Exercices: Terme général

Soit la suite de terme général $a_n = \frac{2n-1}{n+3}$. Calculer ses cinq premiers termes.

Déterminer l'expression du terme général de la suite arithmétique suivante :

$5, 9, 13, 17, 21, \dots$

Déterminer l'expression du terme général de la suite géométrique suivante :

$3, -6, 12, -24, 48, \dots$

Écrire le terme général $f_n$ de la suite de fractions suivante :

$\frac{1}{2}, \frac{4}{5}, \frac{9}{10}, \frac{16}{17}, \dots$

Soit la relation de récurrence $a_1 = 2$ et $a_n = 3a_{n-1} - 1$ pour $n \ge 2$. Calculer les quatre premiers termes de la suite.

Si le terme général d'une suite est $b_n = n^2 - 5n + 6$, déterminer la valeur exacte du terme de rang vingt ($b_{20}$).

Écrire le terme général d'une suite dont les termes sont des nombres entiers consécutifs mais de signes alternés :

$-1, 2, -3, 4, -5, \dots$

Vérifier mathématiquement si le nombre $47$ appartient à la suite de terme général $c_n = 3n + 2$. Si oui, indiquer quel rang il occupe dans cette suite.

Mathis veut déterminer le terme général de la suite de fractions :

Sur sa copie, il écrit la justification suivante :

« Le numérateur augmente de 2 en 2 en partant de 3, donc il vaut $2n+1$. Le dénominateur est formé des carrés de $2, 3, 4, 5\ldots$, donc il vaut $(n+1)^2$. Comme les signes alternent entre positif et négatif, je multiplie par $(-1)^n$. Par conséquent, le terme général est $a_n = (-1)^n \frac{2n+1}{(n+1)^2}$ ».

1. a) Calculer les deux premiers termes ($a_1$ et $a_2$) avec la formule de Mathis et identifier précisément l'erreur qu'il a commise.
2. b) Expliquer comment modifier l'exposant de la puissance de base $-1$ pour corriger le signe, et écrire l'expression correcte du terme général.
3. c) Mathis affirme que la valeur $-\frac{21}{121}$ appartient à cette suite et qu'elle occupe un rang pair. Utiliser le terme général corrigé pour déterminer si son affirmation est vraie ou fausse.

Concevoir l'expression littérale du terme général $a_n$ d'une suite vérifiant simultanément ces quatre conditions :

1. Le premier terme ($n=1$) est négatif et le signe alterne d'un terme au suivant.

2. Tous ses termes sont des fractions dont la valeur absolue est strictement inférieure à 1.

3. Lorsque l'indice $n$ augmente, la valeur absolue des termes se rapproche progressivement de 1 (c'est-à-dire que le numérateur et le dénominateur se rapprochent en valeur absolue).

4. Le nombre $-\frac{5}{6}$ appartient à la suite.

Une fois votre formule définie :

1. a) Écrire ses trois premiers termes ($a_1, a_2, a_3$) pour vérifier que les conditions 1, 2 et 3 sont satisfaites.
2. b) Poser et résoudre l'équation permettant de trouver le rang $n$ occupé par le nombre $-\frac{5}{6}$, en justifiant pourquoi le résultat garantit que cette valeur appartient à la suite.

Une population d'algues microscopiques dans un lac contrôlé triple sa surface couverte chaque semaine. Si, la première semaine (semaine $n=1$), elles couvrent une surface de $2 \text{ m}^2$ :

1. a) Écrire le terme général $S_n$ qui représente la surface couverte au bout de $n$ semaines.
2. b) Calculer combien de semaines complètes doivent s'écouler pour que la surface couverte dépasse pour la première fois $1000 \text{ m}^2$.

Déterminer le terme général $a_n$ de la suite suivante en combinant les régularités qui régissent son numérateur et son dénominateur de façon indépendante :

$\frac{2}{3}, \frac{5}{9}, \frac{8}{27}, \frac{11}{81}, \dots$

Observer la séquence de figures suivante formées d'hexagones adjacents qui partagent un ou plusieurs côtés. La figure 1 est formée de 6 allumettes, la figure 2 de 11 allumettes et la figure 3 de 16 allumettes. Écrire le terme général du nombre d'allumettes $P_n$ nécessaires pour construire la figure $n$.

La valeur marchande d'une voiture neuve est de $24\,000$ €. On estime que chaque année elle perd $15\,\%$ de sa valeur par rapport à l'année précédente. Déterminer le terme général $V_n$ qui exprime la valeur de la voiture au bout de $n$ années ($n=0$ correspondant au moment de l'achat), et déterminer sa valeur estimée au bout de $5$ ans.

