Exercices: Dérivées des fonctions usuelles

Calculer la fonction dérivée de la fonction polynôme suivante :

$f(x) = 4x^5 - \frac{3}{2}x^4 + 7x^2 - \sqrt{2}x + 5$

Appliquer la formule de dérivation d'un produit pour déterminer la dérivée de la fonction :

$g(x) = x^3 \ln x$

Déterminer la fonction dérivée du quotient de fonctions suivant :

$h(x) = \frac{e^x}{x^2+1}$

Calculer la dérivée de la fonction trigonométrique suivante :

$f(x) = 5\sin x - 3\cos x + \tan x$

Appliquer la formule de dérivation d'une composée pour dériver la puissance de fonction suivante :

$p(x) = (3x^2 - 5x + 1)^4$

Déterminer la fonction dérivée de la fonction exponentielle composée suivante :

$q(x) = e^{4x^3 - 7x}$

Calculer la dérivée de la fonction comportant une racine :

$r(x) = \sqrt{5x^2 - 3x + 2}$

Déterminer la dérivée de la fonction logarithme composée suivante :

$s(x) = \ln(2x^4 + x^2 - 3)$

Hélène doit calculer la fonction dérivée de $f(x) = 3^x + \ln(4x)$ et écrit dans sa copie :

1. a) Repérer les deux erreurs commises par Hélène. Expliquer en détail pourquoi il est incorrect de traiter $3^x$ comme une fonction puissance du type $x^n$ et ce qu'elle a oublié en appliquant la dérivation d'une composée dans le terme logarithmique.
2. b) Donner le calcul correct étape par étape et déterminer la valeur exacte du coefficient directeur de la tangente en $x = 1$.

Pour calculer la dérivée de la fonction $f(x) = \ln\left(\frac{e^{2x}}{x^2 + 1}\right)$, deux camarades discutent de la méthode à suivre :

• Stratégie A (directe) : appliquer la formule générale $(\ln u)' = \frac{u'}{u}$ en dérivant directement la fraction à l'aide de la formule du quotient.

• Stratégie B (simplification préalable) : appliquer d'abord les propriétés des logarithmes $(\ln(A/B) = \ln A - \ln B$ et $\ln(e^k) = k)$ pour réécrire $f(x)$ avant de dériver terme à terme.

1. a) Calculer la dérivée en utilisant la stratégie B et exprimer le résultat sous la forme d'une unique fraction simplifiée.
2. b) Justifier laquelle des deux stratégies est la plus appropriée pour minimiser le risque d'erreurs algébriques lors de la dérivation de fonctions comportant des logarithmes.

Le nombre d'utilisateurs actifs d'un réseau social émergent, en milliers, en fonction du temps $t$ (en mois) est donné par l'expression $U(t) = 50 e^{0,2t^2 - 0,1t}$. Calculer le taux de croissance instantané du nombre d'utilisateurs à l'instant $t = 3$ mois.

La position d'une masse attachée à un ressort amorti est donnée par la fonction $x(t) = 5 e^{-0,4t} \cos(3t)$, où $x$ est mesurée en centimètres et $t$ en secondes. Déterminer la fonction vitesse $v(t)$ de l'oscillateur en dérivant la fonction position.

Le coût total de production, en euros, de $q$ unités d'un composant électronique de haute précision est modélisé par la fonction $C(q) = \frac{200q^2 + 500}{q+2}$. Calculer le coût marginal $C'(q)$ lorsque l'on produit exactement $q = 10$ unités.

Appliquer plusieurs fois de suite la formule de dérivation d'une composée pour déterminer la fonction dérivée de la fonction trigonométrique suivante :

$f(x) = \sin^3(2x^2 + \pi)$

Utiliser les propriétés des logarithmes pour simplifier l'expression avant de dériver, puis déterminer la dérivée de la fonction :

$g(x) = \ln\left(\sqrt{\frac{x-2}{x+2}}\right)$

Déterminer l'équation de la tangente à la courbe définie par $f(x) = x e^{-2x} + \cos(\pi x)$ au point d'abscisse $x = 0$.

La température $T$ (en degrés Celsius) d'un moteur industriel en fonction du temps $t$ (en minutes) après son arrêt suit la loi de refroidissement de Newton, donnée par $T(t) = 25 + 85 e^{-0,05t}$. Calculer et interpréter la valeur de $T'(10)$, c'est-à-dire la vitesse à laquelle la température diminue au bout de 10 minutes.

Calculer la dérivée de la fonction suivante, qui combine fonctions trigonométriques réciproques, exponentielles et polynômes :

$h(x) = \arctan(e^x) + \arcsin(2x)$

On considère la fonction $f(x) = \arctan(3x)$.

1. a) Avant de calculer la moindre dérivée, effectuer les estimations qualitatives suivantes en raisonnant sur la courbe et sur la définition de l'arc tangente :

• Quel signe attendez-vous pour le coefficient directeur de la tangente, quelle que soit la valeur de $x$ ?

• En lequel des deux points, $x = 0$ ou $x = 2$, prévoyez-vous que la tangente soit la plus inclinée (coefficient directeur le plus grand) ?

1. b) Calculer rigoureusement la fonction dérivée $f'(x)$ et déterminer les valeurs exactes de $f'(0)$ et $f'(2)$.
2. c) Vérifier si les valeurs obtenues coïncident avec vos estimations et expliquer ce qui se passe pour la valeur du coefficient directeur lorsque $x$ devient infiniment grand ($x \to +\infty$), en interprétant géométriquement le résultat.

