Exercices: Champ créé par un système de masses : calcul vectoriel

La valeur de l'intensité de la pesanteur à la surface de la Terre peut être obtenue à partir de la loi de la gravitation universelle, comme le montre la figure.

1. a) À partir de la loi de la gravitation universelle et de la définition du champ de gravitation (force par unité de masse), établir l'expression de la valeur du champ de gravitation $g$ créé à sa surface par une planète sphérique de masse $M$ et de rayon $R$.
2. b) Calculer sa valeur pour la Terre. Données : $G = 6,67\cdot10^{-11}\ \text{N}\cdot\text{m}^2/\text{kg}^2$, $M_T = 5,97\cdot10^{24}\ \text{kg}$, $R_T = 6,37\cdot10^{6}\ \text{m}$.
3. c) Comparer le résultat avec la valeur usuelle $g = 9,8\ \text{m/s}^2$.

Avant d'envoyer une mission habitée vers Mars, il convient de connaître la pesanteur à sa surface.

1. a) Calculer la valeur du champ de gravitation à la surface de Mars. Données : masse de Mars $M_M = 6,42\cdot10^{23}\ \text{kg}$, rayon de Mars $R_M = 3,39\cdot10^{6}\ \text{m}$, $G = 6,67\cdot10^{-11}\ \text{N}\cdot\text{m}^2/\text{kg}^2$.
2. b) Le rayon de Mars est environ la moitié du rayon terrestre et pourtant sa pesanteur est nettement inférieure à la moitié de la pesanteur terrestre : expliquer pourquoi en s'intéressant à la masse.

Le champ de gravitation d'une masse ponctuelle diminue comme l'inverse du carré de la distance. Le graphique montre cette dépendance :

1. a) Si, à une distance $r$ du centre d'une planète, le champ vaut $g$, combien vaut-il à une distance $2\cdot r$ ? Justifier la réponse à partir de $g = G\cdot\frac{M}{r^2}$.
2. b) À quelle distance du centre de la Terre, exprimée en rayons terrestres $R_T$, le champ vaut-il le quart de sa valeur à la surface ?
3. c) À quelle altitude au-dessus de la surface correspond cette distance ?

Dans un laboratoire de métrologie, on veut mesurer le champ de gravitation créé par une sphère pleine de plomb de $100\ \text{kg}$.

1. a) Calculer la valeur du champ à $0,50\ \text{m}$ de son centre, en traitant la sphère comme une masse ponctuelle ($G = 6,67\cdot10^{-11}\ \text{N}\cdot\text{m}^2/\text{kg}^2$).
2. b) Exprimer le résultat en notation scientifique et comparer son ordre de grandeur à celui du champ de gravitation terrestre ($9,8\ \text{m/s}^2$) : quelle conclusion en tirer sur la difficulté de la mesure ?

Le champ de gravitation $\vec{g}$ en un point est défini comme la force par unité de masse qui s'exercerait sur une masse d'épreuve placée en ce point : $\vec{g} = \frac{\vec{F}}{m}$.

1. a) À partir de cette définition, démontrer que $1\ \text{N/kg} = 1\ \text{m/s}^2$.
2. b) Expliquer avec vos propres mots ce que signifie le fait qu'en un point de l'espace le champ vaille $g = 3,7\ \text{N/kg}$ : quelle force subirait une masse de $1\ \text{kg}$ ? Et une masse de $10\ \text{kg}$ ?

Sur une paillasse de laboratoire, on place deux masses ponctuelles de $10\ \text{kg}$ chacune, séparées de $2,0\ \text{m}$. Soit $P$ un point de la droite qui les relie, situé en dehors du segment, à $1,0\ \text{m}$ d'une masse et à $3,0\ \text{m}$ de l'autre. La disposition est représentée sur la figure.

