Exercices: Expérimentation et simulation

On simule le lancer d'un dé équilibré à six faces avec la fonction randint(1, 6) du module random.

1. a) Écrire une fonction Python lancer_double() qui renvoie la somme de deux lancers.

1. b) Donner les valeurs minimale et maximale possibles.

On simule une épreuve de Bernoulli de paramètre $p = 0{,}3$ avec random(), qui renvoie un réel de $[0\,;1[$ : le succès correspond à random() < 0.3.

1. a) Écrire une fonction bernoulli() qui renvoie 1 en cas de succès et 0 sinon.

1. b) Écrire une fonction somme(n) qui renvoie le nombre de succès pour $n$ répétitions indépendantes.

Sur un tableur, on simule 200 lancers d'une pièce équilibrée et on obtient 108 « face ».

1. a) Calculer la fréquence observée de « face ».

1. b) Calculer l'écart entre cette fréquence et la probabilité théorique.

Une variable aléatoire $X$ prend les valeurs $0$, $1$, $5$ avec les probabilités $0{,}5$, $0{,}3$, $0{,}2$.

1. a) Calculer $E(X)$, $V(X)$ et $\sigma(X)$.

1. b) Écrire une fonction Python simuler_X() qui simule $X$ à l'aide de random().

1. c) Écrire une fonction moyenne(n) qui renvoie la moyenne de $n$ simulations de $X$. Vers quelle valeur doit-elle se rapprocher quand $n$ augmente ?

Un jeu de la Française des Jeux propose : on mise 2 €, on lance un dé ; si l'on obtient 6, on reçoit 9 € (la mise de 2 € n'est pas rendue en plus), sinon on perd la mise. On note $G$ le gain algébrique.

1. a) Donner la loi de $G$ et calculer $E(G)$.

1. b) Écrire une fonction Python gain_moyen(n) simulant $n$ parties et renvoyant le gain moyen.

1. c) Que peut-on prévoir pour gain_moyen(100000) ?

On estime $\pi$ par la méthode de Monte-Carlo : on tire au hasard $N$ points $(x\,;y)$ dans le carré $[0\,;1]^2$ et on compte le nombre $k$ de points tels que $x^2 + y^2 \leq 1$.

1. a) Justifier que la probabilité qu'un point tombe dans le quart de disque est $\frac{\pi}{4}$.

1. b) Écrire une fonction monte_carlo(N) qui renvoie l'estimation de $\pi$.

1. c) Avec $N = 5\,000$ et $k = 3\,920$, calculer l'estimation obtenue.

Un candidat répond au hasard à un QCM de 10 questions ; chaque question a 4 réponses dont une seule exacte. Soit $X$ le nombre de bonnes réponses.

1. a) Justifier que $X$ suit la loi binomiale $\mathcal{B}(10 ; 0{,}25)$. On rappelle que, si $X$ suit $\mathcal{B}(n ; p)$, alors $P(X=k)=\binom{n}{k}p^k(1-p)^{n-k}$, $E(X)=np$ et $V(X)=np(1-p)$. Calculer $E(X)$ et $V(X)$.

1. b) Écrire une fonction Python simuler() qui renvoie une valeur de $X$.

1. c) Écrire une fonction frequence(n) qui estime $P(X \geq 5)$ sur $n$ simulations.

1. d) Calculer exactement $P(X \geq 5)$ à $10^{-3}$ près et indiquer ce que l'on peut attendre de frequence(10000).

On répète $n$ fois la simulation d'une variable $X$ d'espérance $\mu = 2$ et d'écart type $\sigma = 1{,}5$, et on note $M_n$ la moyenne des résultats, avec $M_n$ de variance $\frac{\sigma^2}{n}$.

1. a) Calculer l'écart type de $M_n$ pour $n = 100$ puis $n = 10\,000$.

1. b) Par quel facteur faut-il multiplier $n$ pour diviser par 10 l'écart type de $M_n$ ?

1. c) Écrire une fonction Python fluctuation(n, m) qui renvoie la liste de $m$ moyennes de $n$ simulations d'une loi de Bernoulli de paramètre $0{,}5$, et expliquer ce que l'on observe quand $n$ augmente.

Un joueur lance simultanément deux dés équilibrés. Soit $S$ la somme des faces, $X = 1$ si $S$ est un multiple de 3, $X = 0$ sinon.

1. a) Déterminer la loi de $S$ et calculer $E(S)$.

1. b) Calculer $P(X = 1)$.

1. c) Écrire une fonction Python qui estime $P(X = 1)$ à partir de $n$ simulations.

1. d) Pour $n = 1\,000$ simulations, on obtient 352 succès. Calculer la fréquence et la comparer à $P(X=1)$.