Exercices: Arbres

Une boîte contient $4$ boules rouges et $6$ boules bleues. On tire une boule au hasard, on note sa couleur, on la remet dans la boîte, puis on tire une seconde boule. Dessiner l'arbre pondéré correspondant et calculer la probabilité d'obtenir deux boules bleues.

Vous pouvez le faire sur papier et envoyer une photo de votre réponse.

Dans une cafétéria, on propose deux types de menu : $60\,\%$ des clients choisissent le menu du jour et $40\,\%$ choisissent le menu végétarien. Parmi ceux qui choisissent le menu du jour, $70\,\%$ prennent un café en dessert. Parmi ceux qui choisissent le menu végétarien, $80\,\%$ prennent un thé. Calculer la probabilité qu'un client choisi au hasard ait pris le menu du jour et ait de plus commandé un café.

Compléter l'arbre pondéré suivant, qui représente deux lancers consécutifs d'une pièce truquée, sachant que la probabilité d'obtenir pile est $\frac{1}{3}$. À l'aide de l'arbre, calculer la probabilité d'obtenir d'abord pile puis face.

Dans une armoire, il y a $5$ tee-shirts blancs et $3$ noirs. On choisit deux tee-shirts au hasard, l'un après l'autre, sans remettre le premier dans l'armoire. Calculer la probabilité que les deux tee-shirts soient blancs.

On lance un dé à six faces, puis on tire une carte dans un jeu de $40$ cartes. Si le dé donne un nombre pair, on gagne si on tire un roi. Si le dé donne un nombre impair, on gagne si on tire un as. Calculer la probabilité d'obtenir un nombre pair avec le dé et, de plus, de gagner.

Pour aller au travail, Yasmine peut prendre le bus (avec la probabilité $0,7$) ou le vélo (avec la probabilité $0,3$). Si elle prend le bus, la probabilité d'arriver en retard est $0,2$. Si elle prend le vélo, la probabilité d'arriver en retard est $0,05$. Quelle est la probabilité que Yasmine aille à vélo et arrive à l'heure ?

Dans une urne, il y a $2$ boules vertes et $3$ boules jaunes. On tire une boule, on la regarde et on la laisse de côté. Puis on tire une autre boule. Quelle est la probabilité que la première soit verte et la seconde jaune ?

Un joueur de basket a une probabilité de $0,8$ de réussir un lancer franc. S'il tire deux lancers francs de façon indépendante, dessiner l'arbre pondéré et déterminer la probabilité qu'il rate les deux tirs.

Vous pouvez le faire sur papier et envoyer une photo de votre réponse.

Dans un sac, il y a $3$ jetons noirs et $2$ blancs. On tire deux jetons successivement et sans remise. Pour calculer la probabilité que le second jeton soit blanc, Lucas dessine un arbre. Au second niveau, il observe deux branches qui aboutissent à « blanc » : l'une avec la probabilité $\frac{1}{4}$ (si le premier était blanc) et l'autre avec la probabilité $\frac{2}{4}$ (si le premier était noir). Lucas conclut : « Comme les deux branches aboutissent à blanc, la probabilité totale que le second jeton soit blanc est $\frac{1}{4} + \frac{2}{4} = \frac{3}{4} = 0,75$. »\na) Expliquer en détail l'erreur de raisonnement que commet Lucas en additionnant directement ces deux branches du second niveau.\nb) Corriger son calcul en utilisant correctement les probabilités des chemins complets de l'arbre, puis comparer le résultat avec la probabilité d'avoir tiré un jeton blanc au premier tirage. Quelle conclusion en tirez-vous ?

Dans la conception d'un jeu vidéo d'aventure, un coffre peut être piégé (avec la probabilité $0,3$) ou contenir une récompense (avec la probabilité $0,7$). S'il est piégé, la probabilité que le héros désamorce le piège avec succès est $0,2$. S'il contient une récompense, celle-ci peut être intacte ou détériorée par le temps.\nPour équilibrer la difficulté, le développeur veut que la probabilité totale que le joueur « obtienne une récompense intacte ou désamorce le piège avec succès » soit exactement $0,62$.\na) Dessiner l'arbre pondéré de la situation en identifiant les étapes et les branches, et en notant $p$ la probabilité conditionnelle que « la récompense soit intacte sachant qu'il n'y avait pas de piège ».\nb) Poser et résoudre une équation portant sur les branches de l'arbre pour trouver la valeur exacte de $p$.