1. a) Calculer la valeur du champ créé par chaque masse en $P$ et indiquer son sens ($G = 6,67\cdot10^{-11}\ \text{N}\cdot\text{m}^2/\text{kg}^2$).
2. b) Les deux champs ayant la même direction et le même sens, calculer le champ total en $P$.

Le champ de gravitation est une grandeur vectorielle.

1. a) Indiquer la direction et le sens du vecteur $\vec{g}$ créé par la Terre en un point quelconque de son voisinage.
2. b) Dessiner sur votre cahier le vecteur champ de gravitation en huit points répartis autour de la planète (une cartographie du champ) : qu'ont en commun les directions de tous les vecteurs et comment varie la valeur du champ lorsqu'on s'éloigne de la planète ?
3. c) Expliquer pourquoi on dit que le champ de gravitation est central et attractif.

Vous pouvez le faire sur papier et envoyer une photo de votre réponse.

Les astronautes du programme Apollo ont constaté que sur la Lune les objets pèsent beaucoup moins que sur la Terre.

1. a) Calculer le champ de gravitation à la surface de la Lune. Données : masse de la Lune $M_L = 7,35\cdot10^{22}\ \text{kg}$, rayon lunaire $R_L = 1,74\cdot10^{6}\ \text{m}$, $G = 6,67\cdot10^{-11}\ \text{N}\cdot\text{m}^2/\text{kg}^2$.
2. b) Calculer le rapport $\frac{g_T}{g_L}$ en prenant $g_T = 9,8\ \text{m/s}^2$ et vérifier qu'il vaut environ $6$.

Deux masses ponctuelles, $m_1 = 5,0\ \text{kg}$ et $m_2 = 10\ \text{kg}$, sont fixées sur un banc de laboratoire, aux positions $x_1 = 0$ et $x_2 = 2,0\ \text{m}$, comme le montre la figure.

1. a) Calculer le champ créé par chaque masse au point $x = 0,50\ \text{m}$, en indiquant sa valeur et son sens ($G = 6,67\cdot10^{-11}\ \text{N}\cdot\text{m}^2/\text{kg}^2$).
2. b) Appliquer le principe de superposition pour obtenir le champ total en ce point.
3. c) Justifier vers où accélérerait une petite masse d'épreuve lâchée en ce point sans vitesse initiale.

Entre la Terre et la Lune, il existe un point où leurs champs de gravitation s'annulent. Le schéma montre la situation :

1. a) En prenant l'origine au centre de la Terre, écrire la condition d'annulation : $G\cdot\frac{M_T}{x^2} = G\cdot\frac{M_L}{(d - x)^2}$, où $d = 3,84\cdot10^{8}\ \text{m}$ est la distance Terre–Lune.
2. b) Simplifier $G$, prendre les racines carrées et exprimer $x$ en utilisant $M_T = 5,97\cdot10^{24}\ \text{kg}$ et $M_L = 7,35\cdot10^{22}\ \text{kg}$ (remarquer que $\frac{M_T}{M_L} \approx 81$, dont la racine est $9$).
3. c) À quelle distance de la Lune se trouve ce point ? Justifier pourquoi il est beaucoup plus proche de la Lune que de la Terre.

Deux masses ponctuelles identiques, $m = 2,0\ \text{kg}$, sont placées aux points $(0; 0)$ et $(2; 0)\ \text{m}$ du plan, comme le montre la figure.

1. a) Calculer la distance de chaque masse au point $P(1; 1)\ \text{m}$ et la valeur du champ que chacune crée en $P$ ($G = 6,67\cdot10^{-11}\ \text{N}\cdot\text{m}^2/\text{kg}^2$).
2. b) Dessiner sur votre cahier les deux vecteurs champ en $P$ et justifier quelles composantes s'annulent par symétrie.
3. c) Sachant que chaque vecteur forme $45^\circ$ avec la verticale ($\cos 45^\circ \approx 0,71$), calculer le champ total en $P$ : valeur, direction et sens.

