Exercices: Suites numériques

On considère la suite arithmétique $(u_n)$ de premier terme $u_0=5$ et de raison $3$.

1. Calculer $u_1$ et $u_2$.

2. Exprimer $u_n$ en fonction de $n$.

3. Calculer $u_{20}$.

4. Existe-t-il un entier naturel $n$ tel que $u_n=100$ ? Justifier.

On considère la suite géométrique $(v_n)$ de premier terme $v_0=2$ et de raison $3$.

1. Calculer $v_1$ et $v_2$.

2. Exprimer $v_n$ en fonction de $n$, puis calculer $v_5$.

3. Justifier que la suite $(v_n)$ est strictement croissante.

4. Calculer la somme $S=v_0+v_1+v_2+v_3+v_4$.

Léa place 500 € sur un livret d'épargne à intérêts composés au taux annuel de $2\,\%$. On note $C_n$ le capital, en euro, disponible au bout de $n$ années, avec $C_0=500$.

1. Calculer $C_1$.

2. Justifier que la suite $(C_n)$ est géométrique et préciser sa raison.

3. Exprimer $C_n$ en fonction de $n$, puis calculer $C_2$.

4. On considère l'algorithme suivant :

$n \leftarrow 0$

$C \leftarrow 500$

Tant que $C<600$ :

$\quad n \leftarrow n+1$

$\quad C \leftarrow 1{,}02\times C$

Que contient la variable $n$ à la fin de l'exécution ? Justifier.

Soit $(u_n)$ une suite arithmétique de raison $r$ telle que $u_3=11$ et $u_7=23$.

1. Déterminer la raison $r$.

2. Déterminer $u_0$, puis exprimer $u_n$ en fonction de $n$.

3. Calculer $u_{10}$, puis la somme $S=u_0+u_1+\dots+u_{10}$.

4. Déterminer le plus petit entier naturel $n$ tel que $u_n>100$.

En 2024, une association compte 1 000 adhérents. Chaque année, $10\,\%$ des adhérents quittent l'association et 50 nouveaux adhérents arrivent. On note $u_n$ le nombre d'adhérents en $2024+n$, avec $u_0=1\,000$.

1. Calculer $u_1$ et $u_2$, puis justifier que $u_{n+1}=0{,}9\,u_n+50$ pour tout entier naturel $n$.

2. On pose $v_n=u_n-500$ pour tout entier naturel $n$.

a) Montrer que $(v_n)$ est une suite géométrique dont on précisera la raison et le premier terme.

b) En déduire l'expression de $v_n$, puis celle de $u_n$, en fonction de $n$.

1. Étudier le sens de variation de la suite $(u_n)$.

2. Conjecturer le comportement du nombre d'adhérents à long terme.

On construit des escaliers avec des carrés identiques. L'escalier de rang $n$ ($n\geqslant1$) est formé de $n$ colonnes de hauteurs respectives $1$, $2$, $\dots$, $n$ carrés. On note $u_n$ le nombre de carrés de l'escalier de rang $n$.

1. Calculer $u_1$, $u_2$ et $u_3$.

2. Exprimer $u_{n+1}-u_n$ en fonction de $n$. En déduire le sens de variation de la suite $(u_n)$.

3. Démontrer que, pour tout entier $n\geqslant1$, $u_n=\dfrac{n(n+1)}{2}$.

4. Déterminer le plus petit rang $n$ pour lequel l'escalier contient au moins 100 carrés.

Aide au calcul : $13\times14=182$ et $14\times15=210$.

On considère la suite $(u_n)$ définie par $u_0=5$ et, pour tout entier naturel $n$, $u_{n+1}=2u_n-3$. On pose $v_n=u_n-3$.

1. Calculer $u_1$, $u_2$ et $v_0$.

2. Montrer que $(v_n)$ est une suite géométrique et préciser sa raison.

3. Exprimer $v_n$, puis $u_n$, en fonction de $n$.

4. Pour tout entier naturel $n$, on note $S_n=u_0+u_1+\dots+u_n$.

a) Montrer que $S_n=3(n+1)+2^{n+2}-2$.

b) Calculer $S_4$ et vérifier le résultat en additionnant directement les cinq premiers termes.

On considère la suite $(u_n)$ définie pour tout entier naturel $n$ par $u_n=n^2-6n+5$.

1. Calculer $u_0$, $u_1$, $u_2$, $u_3$ et $u_4$.

2. Montrer que, pour tout entier naturel $n$, $u_{n+1}-u_n=2n-5$.

3. En déduire le sens de variation de la suite $(u_n)$ : on précisera pour quelles valeurs de $n$ on a $u_{n+1}u_n$.

4. Vérifier que $u_n=(n-1)(n-5)$ pour tout entier naturel $n$, puis déterminer tous les entiers naturels $n$ tels que $u_n<0$.

Chaque 1er janvier, un épargnant dispose sur un compte d'un capital qui rapporte $5\,\%$ d'intérêts sur l'année ; il verse ensuite 200 € sur ce compte. On note $u_n$ le capital, en euro, après le versement du 1er janvier de l'année $n$, avec $u_0=1\,000$. On admet que $u_{n+1}=1{,}05\,u_n+200$ pour tout entier naturel $n$.

1. Calculer $u_1$.

2. On pose $v_n=u_n+4\,000$.

a) Montrer que $(v_n)$ est une suite géométrique dont on précisera la raison et le premier terme.

b) En déduire que $u_n=5\,000\times1{,}05^n-4\,000$.

1. Justifier que la suite $(u_n)$ est strictement croissante.

2. Déterminer le plus petit entier naturel $n$ tel que $u_n\geqslant 2\,000$.

Aide au calcul : $1{,}05^3=1{,}157\,625$ et $1{,}05^4=1{,}215\,506\,25$.

1. Écrire un algorithme, en utilisant le symbole $\leftarrow$, qui détermine le plus petit entier $n$ tel que $u_n\geqslant 2\,000$.