Exercices: Règles de dérivation

Calculer la fonction dérivée de $f(x) = 5x^4 - \frac{3}{x^2} + 2\sqrt{x} - 7$, en appliquant les règles de base de dérivation des puissances et la linéarité.

Déterminer la dérivée de la fonction $g(t) = (3t^2 - 5t) \cdot e^t$ à l'aide de la formule de dérivation d'un produit.

Appliquer la formule de dérivation d'un quotient pour déterminer la dérivée de la fonction rationnelle $h(x) = \frac{2x + 1}{x^2 - 3}$.

Calculer la dérivée de la fonction composée $f(x) = \sin(4x^3 - x)$ en appliquant correctement la formule de dérivation d'une fonction composée.

Déterminer la dérivée première de la fonction logarithme $y = \ln(x^2 + 5x + 6)$.

Calculer la dérivée de la fonction $f(x) = 3^{2x} + \arctan(x)$, en se rappelant la règle de dérivation des exponentielles de base différente de $e$ et celle des fonctions trigonométriques réciproques.

Déterminer la dérivée seconde, $f''(t)$, de la fonction $f(t) = \cos(5t) - t^3$.

Lucie doit calculer la fonction dérivée de $h(x) = (3x^2 - 5)^4$. Dans son devoir, elle écrit ce qui suit :

Et à partir de là, elle en déduit que $h'(1) = 4(3\cdot 1^2 - 5)^3 = 4(-2)^3 = -32$.

1. a) Identifier précisément quelle règle de dérivation a été appliquée de façon incomplète et expliquer avec vos propres mots quel facteur a été oublié selon la formule de dérivation d'une fonction composée et ce que représente conceptuellement ce facteur.
2. b) Corriger la démarche de Lucie, écrire l'expression correcte de la fonction dérivée $h'(x)$ et calculer la véritable valeur de $h'(1)$.

On propose de calculer la fonction dérivée de $f(x) = \frac{6x^4 - 9x^2}{3x^2}$ pour tout $x \ne 0$.

• Méthode 1 : appliquer directement la formule de dérivation d'un quotient : $\left(\frac{u}{v}\right)' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$.

• Méthode 2 : diviser au préalable chaque terme du numérateur par le monôme du dénominateur pour réécrire $f(x)$ sous la forme d'un polynôme simple, puis dériver terme à terme.

1. a) Effectuer le calcul de la dérivée en appliquant les deux méthodes pas à pas.
2. b) Comparer les deux démarches : laquelle est la plus rapide et présente le moins de risques d'erreurs de calcul ou de signes ? Justifier pourquoi la méthode 2 n'est recommandée que lorsque le dénominateur est un unique monôme.

Le nombre d'écoutes quotidiennes d'une chanson devenue virale évolue selon la fonction $R(t) = 50 t^2 e^{-0,2t}$, où $t$ est mesuré en jours depuis sa sortie et $R(t)$ en milliers d'écoutes. Calculer le taux de variation instantané $R'(t)$ en appliquant les règles de dérivation et donner son expression factorisée au maximum.

Le coût moyen de production d'un composant électronique de haute précision est donné par $C(x) = \frac{\ln(x + 1)}{x}$, où $x$ est le nombre de lots fabriqués ($x > 0$). Déterminer la fonction qui décrit le taux de variation du coût moyen, $C'(x)$.

La température d'un four industriel après son arrêt décroît selon la loi de refroidissement $T(t) = 20 + 80 \cos^2\left(\frac{\pi t}{4}\right)$, avec $T$ en degrés Celsius et $t$ en heures. Déterminer l'expression de la vitesse de refroidissement $T'(t)$ en utilisant la formule de dérivation d'une fonction composée.

Le profil de la toiture d'un stade olympique suit la courbe plane d'équation $f(x) = \frac{100}{x^2 + 25}$, en mètres. Calculer l'équation cartésienne de la tangente au point d'abscisse $x = 5$ afin de concevoir un support structurel rectiligne qui s'appuie tangentiellement en ce point.

