Exercices: Énergie cinétique et énergie potentielle

L'énergie cinétique se calcule par $E_c = \frac{1}{2} \cdot m \cdot v^2$. Un gardien de handball lance le ballon, de $0,4\ \text{kg}$, à $25\ \text{m/s}$. Calculer son énergie cinétique.

L'énergie potentielle de pesanteur se calcule par $E_p = m \cdot g \cdot h$. Un pot de fleurs de $6\ \text{kg}$ est posé sur le rebord d'une fenêtre, à $4\ \text{m}$ du sol (prendre $g = 10\ \text{m/s}^2$). Calculer son énergie potentielle par rapport au sol.

L'énergie potentielle élastique d'un ressort se calcule par $E_p = \frac{1}{2} \cdot k \cdot x^2$, où $k$ est la constante de raideur et $x$ la déformation. Un ressort de $k = 300\ \text{N/m}$ est étiré de $0,1\ \text{m}$. Le schéma est représenté sur la figure.

1. a) Calculer l'énergie potentielle élastique emmagasinée.
2. b) Si, au lieu de l'étirer, on le comprime de $0,1\ \text{m}$, l'énergie emmagasinée est-elle plus grande, plus petite ou égale ? Justifier en observant comment $x$ apparaît dans la formule.

Indiquer quelles énergies mécaniques possède chaque corps (cinétique, potentielle de pesanteur ou potentielle élastique ; il peut en avoir plusieurs) :

1. a) Un arc tendu avec la flèche prête, avant de la lâcher.
2. b) Un avion en vol de croisière.
3. c) Une voiture garée en haut d'un col de montagne.
4. d) Le ressort d'une montre mécanique qui vient d'être remontée.

Un drone de livraison de $2\ \text{kg}$ vole à $3\ \text{m/s}$ à $30\ \text{m}$ de hauteur (prendre $g = 10\ \text{m/s}^2$).

1. a) Calculer son énergie cinétique.
2. b) Calculer son énergie potentielle.
3. c) Quelle est son énergie mécanique, $E_m = E_c + E_p$ ?

Une ampoule suspendue au plafond, à $2,5\ \text{m}$ du sol, a une énergie potentielle de $98\ \text{J}$ (prendre $g = 9,8\ \text{m/s}^2$). Isoler la masse dans la formule $E_p = m \cdot g \cdot h$ et la calculer.

Deux ressorts identiques sont étirés au laboratoire : le premier de $5\ \text{cm}$ et le second de $10\ \text{cm}$. Sans faire de calcul numérique, justifier avec la formule $E_p = \frac{1}{2} \cdot k \cdot x^2$ lequel emmagasine le plus d'énergie élastique et combien de fois plus.

Une moto avec son pilote a une masse totale de $250\ \text{kg}$ et roule à $72\ \text{km/h}$.

1. a) Exprimer la vitesse en $\text{m/s}$.
2. b) Calculer son énergie cinétique.

Une balle de golf de $0,045\ \text{kg}$ part du tee avec une énergie cinétique de $81\ \text{J}$. Isoler la vitesse dans la formule $E_c = \frac{1}{2} \cdot m \cdot v^2$ et calculer la vitesse de départ.

Une personne en trottinette électrique roule à $10\ \text{m/s}$ et son énergie cinétique est de $3600\ \text{J}$. Isoler la masse dans la formule de l'énergie cinétique et calculer la masse totale de l'ensemble personne-trottinette.

Un réservoir d'irrigation contient $200\ \text{kg}$ d'eau et son énergie potentielle par rapport au sol est de $5880\ \text{J}$ (prendre $g = 9,8\ \text{m/s}^2$).

1. a) Isoler la hauteur dans la formule $E_p = m \cdot g \cdot h$ et calculer à quelle hauteur se trouve l'eau.
2. b) Si la moitié du réservoir est vidée, quelle sera la valeur de l'énergie potentielle de l'eau restante ?