Dans une usine de composants électroniques, trois machines (A, B et C) produisent respectivement $50\,\%$, $30\,\%$ et $20\,\%$ des pièces. Les pourcentages de pièces défectueuses produites par chaque machine sont $2\,\%$, $4\,\%$ et $5\,\%$. En vous appuyant sur l'arbre pondéré, calculer la probabilité qu'une pièce choisie au hasard soit défectueuse.

Lors d'un match de tennis, si la première balle de service d'un joueur est dans le carré (probabilité $0,6$), il gagne le point avec la probabilité $0,7$. Si la première balle est faute, il effectue une seconde balle qui est bonne avec la probabilité $0,8$. Si la seconde balle est bonne, il gagne le point avec la probabilité $0,5$. Si la seconde balle est aussi faute, il commet une double faute et perd automatiquement le point. Calculer la probabilité totale que le joueur gagne le point sur ce service.

On dispose de deux urnes. L'urne A contient $3$ boules rouges et $2$ noires. L'urne B contient $4$ boules rouges et $5$ noires. On lance une pièce : si on obtient pile, on tire une boule dans l'urne A ; si on obtient face, on tire une boule dans l'urne B. Quelle est la probabilité que la boule tirée soit rouge ?

Un élève doit passer deux examens le même jour. La probabilité de réussir le premier est $0,6$. S'il réussit le premier, il est motivé et la probabilité de réussir le second monte à $0,8$. En revanche, s'il échoue au premier, il se décourage et la probabilité de réussir le second descend à $0,3$. Construire l'arbre pondéré et calculer la probabilité qu'il réussisse au moins un des deux examens.

Vous pouvez le faire sur papier et envoyer une photo de votre réponse.

Lors d'un test de diagnostic d'une allergie, $5\,\%$ de la population est réellement allergique. Si une personne est allergique, le test est positif dans $90\,\%$ des cas. Si elle ne l'est pas, le test est négatif dans $95\,\%$ des cas. Dessiner un arbre pondéré pour illustrer la situation et calculer la probabilité qu'une personne choisie au hasard obtienne un résultat positif au test.

Vous pouvez le faire sur papier et envoyer une photo de votre réponse.

Un sac contient $5$ boules blanches et $4$ boules noires. On tire les boules une à une, sans remise, jusqu'à ce qu'une boule noire sorte. Quelle est la probabilité de devoir effectuer exactement trois tirages pour que le jeu s'arrête ?

Le temps dans une ville côtière suit un schéma curieux : si un jour est ensoleillé, la probabilité qu'il pleuve le lendemain est $0,2$. S'il pleut un jour, la probabilité qu'il pleuve encore le lendemain est $0,6$. Sachant qu'aujourd'hui, lundi, il fait soleil, quelle est la probabilité qu'il pleuve mercredi ? Dessiner l'arbre pondéré correspondant aux jours de mardi et de mercredi.

Vous pouvez le faire sur papier et envoyer une photo de votre réponse.

On dispose d'un jeu de cartes espagnol de $40$ cartes, réparties en $4$ enseignes de $10$ cartes chacune (oros, copas, espadas et bastos). On tire trois cartes consécutivement sans remise. Calculer la probabilité que les trois cartes soient de la même enseigne.

D'après les relevés de Météo-France dans une localité du nord, il pleut $10\,\%$ des jours en novembre. Les données de la régie municipale des transports indiquent que, s'il pleut, la probabilité qu'une ligne de bus subisse un retard important est $0,40$ ; en revanche, s'il ne pleut pas, cette probabilité se réduit à $0,05$.\na) Avant tout calcul, estimer intuitivement : si, un jour quelconque de novembre, cette ligne subit un retard important, pensez-vous qu'il est plus probable qu'il ait plu ou qu'il n'ait pas plu ? Justifier brièvement votre intuition en tenant compte du poids de chaque type de jour.\nb) Modéliser la situation par un arbre pondéré et calculer la probabilité totale que le bus subisse un retard important un jour de novembre.\nc) Calculer, à l'aide de la formule de Bayes, la probabilité qu'il ait plu sachant que le bus est arrivé en retard. Vérifier si votre estimation initiale de la question a) était juste ou si vous êtes tombé dans le piège de la « négligence de la fréquence de base ».