Vous pouvez le faire sur papier et envoyer une photo de votre réponse.

Les satellites géostationnaires orbitent à une distance $r = 4,22\cdot10^{7}\ \text{m}$ du centre de la Terre, comme le montre la figure.

1. a) Calculer le champ de gravitation terrestre à cette distance ($G = 6,67\cdot10^{-11}\ \text{N}\cdot\text{m}^2/\text{kg}^2$, $M_T = 5,97\cdot10^{24}\ \text{kg}$).
2. b) Combien de fois est-il plus petit que le champ à la surface ($g_0 = 9,8\ \text{m/s}^2$) ?
3. c) Le champ en un point ne dépend pas de la masse que l'on y place : expliquer ce que cela signifie à partir de la définition $\vec{g} = \frac{\vec{F}}{m}$.

Trois masses ponctuelles identiques, de $6,0\ \text{kg}$, sont alignées aux positions $x = 0$, $x = 1,0\ \text{m}$ et $x = 3,0\ \text{m}$ d'une règle de laboratoire, comme le montre la figure.

1. a) Calculer le champ créé par chacune d'elles au point $x = 2,0\ \text{m}$, en indiquant sa valeur et son sens ($G = 6,67\cdot10^{-11}\ \text{N}\cdot\text{m}^2/\text{kg}^2$).
2. b) Appliquer la superposition et calculer le champ total en ce point.
3. c) Sans résoudre l'équation, justifier s'il doit exister un point entre $x = 2,0\ \text{m}$ et $x = 3,0\ \text{m}$ où le champ total s'annule : s'intéresser au sens du champ total en $x = 2,0\ \text{m}$ et à ce qui se passe lorsqu'on s'approche de la masse située en $x = 3,0\ \text{m}$.

Le Soleil, du fait de son énorme masse, crée lui aussi un champ de gravitation appréciable à des distances astronomiques.

1. a) Calculer la valeur du champ de gravitation du Soleil au niveau de l'orbite de la Terre ($M_S = 1,99\cdot10^{30}\ \text{kg}$, distance moyenne $d = 1,5\cdot10^{11}\ \text{m}$, $G = 6,67\cdot10^{-11}\ \text{N}\cdot\text{m}^2/\text{kg}^2$).
2. b) Comparer le résultat avec le champ à la surface de la Terre ($9,8\ \text{m/s}^2$) : combien de fois est-il plus petit ?
3. c) Si le Soleil nous attire avec ce champ, pourquoi ne nous arrache-t-il pas de la surface terrestre ? (Indice : la Terre et tout ce qui s'y trouve tombent ensemble vers le Soleil.)

Un gravimètre de prospection géophysique peut détecter des variations du champ de gravitation allant jusqu'à $10^{-6}\ \text{m/s}^2$. On soupçonne la présence d'un grand réservoir d'eau sous un terrain, que l'on modélise par une masse ponctuelle de $10^{5}\ \text{kg}$ centrée à $20\ \text{m}$ de profondeur. Le schéma montre la disposition :

1. a) Calculer le champ de gravitation créé par le réservoir à la surface, juste au-dessus de lui ($G = 6,67\cdot10^{-11}\ \text{N}\cdot\text{m}^2/\text{kg}^2$).
2. b) Le gravimètre pourrait-il le détecter ? Justifier la réponse avec les valeurs numériques.
3. c) Citer une application pratique de ce type de mesures.

Lorsque Jupiter est au plus près de la Terre, elle se trouve à environ $6,3\cdot10^{11}\ \text{m}$.

1. a) Calculer le champ de gravitation que Jupiter crée alors sur la Terre ($M_J = 1,90\cdot10^{27}\ \text{kg}$, $G = 6,67\cdot10^{-11}\ \text{N}\cdot\text{m}^2/\text{kg}^2$).
2. b) Calculer la force avec laquelle Jupiter attire une personne de $70\ \text{kg}$ ($F = m\cdot g$) et la comparer à son poids sur Terre ($g = 9,8\ \text{m/s}^2$).
3. c) Au vu du résultat, commenter de façon critique l'affirmation astrologique selon laquelle « la position de Jupiter influence les personnes ».