Soit la suite de terme général $a_n = \frac{n^2+1}{n}$. Déterminer l'expression du terme général de la suite différence définie par $d_n = a_{n+1} - a_n$ et simplifier le résultat au maximum.

Une suite récurrente est définie par les conditions initiales $x_1 = 1$, $x_2 = 2$ et la relation de récurrence $x_n = x_{n-1} + 2x_{n-2}$ pour tout $n \ge 3$. Calculer les termes de la suite jusqu'à $x_6$ et en déduire une formule explicite pour le terme général $x_n$ en fonction de puissances de $2$.

Un athlète amateur se prépare pour un semi-marathon. Le premier jour d'entraînement, il court $5$ km, et décide d'augmenter la distance quotidienne de $500$ mètres exactement par rapport à la veille. Exprimer le terme général $d_n$ de la distance, en kilomètres, parcourue le jour $n$. Quel jour de son entraînement courra-t-il exactement $15$ km ?

Déterminer le terme général de la suite $0, 3, 8, 15, 24, \dots$ et l'utiliser pour calculer la valeur exacte du terme de rang cinquante ($a_{50}$).

Considérer la suite définie par le terme général $a_n = \frac{5n^2 - 3}{2n^2 + 7n}$.

1. a) Avant d'effectuer le moindre calcul exact, estimer de façon raisonnée la valeur dont vont se rapprocher les termes de la suite lorsque le rang $n$ est extrêmement grand (par exemple, pour $n = 10\,000$). Justifier sur quels termes de la fraction vous vous appuyez et pourquoi les autres n'influent presque pas sur le résultat.
2. b) Vérifier votre estimation en calculant la valeur exacte (sous forme de fraction irréductible) et l'approximation décimale à trois décimales pour $n = 1$, $n = 10$ et $n = 100$. Ces valeurs numériques confirment-elles votre prévision initiale ?
3. c) Poser l'équation nécessaire pour déterminer si le nombre $2,5$ est exactement un terme de la suite. La résoudre et expliquer pourquoi, malgré l'estimation de la question a), il est impossible que $2,5$ en fasse partie.

Un athlète amateur prépare à Paris les 10 km de la course de la Saint-Sylvestre en suivant un plan d'entraînement de 16 semaines. Lors de la première semaine ($n=1$), il effectue une sortie longue de $4 \text{ km}$. L'entraîneur fixe une progression de base linéaire qui ajoute $0,5 \text{ km}$ par semaine (c'est-à-dire : $4 \text{ km}$ la semaine 1, $4,5 \text{ km}$ la semaine 2, $5 \text{ km}$ la semaine 3, etc.). Cependant, pour assimiler l'effort musculaire, il introduit une règle d'allègement périodique :

• Si la semaine $n$ est impaire, l'athlète court la distance intégrale fixée par la progression de base.

• Si la semaine $n$ est paire, l'athlète réduit de $1 \text{ km}$ la sortie qui lui correspondrait d'après la progression de base.

1. a) Modéliser la distance réelle $T_n$ (en kilomètres) de la sortie de la semaine $n$ à l'aide d'une unique formule explicite unifiée, en utilisant une puissance de base $-1$ pour alterner l'ajustement entre les semaines paires et impaires.
2. b) Déterminer algébriquement à quelle semaine il dépassera pour la première fois $9 \text{ km}$ lors de sa sortie longue.
3. c) Combien de kilomètres devra-t-il courir la semaine $n=16$, dernière semaine de charge avant la course ?

On construit une figure fractale à partir d'un triangle équilatéral d'aire $A$. À chaque étape, on joint les milieux des côtés des triangles non grisés pour former 4 triangles plus petits, et on grise uniquement le triangle central. Déterminer le terme général $T_n$ qui exprime le nombre de nouveaux triangles grisés ajoutés à l'étape $n$, et le terme général $A_n$ de l'aire d'un seul de ces nouveaux triangles ajoutés à l'étape $n$.

Démontrer, en étudiant le signe algébrique de la différence $a_{n+1} - a_n$, si la suite $a_n = \frac{3n-1}{n+2}$ est strictement croissante ou strictement décroissante.

