Exercices: Traitement vectoriel : charges libres dans des champs

Une charge d'essai $q = 2\,\mu\text{C}$, placée en un point d'un dispositif de laboratoire, subit une force électrique de $0,06\ \text{N}$. La situation est représentée sur la figure.

1. a) Calculer la valeur du champ électrique en ce point, $E = \frac{F}{q}$, et indiquer son unité dans le Système international.
2. b) La charge étant positive, quelle relation existe entre la direction et le sens de $\vec{E}$ et ceux de la force $\vec{F}$ ?

Pour mesurer le champ électrique en un point, on utilise une charge d'essai.

1. a) Expliquer ce qu'est une charge d'essai et pourquoi il convient que sa valeur soit faible, de façon à ne pas perturber les charges qui créent le champ.
2. b) Écrire l'expression du champ créé par une charge ponctuelle $Q$ à une distance $r$ et justifier, à partir de celle-ci, pourquoi le champ ne dépend pas de la charge d'essai utilisée pour le mesurer.

Une petite sphère chargée avec $Q = 5\,\mu\text{C}$ crée un champ électrique autour d'elle (prendre $K = 9\cdot10^{9}\ \text{N}\cdot\text{m}^2/\text{C}^2$). Observer le schéma :

1. a) Calculer la valeur du champ à $0,3\ \text{m}$ de la sphère.
2. b) Indiquer la direction et le sens du champ en ce point, en justifiant à partir du signe de la charge.

À partir de la définition $E = \frac{F}{q}$, indiquer lesquelles de ces expressions sont des unités valables pour le champ électrique et justifier chaque réponse :

1. a) $\text{N/C}$
2. b) $\text{N}\cdot\text{C}$
3. c) $\text{V/m}$ (tenir compte du fait que $1\ \text{V} = 1\ \text{J/C}$)
4. d) $\text{J/C}$

Entre les armatures d'un condensateur règne un champ électrique uniforme $\vec{E} = 3\cdot10^{4}\,\vec{j}\ \text{N/C}$. On place à l'intérieur une particule de charge $q = -4\,\mu\text{C}$, comme le montre la figure.

1. a) Calculer le vecteur force électrique s'exerçant sur la particule, $\vec{F} = q \cdot \vec{E}$, en l'exprimant avec le vecteur unitaire correspondant.
2. b) Justifier pourquoi, la charge étant négative, la force a un sens opposé à celui du champ.

Une sonde spatiale accumule, par bombardement de particules solaires, une charge nette de $2\ \text{nC}$ (prendre $K = 9\cdot10^{9}\ \text{N}\cdot\text{m}^2/\text{C}^2$). On suppose la sonde approximativement ponctuelle.

1. a) Calculer la valeur du champ électrique qu'elle crée à $10\ \text{cm}$ de sa surface (exprimer la distance en mètres).
2. b) Calculer aussi le champ à $1\ \text{m}$ et vérifier par quel facteur il a diminué lorsque la distance est multipliée par dix.

Dessiner sur votre cahier les lignes de champ électrique créées par une charge ponctuelle positive et, séparément, celles d'une charge ponctuelle négative.

1. a) Que indique le sens des flèches des lignes de champ ? Le relier à la force que subirait une charge d'essai positive.
2. b) Où le champ est-il le plus intense, d'après votre dessin ? Le relier à l'expression $E = K \cdot \frac{Q}{r^2}$.

Vous pouvez le faire sur papier et envoyer une photo avec votre réponse.

Le champ créé par une charge ponctuelle vaut $E$ à une distance $r$.

1. a) Justifier, à l'aide de l'expression $E = K \cdot \frac{Q}{r^2}$, quelle sera la valeur du champ à une distance $2 \cdot r$ et à une distance $\frac{r}{3}$.
2. b) Si à $0,5\ \text{m}$ d'une certaine charge le champ vaut $7200\ \text{N/C}$, calculer sa valeur à $1\ \text{m}$ sans avoir besoin d'utiliser la constante $K$.