Le ressort d'un amortisseur jouet est comprimé de $0,15\ \text{m}$ et emmagasine une énergie potentielle élastique de $2,25\ \text{J}$.

1. a) Isoler la constante de raideur dans la formule $E_p = \frac{1}{2} \cdot k \cdot x^2$ et la calculer.
2. b) Quelle énergie emmagasinerait-il s'il était comprimé de $0,3\ \text{m}$ ?

Calculer l'énergie cinétique de chaque véhicule :

1. a) Une voiture de $1200\ \text{kg}$ qui roule à $30\ \text{m/s}$.
2. b) Un camion de $9000\ \text{kg}$ qui roule à $12\ \text{m/s}$.

Lequel a la plus grande énergie cinétique ? Commenter ce qui pèse le plus dans le résultat : la masse ou la vitesse.

Un drone de livraison de $3\ \text{kg}$ descend de $50\ \text{m}$ à $20\ \text{m}$ de hauteur en gardant une vitesse constante de $8\ \text{m/s}$ (prendre $g = 10\ \text{m/s}^2$). La situation est représentée sur la figure.

1. a) Calculer son énergie cinétique : varie-t-elle pendant la descente ?
2. b) Calculer l'énergie potentielle perdue.
3. c) Comment varie son énergie mécanique ? Expliquer ce qu'est devenue cette énergie.

Un ressort de constante $k = 300\ \text{N/m}$ est étiré par étapes au laboratoire.

1. a) Calculer l'énergie potentielle élastique lorsque $x = 0,1\ \text{m}$.
2. b) Calculer l'énergie lorsque $x = 0,2\ \text{m}$.
3. c) Combien de fois la seconde est-elle plus grande que la première ? Expliquer le résultat à partir de la formule et prévoir, sans la calculer à la calculatrice, l'énergie pour $x = 0,4\ \text{m}$.

Un train à grande vitesse de $400\ \text{t}$ roule à $180\ \text{km/h}$.

1. a) Exprimer sa masse en kilogrammes, en notation scientifique, et sa vitesse en $\text{m/s}$.
2. b) Calculer son énergie cinétique et l'exprimer en notation scientifique.
3. c) Calculer l'énergie cinétique qu'il aurait en roulant à $90\ \text{km/h}$ et déterminer quelle relation elle entretient avec la précédente.

Une voiture de $900\ \text{kg}$ roule d'abord à $10\ \text{m/s}$ puis à $30\ \text{m/s}$.

1. a) Calculer son énergie cinétique dans chaque cas.
2. b) Combien de fois la seconde est-elle plus grande que la première ? Relier ce facteur au facteur par lequel la vitesse a été multipliée.
3. c) Prévoir, en utilisant la proportionnalité, l'énergie cinétique à $40\ \text{m/s}$ et le vérifier avec la formule.
4. d) Tirer une conséquence pour la sécurité routière du fait que l'énergie cinétique croît comme le carré de la vitesse.

Un cycliste et sa bicyclette ont une masse totale de $80\ \text{kg}$ et descendent un col à $15\ \text{m/s}$.

1. a) Calculer son énergie cinétique.
2. b) Une patineuse de $45\ \text{kg}$ a exactement la même énergie cinétique : isoler la vitesse et calculer à quelle vitesse elle roule.
3. c) Le rapport des masses est $80/45 = 16/9$. Expliquer, à l'aide de la formule de l'énergie cinétique, pourquoi le rapport des vitesses est la racine carrée du rapport des masses inversé, c'est-à-dire $4/3$.

Vous souhaitez vérifier en laboratoire que l'énergie potentielle élastique est proportionnelle au carré de la déformation, en utilisant un ressort de $k = 200\ \text{N/m}$, une règle et un jeu de masses marquées.

