Exercices: Tangente à une courbe

Calculer le coefficient directeur de la tangente à la courbe représentative de la fonction $f(x) = x^2 - 3x$ au point d'abscisse $x = 2$.

Déterminer l'équation de la tangente à la courbe $f(x) = x^2 + 1$ au point d'abscisse $x = 1$, comme sur la figure, en l'écrivant sous la forme $y - f(1) = f'(1) \cdot (x - 1)$.

Déterminer l'équation de la tangente à la courbe de la fonction $f(x) = x^3 - 2x$ au point d'abscisse $x = 1$.

En quel point de la courbe représentative de la fonction $f(x) = x^2 - 4x + 3$ la tangente est-elle horizontale ? Donner les coordonnées du point.

Déterminer le point de la parabole $f(x) = x^2$ en lequel la tangente est parallèle à la droite $y = 4x - 1$.

Dire si l'affirmation suivante est vraie ou fausse : « La tangente à une courbe en un point ne peut pas recouper la courbe en un autre point ». Si elle est fausse, donner un contre-exemple avec la fonction $f(x) = x^3$ au point d'abscisse $x = 1$.

Manon essaie de calculer l'équation de la tangente à la courbe $f(x) = x^2 - 3x + 2$ au point d'abscisse $x = 2$. Sur sa copie, elle écrit :

« $f'(x) = 2x - 3$

Équation : $y - f(2) = f'(x)\cdot(x - 2)$

Comme $f(2) = 0$, je remplace : $y - 0 = (2x - 3)(x - 2)$

Donc la tangente est $y = 2x^2 - 7x + 6$ ».

1. a) Repérer l'erreur de raisonnement commise par Manon et expliquer pourquoi son résultat final contredit la définition géométrique de la tangente.
2. b) Corriger l'exercice en calculant correctement l'équation réduite de la tangente et celle de la normale en $x = 2$.

On considère la fonction $f(x) = 4 - x^2$.

1. a) Avant de calculer une dérivée, faire les estimations qualitatives suivantes en raisonnant sur la forme de la parabole et son sommet :

1. La tangente en $x = 1$ aura-t-elle un coefficient directeur positif ou négatif ? Justifier d'après les variations de la fonction.

2. La normale en ce point aura-t-elle un coefficient directeur positif ou négatif ?

3. L'ordonnée à l'origine ($n$) de la tangente sera-t-elle supérieure ou inférieure à $4$ ?

1. b) Calculer algébriquement l'équation de la tangente et celle de la normale à la courbe en $x = 1$.
2. c) Vérifier si les valeurs numériques obtenues pour le coefficient directeur et l'ordonnée à l'origine confirment les estimations de la question a).

Un cycliste qui s'entraîne dans un vélodrome parcourt $s(t) = 2t^2 + 3t$ mètres pendant les $t$ premières secondes.

1. a) Déterminer l'équation de la tangente à la courbe représentative de $s(t)$ à l'instant $t = 2$.

1. b) Quelle grandeur physique représente le coefficient directeur de cette tangente ? Donner sa valeur et ses unités.

La figure montre la branche de l'hyperbole $f(x) = \frac{1}{x}$ correspondant à $x > 0$ et le point d'abscisse $x = 2$. Déterminer l'équation de la tangente en ce point et vérifier qu'elle coupe l'axe des ordonnées en $y = 1$.

Déterminer l'équation de la tangente à la courbe $f(x) = \ln x$ au point d'abscisse $x = 1$. Quelle relation cette droite a-t-elle avec les valeurs de $\ln x$ lorsque $x$ est très proche de $1$ ?

Déterminer les points de la courbe de $f(x) = x^3 - 3x + 2$ en lesquels la tangente est parallèle à la droite $y = 9x + 5$, et donner les coordonnées de chacun.

Soit la fonction $f(x) = x^2 - 2x + 3$.

1. a) Déterminer l'équation de la tangente au point d'abscisse $x = 3$.

1. b) Déterminer les points d'intersection de cette tangente avec les axes du repère.

1. c) Calculer l'aire du triangle formé par la tangente et les deux axes.

La normale à une courbe en un point est la perpendiculaire à la tangente en ce point. Déterminer les équations de la tangente et de la normale à la parabole $f(x) = x^2$ au point d'abscisse $x = 1$.

Une station de Météo-France dans le massif des Vosges relève la température ambiante $T$ (en $^{\circ}\text{C}$) au cours d'une journée de printemps. Entre $08:00$ et $18:00$, les données sont modélisées par la fonction $T(t) = -0,1t^2 + 2,6t - 4,9$, où $t$ est le temps en heures écoulées depuis minuit ($8 \le t \le 18$).