Un capteur mesure un champ électrique de $4500\ \text{N/C}$ à $2\ \text{m}$ du centre d'une sphère métallique chargée du laboratoire ; le champ est dirigé vers la sphère (prendre $K = 9\cdot10^{9}\ \text{N}\cdot\text{m}^2/\text{C}^2$). La situation est représentée sur la figure.

1. a) Isoler la charge dans l'expression $E = K \cdot \frac{Q}{r^2}$ et calculer sa valeur absolue.
2. b) Justifier, à partir du sens du champ mesuré, quel est le signe de la charge de la sphère.

Dans un tube à rayons cathodiques, un électron traverse une région où règne un champ électrique uniforme $E = 1000\ \text{N/C}$ (données : charge élémentaire $e = 1,6\cdot10^{-19}\ \text{C}$ ; masse de l'électron $m_e = 9,11\cdot10^{-31}\ \text{kg}$).

1. a) Calculer la force électrique s'exerçant sur l'électron.
2. b) Calculer son accélération en appliquant la deuxième loi de Newton, $a = \frac{F}{m_e}$.

Une charge ponctuelle $Q = 4\ \text{nC}$ est placée à l'origine du repère (prendre $K = 9\cdot10^{9}\ \text{N}\cdot\text{m}^2/\text{C}^2$). Observer le schéma :

1. a) Calculer la valeur du champ électrique au point $P(3\,;\,4)$, les coordonnées étant en mètres.
2. b) Le vecteur unitaire radial en ce point est $\vec{u}_r = \frac{3}{5}\,\vec{i} + \frac{4}{5}\,\vec{j}$. Écrire le vecteur $\vec{E}$ en fonction de $\vec{i}$ et $\vec{j}$.

Deux charges ponctuelles $q_1 = 3\,\mu\text{C}$ et $q_2 = -2\,\mu\text{C}$ sont placées sur l'axe $x$, en $x_1 = 0$ et $x_2 = 1\ \text{m}$ (prendre $K = 9\cdot10^{9}\ \text{N}\cdot\text{m}^2/\text{C}^2$). La figure montre la disposition des charges.

1. a) Calculer le champ (valeur et sens) créé par chaque charge au point $x = 3\ \text{m}$.
2. b) Appliquer le principe de superposition et calculer le champ total en ce point, en indiquant sa direction et son sens.

Deux charges identiques $q = 5\ \text{nC}$ sont séparées de $40\ \text{cm}$ (prendre $K = 9\cdot10^{9}\ \text{N}\cdot\text{m}^2/\text{C}^2$).

1. a) Justifier, en dessinant les vecteurs sur votre cahier, la valeur du champ total au milieu du segment qui joint les charges.
2. b) Calculer le champ total (valeur, direction et sens) en un point du segment situé à $10\ \text{cm}$ de l'une des charges.

Une charge $Q = 8\ \text{nC}$ est fixée sur un support isolant du laboratoire (prendre $K = 9\cdot10^{9}\ \text{N}\cdot\text{m}^2/\text{C}^2$).

1. a) Calculer le champ électrique (valeur, direction et sens) à $25\ \text{cm}$ de la charge.
2. b) Calculer la force (valeur, direction et sens) que subirait une charge $q_0 = 3\,\mu\text{C}$ placée en ce point, en utilisant $\vec{F} = q_0 \cdot \vec{E}$.

La notice d'un appareil de diagnostic médical exige que le champ électrique à son emplacement ne dépasse pas $500\ \text{N/C}$. Dans la même salle fonctionne un équipement qui accumule une charge ponctuelle de $2\ \text{nC}$ (prendre $K = 9\cdot10^{9}\ \text{N}\cdot\text{m}^2/\text{C}^2$).

1. a) Isoler la distance dans l'expression $E = K \cdot \frac{Q}{r^2}$ et calculer à quelle distance minimale de l'équipement l'appareil doit être installé.
2. b) Si on l'installe finalement au double de cette distance, par quel facteur le champ est-il réduit ? Justifier la réponse.