Un vaisseau de $1,2\cdot10^{4}\ \text{kg}$ voyage de la Terre à la Lune le long de la droite qui joint leurs centres.

1. a) Calculer à quelle distance du centre de la Terre le champ de gravitation total (Terre plus Lune) s'annule. Données : $M_T = 5,97\cdot10^{24}\ \text{kg}$, $M_L = 7,35\cdot10^{22}\ \text{kg}$, $d = 3,84\cdot10^{8}\ \text{m}$, $G = 6,67\cdot10^{-11}\ \text{N}\cdot\text{m}^2/\text{kg}^2$ ; prendre $\sqrt{\frac{M_T}{M_L}} \approx 9$.
2. b) Quelle force de gravitation nette la Terre et la Lune exercent-elles ensemble sur le vaisseau lorsqu'il se trouve en ce point ?
3. c) Moteurs éteints, le vaisseau se déplace de $10^{6}\ \text{m}$ à partir de ce point vers la Lune : calculer alors le champ total (valeur et sens) et justifier si le point d'annulation est une position d'équilibre stable ou instable.

Trois masses ponctuelles identiques, $m = 100\ \text{kg}$, occupent trois sommets d'un carré de côté $L = 2,0\ \text{m}$, comme le montre la figure.

1. a) Calculer la valeur du champ créé par chaque masse au quatrième sommet (attention : la masse du sommet opposé est à une distance $L\cdot\sqrt{2}$). Donnée : $G = 6,67\cdot10^{-11}\ \text{N}\cdot\text{m}^2/\text{kg}^2$.
2. b) Décomposer les trois vecteurs champ selon les directions des côtés du carré et calculer les composantes du champ total ($\cos 45^\circ \approx 0,71$).
3. c) Calculer la valeur du champ total et justifier, par symétrie, pourquoi sa direction est celle de la diagonale.
4. d) Quelle force subirait une masse d'épreuve de $50\ \text{kg}$ placée en ce sommet ?

Trois masses ponctuelles identiques, $m = 150\ \text{kg}$, sont placées aux sommets d'un triangle équilatéral de côté $L = 3,0\ \text{m}$. Le centre de gravité est à une distance $\frac{L}{\sqrt{3}}$ de chaque sommet. La figure montre la disposition :

1. a) Justifier, à l'aide de la symétrie et de la somme de trois vecteurs identiques formant $120^\circ$ entre eux, que le champ total au centre de gravité est nul.
2. b) On retire l'une des masses : en appliquant la superposition, démontrer que le champ au centre de gravité est égal et opposé à celui que créait la masse retirée, et calculer sa valeur ($G = 6,67\cdot10^{-11}\ \text{N}\cdot\text{m}^2/\text{kg}^2$).
3. c) Calculer la force que subirait une masse de $20\ \text{kg}$ placée au centre de gravité et indiquer sa direction et son sens.

1. a) Calculer à quelle distance de la Terre, sur la droite Soleil–Terre, le champ de gravitation du Soleil et celui de la Terre s'annulent. Données : $M_S = 1,99\cdot10^{30}\ \text{kg}$, $M_T = 5,97\cdot10^{24}\ \text{kg}$, $d = 1,5\cdot10^{11}\ \text{m}$ ; prendre $\sqrt{\frac{M_S}{M_T}} \approx 577$. Exprimer le résultat en kilomètres.
2. b) Le point de Lagrange L1 du système Soleil–Terre, où sont placés les observatoires solaires, se situe à environ $1,5\cdot10^{9}\ \text{m}$ de la Terre, bien plus loin que ce que prévoit votre calcul. Expliquer quel effet physique n'a pas été pris en compte (indice : la Terre et l'observatoire ne sont pas immobiles, mais en orbite autour du Soleil).