D'après des relevés de Météo-France lors d'une vague de chaleur à Toulouse, la température $T$ (en degrés Celsius) au cours d'une journée d'été est modélisée par la fonction :

où $t$ est le temps en heures écoulé depuis minuit ($t \in [0, 24]$).

1. a) Déterminer l'expression du taux de variation instantané de la température, $T'(t)$, en indiquant clairement l'unité dans laquelle il se mesure.
2. b) Calculer et interpréter la signification de $T'(10)$ et $T'(16)$. À lequel de ces deux instants la température varie-t-elle le plus vite ?
3. c) Résoudre en justifiant l'équation $T'(t) = 0$ dans l'intervalle $[0, 24]$ et déterminer à quelles heures de la journée sont atteints le minimum et le maximum absolus de la température, en indiquant la valeur de ces deux températures.

Déterminer les valeurs des paramètres réels $a$ et $b$ pour que la fonction $f(x) = \frac{ax+b}{x^2+4}$ admette un extremum local au point $P(2 ; 1)$.

Montrer, à l'aide de la formule de dérivation d'un quotient et de la relation fondamentale de la trigonométrie ($\sin^2 x + \cos^2 x = 1$), que la dérivée de la fonction sécante $f(x) = \frac{1}{\cos x}$ est $f'(x) = \tan x \cdot \sec x$.

Un rayon lumineux va du point $A(0\,;\,a)$ au point $B(d\,;\,b)$ en se réfléchissant sur un miroir plan situé sur l'axe des abscisses au point $P(x\,;\,0)$. La distance totale parcourue par la lumière est donnée par la fonction $L(x) = \sqrt{x^2 + a^2} + \sqrt{(d-x)^2 + b^2}$. Calculer $L'(x)$ et montrer que la condition de distance minimale $L'(x) = 0$ implique que l'angle d'incidence est égal à l'angle de réflexion ($\sin \theta_1 = \sin \theta_2$).

Dans un modèle épidémiologique, la proportion de la population infectée par un virus au cours du temps $t$ (en semaines) suit une courbe logistique donnée par $I(t) = \frac{1}{1 + 49e^{-0,5t}}$. Calculer le taux de variation de l'infection $I'(t)$ et déterminer à quelle semaine la maladie se propage le plus rapidement (c'est-à-dire le point d'inflexion où $I''(t) = 0$).

Déterminer l'expression générale de la dérivée n-ième (d'ordre $n$) de la fonction $f(x) = \ln(2x - 1)$.

Déterminer l'équation de la tangente à la courbe $f(x) = e^x \cos x$ qui est parallèle à la droite $y = -e^{\pi} x + 5$, sachant que le point de tangence appartient à l'intervalle $[0 ; 2\pi]$.

Le bénéfice mensuel d'une entreprise de logiciels, en milliers d'euros, est modélisé par la fonction $B(x) = x^2 \ln\left(\frac{10}{x}\right)$, où $x$ est l'investissement en marketing en milliers d'euros ($0 < x \le 10$). Calculer l'investissement optimal $x$ qui maximise le bénéfice et montrer qu'il s'agit d'un maximum local.

Dans une étude biomédicale, la concentration sanguine $C(t)$ (en mg/l) d'un principe actif après administration par voie orale est modélisée par une fonction de la famille :

où $t$ est le temps écoulé en heures et les constantes $a$ et $k$ sont des paramètres réels positifs.

1. a) Déterminer la valeur exacte de $a$ et de $k$ sachant que la vitesse initiale d'absorption dans le sang est de $6\text{ mg/(l}\cdot\text{h)}$ (c'est-à-dire $C'(0) = 6$) et que la concentration maximale est atteinte exactement 2 heures après la prise (c'est-à-dire $C'(2) = 0$).
2. b) Avec les valeurs trouvées, calculer le taux de variation 4 heures après la prise ($C'(4)$) et interpréter le signe obtenu.
3. c) Montrer par le calcul que pour tout instant $t > 2$ la fonction dérivée vérifie strictement $C'(t) < 0$, et expliquer quelle conséquence clinique ce fait a sur l'évolution du médicament.

Deux élèves abordent différemment le calcul de la dérivée de la fonction $f(x) = \arcsin(x) + \arccos(x)$, définie sur $[-1 ; 1]$ :

• Lucie applique mécaniquement les formules du tableau des dérivées aux deux fonctions usuelles et additionne les résultats.

• Mathis se souvient de la propriété géométrique des angles complémentaires dans un triangle rectangle, selon laquelle $\arcsin(x) + \arccos(x) = \frac{\pi}{2}$ pour tout $x \in [-1 ; 1]$, et dérive cette constante.

1. a) Développer la méthode de Lucie pour calculer $f'(x)$ sur $]-1 ; 1[$. Que déduit directement tout observateur de sa dérivée sur la courbe de $f(x)$ ?
2. b) Expliquer comment le raisonnement géométrique de Mathis confirme le résultat de Lucie et comparer l'efficacité des deux approches.
3. c) Choisir et justifier la méthode la plus adaptée pour calculer la fonction dérivée de $g(x) = \arctan(x) + \arctan\left(\frac{1}{x}\right)$ pour tout $x > 0$. Effectuer les calculs et expliquer quelle propriété géométrique la valeur de $g'(x)$ révèle sur la fonction $g$.