Exercices: bases, complément à 2, flottants et texte

1. a) Convertir $(1101\,0110)_2$ en base 10.

1. b) Convertir 183 en base 2.

1. c) Convertir $(2F)_{16}$ en base 10 puis en base 2.

1. a) Combien de bits faut-il au minimum pour écrire l'entier 300 en binaire ?

1. b) Combien de valeurs différentes peut-on représenter avec 10 bits ?

1. c) Quel est le plus grand entier non signé représentable sur 12 bits ?

1. a) Donner la représentation en complément à 2 sur 8 bits de $+25$ et de $-25$.

1. b) Quelle est la plage des entiers représentables en complément à 2 sur 8 bits ?

1. c) Quel entier est représenté par $(1111\,1100)_2$ en complément à 2 sur 8 bits ?

1. a) Effectuer l'addition binaire $(0110\,1101)_2 + (0010\,1011)_2$ et vérifier en base 10.

1. b) Calculer en complément à 2 sur 8 bits $17 - 42$ en additionnant 17 et la représentation de $-42$. Donner le résultat en binaire et en décimal.

1. c) Dans quel cas y a-t-il dépassement de capacité en complément à 2 ?

1. a) Convertir le nombre décimal $0,625$ en binaire.

1. b) Écrire $0,1$ en binaire sur les 8 premiers chiffres après la virgule et expliquer pourquoi 0.1 + 0.2 == 0.3 vaut False en Python.

1. c) Écrire les trois champs (signe, exposant, mantisse) d'un flottant en double précision et donner leur nombre de bits.

1. a) Donner le code ASCII (en décimal puis en hexadécimal) de A (65) et de a. Quelle relation lie majuscule et minuscule ?

1. b) Expliquer la différence entre ASCII, ISO 8859-1 et UTF-8 et dire combien d'octets occupe é en UTF-8.

1. c) Un fichier texte de 2 000 caractères ASCII est enregistré en UTF-8. Quelle est sa taille en octets ? Et si tous les caractères sont des é ?

1. a) Montrer que pour représenter tous les entiers de 0 à $N$ il faut $\lfloor \log_2 N \rfloor + 1$ bits (on suppose $N \geq 1$).

1. b) Montrer que l'opposé d'un entier $x$ tel que $0 < x < 2^{n-1}$ en complément à 2 sur $n$ bits s'obtient comme $2^n - x$, et que cela revient à inverser les bits puis ajouter 1.

1. c) En déduire que l'addition de deux entiers en complément à 2 sur $n$ bits est correcte tant que le résultat reste dans $[-2^{n-1}, 2^{n-1}-1]$.

On étudie un format simplifié de flottant sur 8 bits : 1 bit de signe, 3 bits d'exposant (biais 3) et 4 bits de mantisse, avec la valeur $(-1)^s \times 1,m \times 2^{e-3}$.

1. a) Décoder $(0\,101\,0110)_2$.

1. b) Quel est le plus petit réel strictement positif représentable (avec exposant non nul) ?

1. c) Montrer que l'écart entre deux flottants consécutifs double quand l'exposant augmente de 1, et en déduire pourquoi les flottants ne sont pas régulièrement répartis.

On code une image en niveaux de gris de 1 920 × 1 080 pixels, chaque pixel étant codé sur 8 bits.

1. a) Calculer la taille de l'image non compressée en octets, puis en Mo (1 Mo = $10^6$ octets).

1. b) On passe à une image couleur avec 3 octets par pixel. Calculer la nouvelle taille et le nombre de couleurs possibles.

1. c) Une vidéo de 25 images par seconde de cette image couleur dure 90 minutes. Calculer le volume brut en To et expliquer pourquoi la compression est indispensable.