Un proton se trouve entre les armatures d'un condensateur, où le champ électrique est uniforme et vaut $E = 2\cdot10^{4}\ \text{N/C}$ (données : charge élémentaire $e = 1,6\cdot10^{-19}\ \text{C}$ ; masse du proton $m_p = 1,67\cdot10^{-27}\ \text{kg}$ ; prendre $g = 9,8\ \text{m/s}^2$).

1. a) Calculer la force électrique s'exerçant sur le proton.
2. b) Calculer son poids.
3. c) Calculer le quotient entre ces deux grandeurs et en tirer une conclusion : en physique des particules, peut-on négliger la gravité devant la force électrique ?

Deux charges ponctuelles $q_1 = 4\,\mu\text{C}$ et $q_2 = -4\,\mu\text{C}$ occupent respectivement l'origine du repère et le point $(0\,;\,3)$, les coordonnées étant en mètres (prendre $K = 9\cdot10^{9}\ \text{N}\cdot\text{m}^2/\text{C}^2$). On cherche le champ au point $P(4\,;\,0)$. Observer le schéma :

1. a) Calculer le vecteur $\vec{E}_1$ créé par $q_1$ en $P$.
2. b) Calculer la valeur du champ créé par $q_2$ en $P$ et, sachant que ce champ est dirigé de $P$ vers la charge négative (vecteur unitaire $-\frac{4}{5}\,\vec{i} + \frac{3}{5}\,\vec{j}$), écrire le vecteur $\vec{E}_2$.
3. c) Appliquer le principe de superposition : calculer le vecteur champ total en $P$ et sa valeur.

Deux charges ponctuelles $q_1 = 1\,\mu\text{C}$ et $q_2 = 4\,\mu\text{C}$ sont placées sur l'axe $x$, en $x_1 = 0$ et $x_2 = 3\ \text{m}$ (prendre $K = 9\cdot10^{9}\ \text{N}\cdot\text{m}^2/\text{C}^2$). La figure montre les trois régions de l'axe.

1. a) Justifier, en analysant le sens du champ de chaque charge, dans laquelle des trois régions de l'axe (à gauche de $q_1$, entre les charges ou à droite de $q_2$) le champ total peut s'annuler.
2. b) Poser la condition de champ nul dans cette région et calculer le point exact.
3. c) Vérifier le résultat en contrôlant qu'en ce point les deux champs ont la même valeur.

Dans une imprimante à jet d'encre, les gouttes d'encre chargées sont déviées par un champ électrique. Pour étudier le principe, considérer un électron qui entre avec une vitesse horizontale $v_0 = 3\cdot10^{7}\ \text{m/s}$ dans une région de longueur $L = 10\ \text{cm}$ où règne un champ vertical uniforme $E = 10^{4}\ \text{N/C}$, perpendiculaire à sa vitesse (données : charge élémentaire $e = 1,6\cdot10^{-19}\ \text{C}$ ; masse de l'électron $m_e = 9,11\cdot10^{-31}\ \text{kg}$). Le schéma montre le montage.

1. a) Calculer l'accélération de l'électron dans la région du champ et indiquer sa direction et son sens.
2. b) Calculer le temps qu'il met à traverser la région.
3. c) En supposant le mouvement horizontal uniforme et le mouvement vertical uniformément accéléré (comme dans un champ de pesanteur uniforme), calculer la déviation verticale à la sortie, $y = \frac{1}{2} \cdot a \cdot t^2$.
4. d) Justifier la forme de la trajectoire dans le champ et le type de mouvement de l'électron après sa sortie.

Deux charges ponctuelles $q_1 = q$ et $q_2 = -2 \cdot q$, avec $q > 0$, sont placées sur l'axe $x$, en $x_1 = 0$ et $x_2 = 3\ \text{m}$ (prendre $K = 9\cdot10^{9}\ \text{N}\cdot\text{m}^2/\text{C}^2$).