Une balle en caoutchouc est lâchée d'une hauteur initiale de $10$ mètres. À chaque rebond sur le sol, la balle atteint une hauteur égale à $\frac{3}{4}$ de la hauteur maximale atteinte lors du rebond précédent. Écrire le terme général $h_n$ de la hauteur atteinte après le $n$-ième rebond. À l'aide des logarithmes, déterminer ensuite après combien de rebonds la hauteur maximale sera pour la première fois inférieure à $1$ mètre.

Déterminer un unique terme général explicite $a_n$ pour la suite $1, 4, 3, 8, 5, 12, 7, 16, \dots$ en utilisant l'expression $(-1)^n$ afin d'unifier les comportements différents des termes de rang pair et de rang impair.

Dans un réseau informatique, le nombre total de connexions directes possibles entre $n$ ordinateurs (si tous sont reliés physiquement entre eux) forme une suite $C_n$. Sachant que $C_1 = 0$, $C_2 = 1$, $C_3 = 3$ et $C_4 = 6$, déterminer le terme général $C_n$. En déduire combien d'ordinateurs composent un réseau qui possède exactement $1225$ connexions directes.

On définit la suite $a_n$ par la relation de récurrence $a_1 = 3$ et $a_n = 2a_{n-1} + 1$ pour $n \ge 2$. Pour trouver son terme général explicite, on définit une nouvelle suite auxiliaire $b_n = a_n + 1$. Démontrer que $b_n$ est une suite géométrique, déterminer son terme général $b_n$ puis en déduire le terme général de $a_n$.

Étudier le caractère borné de la suite $a_n = \frac{5n+2}{2n+1}$. Pour cela, démontrer algébriquement que la suite est minorée par $\frac{7}{3}$ et majorée par $\frac{5}{2}$.

On place $5\,000$ € dans un fonds de placement qui offre des intérêts composés annuels de $4\,\%$. Cependant, à la fin de chaque année et après application des intérêts, l'établissement prélève $50$ € fixes de frais de gestion. Écrire la relation de récurrence du capital $C_n$ accumulé à la fin de l'année $n$ (avec $C_0 = 5000$), et calculer le capital au cours des trois premières années ($C_1, C_2, C_3$).

Une suite est définie par récurrence par $a_1 = 2$ et $a_{n+1} = \frac{a_n}{1 + 3a_n}$ pour tout $n \geq 1$. Deux élèves doivent résoudre deux tâches : calculer le terme $a_3$ et déterminer si la valeur $\frac{1}{152}$ appartient à la suite.

• Lucie propose d'appliquer la récurrence successivement, terme après terme, jusqu'à répondre aux deux questions.

• Serge propose de calculer les quatre premiers termes, d'étudier la suite auxiliaire de leurs inverses $b_n = \frac{1}{a_n}$ pour trouver une règle générale, d'en déduire l'expression explicite de $a_n$ en fonction de $n$ et de travailler à partir de celle-ci.

1. a) Développer la méthode de Serge : déterminer $a_1, a_2, a_3, a_4$, écrire les valeurs correspondantes de $b_n$, en déduire de façon argumentée la formule du terme général explicite $a_n$ et vérifier qu'elle coïncide avec les valeurs trouvées.
2. b) Comparer les deux procédés pour le seul calcul de $a_3$. Lequel est le plus économique en temps et en opérations dans ce cas particulier ? Justifier la réponse.
3. c) Utiliser le terme général explicite pour déterminer rigoureusement si le nombre $\frac{1}{152}$ appartient à la suite. Expliquer ensuite pourquoi la méthode de récurrence de Lucie serait inefficace ou irréalisable pour répondre avec certitude à cette question.

On considère la suite dont les premiers termes sont :

1. a) Analyser le motif que suivent les termes de rang impair ($n=1, 3, 5, \ldots$) et celui que suivent les termes de rang pair ($n=2, 4, 6, \ldots$). Écrire la loi qui détermine chaque groupe de termes en fonction de l'indice global $n$.
2. b) Pour exprimer la suite par une unique formule explicite sans recourir à une fonction définie par morceaux, on utilise des « interrupteurs algébriques » construits avec des puissances de base $-1$. Justifier les valeurs que prennent les expressions $\frac{1 - (-1)^n}{2}$ et $\frac{1 + (-1)^n}{2}$ selon la parité de $n$, et les utiliser pour en déduire une formule unifiée et simplifiée du terme général $a_n$.
3. c) Étudier algébriquement si le nombre 100 fait partie de cette suite. Poser les équations correspondantes et déterminer combien de fois et à quel(s) rang(s) exact(s) cette valeur apparaît.