Une étoile binaire est formée de deux astres de même masse, $M = 2,0\cdot10^{30}\ \text{kg}$, séparés de $d = 2,0\cdot10^{11}\ \text{m}$, comme le montre la figure.

1. a) Justifier que le champ de gravitation total au milieu du segment qui joint les étoiles est nul.
2. b) Calculer le champ total en un point de la médiatrice de ce segment situé à $h = 2,0\cdot10^{11}\ \text{m}$ du milieu : dessiner les vecteurs sur votre cahier, justifier quelles composantes s'annulent et calculer le résultat ($G = 6,67\cdot10^{-11}\ \text{N}\cdot\text{m}^2/\text{kg}^2$).
3. c) Si l'on lâche en ce point, sans vitesse initiale, une sonde de faible masse, décrire qualitativement comment elle commence à se déplacer.

Vous pouvez le faire sur papier et envoyer une photo de votre réponse.

L'origine des marées tient au fait que le champ de gravitation de la Lune n'est pas uniforme sur toute la Terre. Le schéma montre la géométrie du problème :

1. a) Calculer la valeur du champ lunaire au point de la surface terrestre le plus proche de la Lune (sa distance à la Lune est $d - R_T$).
2. b) Calculer la valeur du champ lunaire au point de la surface le plus éloigné de la Lune (distance $d + R_T$).
3. c) Calculer la différence entre les deux et expliquer pourquoi cette différence, même faible, « étire » les océans et produit deux zones de pleine mer. Données : $M_L = 7,35\cdot10^{22}\ \text{kg}$, $d = 3,84\cdot10^{8}\ \text{m}$, $R_T = 6,37\cdot10^{6}\ \text{m}$, $G = 6,67\cdot10^{-11}\ \text{N}\cdot\text{m}^2/\text{kg}^2$.

Dans une version moderne de l'expérience de Cavendish, on utilise deux sphères de tungstène de $500\ \text{kg}$ chacune, placées aux points $(0; 0)$ et $(3; 0)\ \text{m}$.

1. a) Démontrer que le point $P(1,5; 2)\ \text{m}$ est à une distance $2,5\ \text{m}$ de chaque sphère et calculer la valeur du champ que chaque sphère crée en $P$ ($G = 6,67\cdot10^{-11}\ \text{N}\cdot\text{m}^2/\text{kg}^2$).
2. b) L'angle que forme chaque vecteur champ avec la perpendiculaire au segment qui joint les sphères vérifie $\sin\theta = 0,6$ et $\cos\theta = 0,8$ : justifier quelles composantes s'annulent et calculer le champ total en $P$ (valeur, direction et sens).
3. c) Calculer la force exercée sur une petite sphère de $20\ \text{g}$ placée en $P$ et commenter pourquoi cette expérience exige une sensibilité extraordinaire.

Un astronaute effectue une sortie dans l'espace à $10\ \text{m}$ du centre de la Station spatiale internationale, de masse $M_{ISS} = 4,2\cdot10^{5}\ \text{kg}$, qui orbite à $400\ \text{km}$ d'altitude au-dessus de la surface terrestre.

1. a) Calculer le champ de gravitation de la Terre à la position de l'astronaute ($M_T = 5,97\cdot10^{24}\ \text{kg}$, $R_T = 6,37\cdot10^{6}\ \text{m}$, $G = 6,67\cdot10^{-11}\ \text{N}\cdot\text{m}^2/\text{kg}^2$).
2. b) Calculer le champ de gravitation que la station elle-même crée à $10\ \text{m}$ de son centre, en la traitant comme une masse ponctuelle.
3. c) Comparer les ordres de grandeur des deux champs et expliquer pourquoi l'astronaute ne « tombe » pas vers la station malgré son énorme taille.
4. d) Quel champ domine le mouvement de l'astronaute ?