1. a) Prévoir, en justifiant par le sens des champs et par la valeur absolue des charges, dans quelle région de l'axe le champ total peut s'annuler : entre les charges ou en dehors du segment ? et de quel côté ?
2. b) Poser l'équation de champ nul et la résoudre, en déterminant le point exact.
3. c) Expliquer pourquoi le résultat ne dépend pas de la valeur de $q$.

Trois charges identiques $q = 2\ \text{nC}$ occupent les sommets d'un triangle équilatéral de côté $30\ \text{cm}$ (prendre $K = 9\cdot10^{9}\ \text{N}\cdot\text{m}^2/\text{C}^2$). Observer le schéma :

1. a) Justifier, par symétrie (les trois vecteurs champ au centre forment entre eux des angles de $120^\circ$), que le champ total au centre du triangle est nul.
2. b) On retire l'une des charges. Sachant que le champ des trois était nul, justifier que le champ des deux restantes est exactement l'opposé de celui que créait la charge retirée, et calculer sa valeur (la distance de chaque sommet au centre est $\frac{0,3}{\sqrt{3}}\ \text{m}$).
3. c) Indiquer la direction et le sens du champ résultant par rapport au sommet resté vide.

Deux charges identiques $q = 5\,\mu\text{C}$ occupent deux sommets consécutifs, $A(0, 20)$ et $B(20, 20)$, d'un carré de côté $20\ \text{cm}$, les coordonnées étant en centimètres (prendre $K = 9\cdot10^{9}\ \text{N}\cdot\text{m}^2/\text{C}^2$ ; $\cos 45^\circ \approx 0,71$). On étudie le sommet $D(0, 0)$. La figure montre la disposition.

1. a) Calculer le champ (valeur, direction et sens) créé en $D$ par la charge située en $A$.
2. b) Calculer la valeur du champ créé en $D$ par la charge située en $B$ (tenir compte du fait que la distance est la diagonale du carré) et le décomposer en ses composantes.
3. c) Additionner les vecteurs et calculer la valeur du champ total en $D$.
4. d) Calculer la valeur de la force que subirait une charge $Q = -2\,\mu\text{C}$ placée en $D$.

Votre camarade calcule le champ électrique au milieu du segment qui joint une charge $q_1 = 6\,\mu\text{C}$ à une autre $q_2 = -6\,\mu\text{C}$, séparées de $20\ \text{cm}$, et écrit : « le champ est nul, car les charges sont opposées et s'annulent » (prendre $K = 9\cdot10^{9}\ \text{N}\cdot\text{m}^2/\text{C}^2$).

1. a) Expliquer l'erreur : dessiner sur votre cahier les vecteurs $\vec{E}_1$ et $\vec{E}_2$ au milieu du segment et justifier le sens de chacun.
2. b) Calculer le champ correct (valeur, direction et sens) en ce point.
3. c) Pour quel couple de charges de même valeur absolue le résultat de votre camarade serait-il correct ? Justifier.

Vous pouvez le faire sur papier et envoyer une photo avec votre réponse.

Dans la chambre d'un accélérateur linéaire de particules règne un champ électrique vertical uniforme $E = 5\cdot10^{3}\ \text{N/C}$. Un proton et un électron y entrent, séparément et avec la même vitesse horizontale (données : charge élémentaire $e = 1,6\cdot10^{-19}\ \text{C}$ ; masse de l'électron $m_e = 9,11\cdot10^{-31}\ \text{kg}$ ; masse du proton $m_p = 1,67\cdot10^{-27}\ \text{kg}$).

1. a) Comparer les valeurs des forces électriques s'exerçant sur les deux particules et justifier pourquoi elles sont égales.
2. b) Calculer l'accélération de chacune.
3. c) Calculer le quotient $\frac{a_e}{a_p}$ et le relier au quotient des masses $\frac{m_p}{m_e}$.
4. d) Prévoir et justifier : les deux particules sont-elles déviées du même côté ? Pendant la même durée de parcours, laquelle est la plus déviée et combien de fois plus ?