1. a) Expliquer ce que vous mesureriez et comment vous obtiendriez l'énergie stockée pour chaque mesure.
2. b) Prévoir les résultats : calculer l'énergie potentielle pour des déformations de $0,05\ \text{m}$, $0,10\ \text{m}$ et $0,15\ \text{m}$.
3. c) Si vous représentiez l'énergie en fonction de la déformation $x$, quelle serait l'allure du graphique ? Et si vous la représentiez en fonction de $x^2$ ? Justifier.

Votre camarade calcule l'énergie potentielle élastique d'un ressort de $k = 500\ \text{N/m}$ comprimé de $0,2\ \text{m}$ et obtient $20\ \text{J}$, parce qu'il a utilisé l'expression $E_p = k \cdot x^2$. La figure montre comment augmente la force nécessaire pour comprimer le ressort.

1. a) Quelle erreur a-t-il commise ?
2. b) Calculer correctement l'énergie potentielle élastique.
3. c) Le facteur $\frac{1}{2}$ apparaît parce que, lorsqu'on étire ou comprime le ressort, la force nécessaire croît de $0$ à $k \cdot x$, et le travail effectué se calcule avec la force moyenne. Calculer la force moyenne dans ce cas et vérifier que force moyenne × déformation donne le résultat correct.

Un livre de $0,5\ \text{kg}$ est posé sur une table de $80\ \text{cm}$ de hauteur, dans une salle de classe au deuxième étage, située $8\ \text{m}$ au-dessus de la rue (prendre $g = 10\ \text{m/s}^2$). La figure montre les trois niveaux.

1. a) Calculer son énergie potentielle en prenant comme origine la surface de la table.
2. b) La calculer en prenant comme origine le sol de la salle.
3. c) La calculer en prenant comme origine la rue.
4. d) Expliquer ce que signifie choisir un niveau de référence et justifier pourquoi, dans les problèmes de conservation de l'énergie, le résultat ne dépend pas de l'origine choisie (réfléchir à la grandeur qui intervient réellement : la hauteur ou la différence de hauteurs).

Un ressort de $k = 800\ \text{N/m}$ emmagasine $16\ \text{J}$ d'énergie potentielle élastique.

1. a) Exprimer la déformation à partir de la formule $E_p = \frac{1}{2} \cdot k \cdot x^2$ et la calculer.
2. b) Quelle force le ressort exerce-t-il dans cette situation ? Utiliser la loi de Hooke, $F = k \cdot x$.
3. c) Quelle force moyenne a-t-il fallu appliquer pour l'amener de sa position naturelle à cette déformation ? Vérifier que le travail de cette force moyenne coïncide avec l'énergie emmagasinée.

Calculer les énergies mécaniques de ces deux véhicules et les comparer (prendre $g = 9,8\ \text{m/s}^2$) :

1. a) Un avion de ligne de $80000\ \text{kg}$ qui vole à $10000\ \text{m}$ d'altitude à $250\ \text{m/s}$ : calculer son énergie cinétique, son énergie potentielle et son énergie mécanique, en notation scientifique.
2. b) Une monoplace de Formule 1 de $800\ \text{kg}$ qui roule à $80\ \text{m/s}$ sur un circuit au niveau de la mer : calculer son énergie cinétique et expliquer pourquoi son énergie potentielle peut être considérée comme nulle.
3. c) Commenter quel terme de l'énergie mécanique domine dans chaque cas et pourquoi.

Une fusée-sonde de $500\ \text{kg}$ s'élève en accélérant. Lorsqu'elle est à $1000\ \text{m}$ d'altitude, sa vitesse est de $100\ \text{m/s}$, et quelques secondes plus tard elle passe à $3000\ \text{m}$ d'altitude à $200\ \text{m/s}$ (prendre $g = 10\ \text{m/s}^2$). La figure montre les deux points de l'ascension.

1. a) Calculer son énergie mécanique au premier point.
2. b) Calculer son énergie mécanique au second point.
3. c) De combien son énergie mécanique a-t-elle augmenté ? D'où provient cette énergie ?
4. d) L'énergie mécanique se conserve-t-elle pendant l'ascension de la fusée ? Justifier.