D'après des données de la Sécurité routière sur l'épreuve pratique du permis de conduire, dans un certain département, $45\,\%$ des candidats réussissent dès leur première présentation. Ceux qui échouent se présentent une seconde fois après des séances de conduite supplémentaires, et $60\,\%$ d'entre eux réussissent à ce second essai. Ceux qui échouent à la seconde présentation ne continuent pas cette année-là.\na) Modéliser tout le processus par un arbre pondéré, en indiquant à chaque nœud et sur chaque branche les événements (« réussit à la 1re », « échoue à la 1re », « réussit à la 2e », « échoue à la 2e ») et leurs probabilités associées.\nb) Quel pourcentage total de candidats obtient le permis de conduire en deux présentations au maximum ?\nc) Si l'on choisit au hasard une personne ayant obtenu le permis dans ce processus, quelle est la probabilité qu'elle l'ait obtenu dès la première présentation ? Interpréter ce que signifie cette valeur pour la gestion des listes d'attente de l'auto-école.

On dispose de deux boîtes. La boîte 1 contient $4$ jetons bleus et $2$ rouges. La boîte 2 contient $3$ jetons bleus et $5$ rouges. On tire un jeton au hasard dans la boîte 1 et on le met dans la boîte 2. Ensuite, on tire un jeton dans la boîte 2. Calculer la probabilité que le jeton tiré dans la boîte 2 soit bleu.

Dans une urne, il y a $x$ boules blanches et $4$ boules noires. On tire deux boules sans remise. Sachant que la probabilité que les deux boules soient blanches est $\frac{1}{3}$, poser l'équation correspondante en s'appuyant sur un arbre pondéré et déterminer le nombre initial de boules blanches $x$.

Deux équipes d'e-sport, Alpha et Beta, jouent la finale d'un tournoi au meilleur des trois parties (la première qui gagne deux parties est championne). Alpha est la meilleure équipe : sa probabilité de gagner n'importe quelle partie est $0,6$. Les parties ne peuvent pas se terminer par un match nul. Dessiner l'arbre pondéré des déroulements possibles de la finale et calculer la probabilité que l'équipe Beta remporte le tournoi.

Vous pouvez le faire sur papier et envoyer une photo de votre réponse.

Le système d'alarme d'une chambre forte comporte 3 capteurs de mouvement. La probabilité que le capteur A soit défaillant lors d'une intrusion est $0,1$ ; celle que le capteur B soit défaillant est $0,05$ ; et celle que le capteur C soit défaillant est $0,2$. Les capteurs fonctionnent de façon totalement indépendante. Dessiner l'arbre pondéré correspondant et calculer la probabilité que, lors d'une intrusion réelle, au moins un capteur se déclenche et fasse sonner l'alarme.

Vous pouvez le faire sur papier et envoyer une photo de votre réponse.

Dans une ville, $20\,\%$ des conducteurs sont jeunes (moins de 25 ans) et $80\,\%$ sont adultes. La probabilité qu'un conducteur jeune ait un accident dans l'année est $0,15$, alors que pour un adulte elle est $0,05$. On choisit un conducteur au hasard et il s'avère qu'il a eu un accident cette année. À l'aide des branches d'un arbre pondéré, calculer la probabilité que ce conducteur soit jeune. (Exprimer le résultat sous forme de fraction irréductible.)

Dans un jeu de société, un joueur doit franchir un fossé en sautant sur trois plateformes successives. La probabilité de glisser sur la première plateforme est $\frac{1}{10}$. S'il franchit la première, la probabilité de glisser sur la deuxième est $\frac{1}{5}$. S'il franchit la deuxième, la probabilité de glisser sur la troisième est $\frac{1}{4}$. S'il glisse sur une plateforme quelconque, il tombe dans le fossé et perd. Quelle est la probabilité que le joueur traverse le fossé avec succès ? Sachant que le joueur est tombé dans le fossé, quelle est la probabilité qu'il soit tombé exactement à la deuxième plateforme ?

Une urne contient $5$ boules numérotées de $1$ à $5$. On tire les boules une à une, sans remise, jusqu'à ce que la somme des numéros tirés soit supérieure ou égale à $6$. Dessiner l'arbre avec toutes les branches possibles, sachant qu'au premier tirage la boule portant le numéro $2$ est sortie. À partir de votre arbre, calculer la probabilité que le jeu se termine exactement au troisième tirage.

Vous pouvez le faire sur papier et envoyer une photo de votre réponse.

Lors d'une compétition, un archer dispose au maximum de trois flèches pour toucher la cible. La probabilité de toucher avec la première flèche est $0,4$. S'il rate, il règle sa visée et la probabilité de toucher avec la deuxième est $0,6$. S'il rate à nouveau, il devient nerveux et la probabilité de toucher avec la troisième est $0,3$. L'archer cesse de tirer dès qu'il touche. Calculer la probabilité que l'archer ait besoin de tirer plus d'une fois sachant qu'il a finalement touché la cible.