Un bras robotisé articulé se déplace de telle sorte que l'angle de son articulation principale (en radians), en fonction d'un paramètre de commande $x$, est $\theta(x) = \arcsin\left(\frac{x-1}{x+1}\right)$ pour $x > 1$. Déterminer la forme entièrement simplifiée de $\theta'(x)$.

La position d'un piston pneumatique dans un cylindre est décrite par l'équation du mouvement $s(t) = \ln(1 + t^2)$, où $s$ est en décimètres et $t$ en secondes. Calculer l'expression de l'accélération du piston, qui correspond à la dérivée seconde $s''(t)$, et déterminer à quel instant $t > 0$ cette accélération s'annule.

Un panneau solaire photovoltaïque installé sur une maison de Toulouse subit une légère dilatation thermique pendant les heures centrales de la journée. Sa largeur en mètres varie selon la fonction $a(t) = 1 + 0,02t$, et sa longueur selon $l(t) = 2 + 0,05t$, où $t$ est le temps écoulé en heures depuis 11 h 00 ($t \ge 0$). La surface de captation est donnée par $S(t) = a(t) \cdot l(t)$.

1. a) Avant de dériver, estimer de façon argumentée si la vitesse instantanée d'augmentation de l'aire en $t = 0$ ($S'(0)$) sera supérieure, inférieure ou égale à la somme des vitesses auxquelles croissent ses côtés ($a'(0) + l'(0) = 0,02 + 0,05 = 0,07\text{ m}^2/\text{h}$). Appuyer votre conjecture sur l'interprétation géométrique de la formule de dérivation d'un produit (la croissance d'un rectangle répartie en deux bandes).
2. b) Appliquer la formule de dérivation d'un produit pour calculer la fonction dérivée $S'(t)$ et évaluer exactement la valeur de $S'(0)$.
3. c) Vérifier si votre estimation initiale était correcte et expliquer comment les dimensions initiales ($a(0) = 1\text{ m}$ et $l(0) = 2\text{ m}$) interviennent dans le rythme global de croissance de la surface.

Lors d'un épisode de précipitations continues en automne, le volume d'eau stocké dans un barrage du bassin de la Loire évolue en fonction du temps selon le modèle :

où $V(t)$ représente le volume supplémentaire stocké en hectomètres cubes ($\text{hm}^3$) et $t$ est le temps écoulé en jours depuis le début de la tempête ($t \ge 0$).

1. a) Appliquer la formule de dérivation d'un quotient pour obtenir la fonction dérivée $V'(t)$ et simplifier au maximum le numérateur de la fraction obtenue.
2. b) Déterminer à quel jour $t$ le taux instantané de remplissage s'annule ($V'(t) = 0$). Étudier le signe de $V'(t)$ avant et après ce jour et interpréter ce qui se passe physiquement pour le volume du réservoir.
3. c) Calculer la vitesse de variation du volume au bout de $t = 2$ jours et de $t = 6$ jours. Indiquer les unités dans lesquelles se mesure cette dérivée et interpréter la signification physique de son signe dans les deux cas.

La trajectoire d'un satellite lors d'une manœuvre orbitale complexe est décrite dans un plan de référence par la courbe définie de façon implicite par l'équation $x^2 y - 3y^3 x = 10$. Calculer la valeur du coefficient directeur de la tangente à la trajectoire, $y'$, au point de coordonnées $(-2\,;\,1)$.

Soit $f(x)$ et $g(x)$ deux fonctions dont les courbes représentatives sont données sur la figure. La courbe de $f$ est la parabole $f(x)=-x^2+6x-3$, qui passe par les points $(2\,;\,5)$ et $(4\,;\,5)$. La courbe de $g$ est la droite passant par les points $(2\,;\,4)$ et $(4\,;\,2)$. On définit la fonction composée $h(x)=f(g(x))$ et la fonction produit $p(x)=f(x)\cdot g(x)$.

