'adhérents.

• Scénario B : le nombre d'adhérents augmente de $5\ \%$ chaque année. On note $b_n$ le nombre d'adhérents.

• Exprimer $a_n$ et $b_n$ en fonction de $n$.

• On donne le tableau de valeurs suivant, où les valeurs sont arrondies au centième.

$n$	4	5	6	7
$1{,}05^n\approx$	1,22	1,28	1,34	1,41

1. a) Dans le scénario A, au bout de combien d'années le club compte-t-il au moins $650$ adhérents ?

1. b) Dans le scénario B, au bout de combien d'années le club compte-t-il au moins $650$ adhérents ?

1. c) Quel scénario permet d'atteindre $650$ adhérents le plus rapidement ?