Dans une urne, il y a $5$ boules rouges et $3$ boules blanches. On tire successivement $3$ boules au hasard et sans remise. On souhaite calculer la probabilité d'obtenir au moins une boule blanche.\nTrois élèves proposent des stratégies différentes à l'aide d'arbres :\n- Arthur propose de dessiner l'arbre complet des trois tirages ($2^3 = 8$ branches finales), d'identifier tous les chemins contenant une, deux ou trois blanches et d'additionner leurs probabilités.\n- Béatrice propose de calculer l'événement contraire (« aucune blanche », c'est-à-dire trois rouges de suite) grâce à une seule branche de l'arbre, et de soustraire sa probabilité à $1$.\n- Charles propose un « arbre élagué » : si une blanche sort au premier ou au deuxième tirage, il arrête cette branche (c'est déjà un succès) et ne ramifie que lorsqu'une rouge sort.\na) Développer et calculer la probabilité demandée avec la méthode de Béatrice et celle de Charles, en vérifiant que les deux conduisent exactement à la même fraction irréductible.\nb) Comparer rigoureusement les trois méthodes : indiquer combien de chemins et de multiplications chacune exige, et justifier pourquoi la méthode d'Arthur est la moins efficace et la plus exposée aux erreurs de calcul.\nc) Si l'énoncé demandait d'« obtenir exactement deux boules blanches », la méthode de l'événement contraire de Béatrice resterait-elle avantageuse ? Justifier quelle méthode serait optimale dans ce cas.

Un filtre de sécurité analyse les courriels entrants d'un établissement bancaire. On sait que $10\,\%$ des courriels reçus sont frauduleux (hameçonnage) et que $90\,\%$ sont légitimes. Le système de détection classe correctement comme menace $95\,\%$ des courriels d'hameçonnage. En revanche, il n'est pas infaillible avec les courriels légitimes : il existe une probabilité inconnue $p$ de « faux positif » (un courriel légitime que le filtre signale à tort comme une menace).\nPour ne pas submerger l'équipe de cybersécurité de fausses alertes, la direction exige que, lorsque le filtre émet une alerte, la probabilité que le courriel soit effectivement de l'hameçonnage soit d'au moins $90\,\%$.\na) Modéliser le problème par un arbre pondéré, en laissant la probabilité $p$ indiquée sur la branche correspondant aux faux positifs.\nb) Obtenir l'expression littérale, en fonction de $p$, de la probabilité qu'un courriel soit de l'hameçonnage sachant que le filtre a émis une alerte.\nc) Poser et résoudre une inéquation pour déterminer la valeur maximale admissible de $p$. Expliquer pourquoi, bien que le filtre détecte $95\,\%$ de l'hameçonnage, le taux de faux positifs $p$ doit rester extrêmement faible.

Défi du thème. Le temps d'hier prédit-il celui d'aujourd'hui ? Vous allez vérifier, avec des données réelles, si la pluie dans votre commune relève d'événements dépendants ou indépendants.

1. Recueil : Rendez-vous sur le site de Météo-France et relevez dans un tableur les précipitations quotidiennes de votre commune sur les $30$ derniers jours. Définissez l'événement simple $L$ : « jour de pluie » ($>0,1$ mm).

2. Analyse : Calculez la probabilité de $L$ et celle de son événement contraire. Comptez les paires de jours consécutifs pour calculer les probabilités conditionnelles $P(L_2|L_1)$ et $P(L_2|\overline{L}_1)$. Comparez les valeurs avec $P(L)$ en utilisant la condition d'indépendance $P(L_2|L_1)=P(L)$ et expliquez si votre échantillon suggère des événements dépendants ou indépendants (c'est une estimation provisoire : il n'y a que $30$ jours ; s'il n'y a aucun jour de pluie ou aucun jour sans pluie, allongez la période).

3. Modélisation : Construisez un arbre pondéré avec ces probabilités et calculez la probabilité de l'événement composé « il pleut deux jours de suite ce week-end ».

4. Production : Rédigez un court rapport d'une page avec le tableur en lien, l'arbre complété et une conclusion argumentée sur la fiabilité de la prévision du temps avec ce modèle.

Seront évalués :

• Le calcul correct de probabilités simples et conditionnelles à partir de données réelles de Météo-France.

• La justification mathématique argumentée de la dépendance ou de l'indépendance observée dans l'échantillon, en reconnaissant son caractère provisoire.

• La construction correcte de l'arbre pondéré et la résolution de l'événement composé.

• La clarté de l'exposé et l'usage correct du tableur et des notations probabilistes.