Calculer les valeurs exactes de :

1. a) $h'(2)$

1. b) $p'(4)$

L'intensité d'un signal électromagnétique atténué lors de la traversée d'un milieu dense suit la fonction $I(x) = x e^{-x}$. Calculer les trois premières dérivées $I'(x)$, $I''(x)$ et $I'''(x)$, puis, à partir des résultats obtenus, déduire et écrire la formule générale de la dérivée n-ième $I^{(n)}(x)$.

Dans un circuit RLC en courant alternatif, la charge du condensateur est donnée par la fonction $q(t) = e^{-\alpha t} (A \sin(\omega t) + B \cos(\omega t))$. Montrer, en calculant en détail $q'(t)$ et $q''(t)$, que pour les constantes $A=1$, $B=0$, $\alpha=2$ et $\omega=3$, la fonction vérifie l'équation différentielle du second ordre :

Le niveau de pression acoustique dans une chambre anéchoïque, après application d'un filtre de fréquences, est donné par la fonction :

Montrer, en utilisant les propriétés des logarithmes avant de dériver puis des identités trigonométriques dans le résultat final, que $L'(x) = \frac{2}{\cos(2x)}$.

On sait qu'une fonction $h(x)$ est définie par le produit $h(x) = x^2 \cdot g(x)$, où $g(x)$ est une fonction dérivable sur tout $\mathbb{R}$ dont l'expression algébrique n'est pas connue directement. Cependant, on a constaté expérimentalement que la tangente à la courbe de $h(x)$ au point d'abscisse $x = 3$ a pour équation $y = 12x - 9$.

1. a) À partir de l'équation de la tangente, déduire de façon justifiée les valeurs numériques exactes de $h(3)$ et du nombre dérivé $h'(3)$.
2. b) Appliquer la formule de dérivation d'un produit à l'expression $h(x) = x^2 \cdot g(x)$ pour établir une relation algébrique entre $h'(3)$, $g(3)$ et $g'(3)$. Isoler et calculer la valeur numérique exacte de $g(3)$ et de $g'(3)$.
3. c) À partir du signe obtenu pour $g'(3)$, déterminer en justifiant si la fonction $g(x)$ est croissante ou décroissante au voisinage de $x = 3$.
4. d) Avec les résultats obtenus, écrire l'équation de la tangente à la courbe de $y = g(x)$ au point d'abscisse $x = 3$.

Dans le cours, on établit qu'un quotient est égal au produit $\frac{f(x)}{g(x)} = f(x) \cdot [g(x)]^{-1}$, de sorte que sa dérivée résulte de la combinaison de la formule du produit et de celle de la composée.

1. a) Effectuer rigoureusement cette déduction : dériver l'expression $f(x) \cdot [g(x)]^{-1}$ en appliquant la formule du produit et celle de la composée sur $[g(x)]^{-1}$, mettre $[g(x)]^{-2}$ en facteur et montrer que l'on obtient exactement la formule usuelle : $\frac{f'(x)g(x) - f(x)g'(x)}{[g(x)]^2}$.
2. b) Généraliser le raisonnement : montrer que la dérivée d'une fonction de la forme $H(x) = \frac{f(x)}{[g(x)]^n}$ (où $n \in \mathbb{N}$) peut s'exprimer directement sous la forme :

1. c) Appliquer la formule obtenue à la question b pour déterminer la dérivée de $k(x) = \frac{2x - 1}{(x^2 + 3)^3}$.
2. d) Choisir et justifier : comparer ce procédé avec l'utilisation de la formule classique de dérivation d'un quotient sur $k(x)$ et expliquer pourquoi la formule généralisée évite des simplifications fastidieuses de facteurs répétés au numérateur et au dénominateur.