1. a) Interpréter la signification physique de la dérivée $T'(a)$ et de la tangente à la courbe à un instant quelconque $t = a$. Indiquer en quelles unités se mesure ce coefficient directeur.
2. b) Déterminer l'équation de la tangente à la courbe de la température à $10:00$ du matin ($t = 10$).
3. c) Utiliser la tangente obtenue comme approximation affine pour estimer la température prévue à $10:15$ ($t = 10,25$). Comparer le résultat avec la valeur exacte donnée par le modèle $T(10,25)$ et expliquer pourquoi la tangente est un outil de prévision utile à très court terme.

Déterminer les coefficients $a$, $b$ et $c$ de la fonction polynôme $f(x) = ax^2 + bx + c$ sachant qu'elle vérifie simultanément trois conditions géométriques :

1. Sa courbe coupe l'axe des ordonnées au point $(0\,;\,3)$.

2. La tangente à la courbe au point d'abscisse $x = 2$ est horizontale.

3. Au point d'abscisse $x = -1$, la normale à la courbe est parallèle à la droite d'équation $x - 6y + 12 = 0$.

Écrire d'abord la traduction mathématique de chaque condition en fonction de $f$ et $f'$, puis résoudre en détail le système obtenu.

Depuis le point $P(0\,;\,-4)$, extérieur à la parabole $f(x) = x^2$ et représenté sur la figure, on veut tracer des tangentes à la courbe.

1. a) Écrire l'équation de la tangente à la parabole en un point quelconque d'abscisse $x = a$.

1. b) Imposer la condition qu'elle passe par $P$ et déterminer les équations des deux tangentes possibles, en précisant les points de tangence.

Déterminer le point de la courbe $f(x) = \ln x$ en lequel la tangente passe par l'origine du repère, et écrire l'équation de cette tangente. (Indication : écrire la tangente en un point quelconque d'abscisse $x = a$ et imposer qu'elle passe par $(0\,;\,0)$.)

Les paraboles $f(x) = x^2$ et $g(x) = 2 - x^2$ se coupent en formant un angle, celui que forment leurs tangentes au point d'intersection, comme le montre la figure.

1. a) Vérifier que les deux courbes se coupent aux points d'abscisses $x = -1$ et $x = 1$.

1. b) Calculer les coefficients directeurs des tangentes aux deux courbes au point d'abscisse $x = 1$.

1. c) En utilisant la formule de l'angle entre deux droites, $\tan \theta = \left| \frac{m_1 - m_2}{1 + m_1 \cdot m_2} \right|$, déterminer l'angle que forment les deux courbes en ce point.

On veut estimer la valeur de $\sqrt{102}$ sans calculatrice.

1. a) Déterminer l'équation de la tangente à $f(x) = \sqrt{x}$ au point d'abscisse $x = 100$.

1. b) Utiliser cette droite pour donner une estimation de $\sqrt{102}$ à deux décimales.

1. c) Sachant que la valeur réelle arrondie à quatre décimales est $10,0995$, dire si l'approximation par la tangente est par excès ou par défaut et justifier pourquoi.

On veut déterminer les équations des tangentes à la parabole $f(x) = x^2 - 4x + 5$ passant par le point extérieur $P(2\,;\,-3)$ (vérifier d'abord que $P$ n'appartient pas à la courbe). Deux élèves proposent des méthodes différentes :

• Méthode 1 (géométrie analytique) : écrire le faisceau de droites passant par $P$, $y + 3 = m(x - 2)$, remplacer dans la parabole pour obtenir une équation du second degré en $x$ et imposer un discriminant nul ($\Delta = 0$) pour exiger la tangence.

• Méthode 2 (calcul différentiel) : écrire la tangente en un point inconnu $(a\,;\,f(a))$, imposer qu'elle passe par $P(2\,;\,-3)$ et déterminer les valeurs de $a$.

1. a) Appliquer la méthode 1 et obtenir les équations des tangentes.
2. b) Appliquer la méthode 2 et vérifier qu'on obtient exactement les mêmes solutions.
3. c) Comparer les deux méthodes et justifier laquelle est préférable si la courbe était $g(x) = x^3 - 2x$ ou $h(x) = e^x$, en expliquant précisément pourquoi l'autre méthode n'est plus applicable ou devient impraticable.

On considère la famille de paraboles $f_k(x) = x^2 + k$, où $k \in \mathbb{R}$ est une constante. Depuis le point extérieur $P(0\,;\,-1)$, on trace des tangentes à la courbe.

1. a) Déterminer l'équation de la tangente en un point quelconque $(a\,;\,f_k(a))$ et imposer qu'elle passe par $P(0\,;\,-1)$ pour obtenir une équation d'inconnue $a$.
2. b) Discuter, en justifiant, le nombre de tangentes que l'on peut tracer depuis $P(0\,;\,-1)$ en fonction des valeurs du paramètre $k$ (en distinguant les cas : deux, une ou aucune).
3. c) Pour les valeurs de $k$ pour lesquelles il existe deux tangentes distinctes, démontrer que ces droites sont perpendiculaires entre elles pour une seule valeur de $k$. Calculer cette valeur et les équations réduites des deux tangentes perpendiculaires.