Exercices: Fonction dérivée

Appliquer la définition de la dérivée en calculant la limite $f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x+h) - f(x)}{h}$ pour trouver la fonction dérivée de $f(x) = 3x^2 - 5x + 2$.

Calculer la fonction dérivée de la fonction suivante, mêlant polynôme et exponentielle, en appliquant les règles usuelles de dérivation :

$f(x) = \frac{3}{4}x^4 - 2x^3 + \frac{5}{x^2} - 3e^x$

Déterminer la fonction dérivée de $f(x)$ en appliquant la formule de dérivation d'un produit. Simplifier le résultat autant que possible.

$f(x) = (2x^3 - x + 4) \cdot \ln(x)$

Déterminer la fonction dérivée en appliquant la formule de dérivation d'un quotient. Donner le résultat final avec le numérateur simplifié.

$f(x) = \frac{4x - 3}{x^2 + 5}$

Utiliser la dérivée d'une fonction composée pour déterminer la fonction dérivée de la fonction trigonométrique composée suivante :

$f(x) = \cos(5x^3 - 2x^2 + 1)$

Calculer la valeur exacte du nombre dérivé de la fonction $f(x) = \sqrt{3x^2 + 4}$ au point d'abscisse $x = 2$.

Déterminer la dérivée seconde $f''(x)$ de la fonction $f(x) = x^4 \cdot \ln(x)$.

Observer la courbe de la fonction $f(x)$ qui représente la trajectoire d'un projectile en fonction du temps.

À partir de la représentation graphique, déterminer le signe de la fonction dérivée $f'(x)$ aux abscisses $x = 1$, $x = 2$ et $x = 3$. Justifier la réponse en s'appuyant sur l'interprétation géométrique de la dérivée.

Manon étudie les extremums locaux de la fonction $f(x) = (x-2)^3 + 1$. Pour cela, elle calcule sa fonction dérivée et obtient $f'(x) = 3(x-2)^2$. Ensuite, elle pose l'équation $f'(x) = 0$, trouve comme unique solution $x = 2$ et conclut dans sa copie : « Comme la dérivée en $x = 2$ vaut zéro, la fonction $f$ atteint obligatoirement un minimum local au point $(2 ; 1)$ ».

1. a) Expliquer l'erreur conceptuelle de Manon : la condition $f'(a) = 0$ garantit-elle à elle seule l'existence d'un extremum local en $x = a$ ?
2. b) Étudier le signe de la fonction dérivée $f'(x)$ sur les intervalles $]-\infty ; 2[$ et $]2 ; +\infty[$. À partir de cette étude, décrire ce que fait réellement la courbe à gauche et à droite de $x = 2$ et en déduire la nature du point de la courbe en $(2 ; 1)$.

On considère la fonction polynôme $f(x) = 4 - x^2$.

1. a) Avant de calculer une dérivée, faire une estimation qualitative argumentée : quel signe attendez-vous pour le coefficient directeur de la tangente à la courbe en $x = 1$ et en $x = -2$ ? En lequel des deux points prévoyez-vous que l'inclinaison soit la plus forte en valeur absolue ? Justifier à partir des variations et de la symétrie de la parabole.
2. b) Déterminer la fonction dérivée $f'(x)$ en appliquant rigoureusement la définition de la dérivée par la limite du taux d'accroissement : $f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x+h) - f(x)}{h}$.
3. c) Calculer $f'(1)$ et $f'(-2)$ en remplaçant dans la fonction dérivée obtenue et vérifier si les résultats numériques confirment les estimations formulées à la question a).

L'équation du mouvement d'un véhicule autonome en phase de test est donnée par la fonction $s(t) = 2t^3 - 15t^2 + 24t + 10$, où $s$ est la position en mètres et $t$ le temps en secondes ($t \ge 0$).

Déterminer la fonction vitesse $v(t)$ et la fonction accélération $a(t)$. Déterminer à quels instants le véhicule s'arrête momentanément.

Le coût total de production, en euros, de $x$ unités d'un composant électronique de haute précision est modélisé par la fonction $C(x) = 0,02x^3 - 0,6x^2 + 40x + 500$.

Calculer la fonction de coût marginal $C'(x)$ et évaluer sa valeur lorsque l'on produit exactement $x = 15$ unités. Interpréter le résultat obtenu dans le contexte du problème.

Lors d'une expérience de cinétique chimique, la concentration d'un réactif en fonction du temps $t$ (en minutes) est modélisée par l'expression $C(t) = \frac{8t}{t^2 + 4}$ en moles par litre.

Déterminer la fonction dérivée $C'(t)$ qui représente la vitesse de réaction. À quel instant $t > 0$ la vitesse de réaction est-elle nulle ?

Déterminer les valeurs des paramètres réels $a$ et $b$ pour que la fonction définie par morceaux suivante soit dérivable en $x = 2$ :

$f(x) = \begin{cases} ax^2 + 3x & \text{si } x \le 2 \\ bx^3 - 4 & \text{si } x > 2 \end{cases}$

Appliquer les propriétés des logarithmes pour simplifier l'expression de $f(x)$ avant de dériver, puis calculer sa fonction dérivée simplifiée :

$f(x) = \ln\left( \sqrt{\frac{1 + \sin(x)}{1 - \sin(x)}} \right)$

Déterminer les abscisses des points de la courbe $f(x) = e^{3x}(x^2 - 4x + 2)$ où la tangente est horizontale.

Le nombre de vues cumulées d'une vidéo virale $t$ heures après sa publication suit une loi de croissance exponentielle donnée par $R(t) = 1500 \cdot 3^{0,4t}$.

Déterminer la fonction qui décrit le taux de croissance instantané des vues, $R'(t)$, et calculer ce taux à $5$ heures.

La courbe suivante représente la fonction dérivée $f'(x)$ d'une certaine fonction $f(x)$ continue sur $\mathbb{R}$.

En observant uniquement le comportement de $f'(x)$, déterminer les intervalles sur lesquels la fonction initiale $f(x)$ est croissante et ceux où elle est décroissante. En quelles abscisses $f(x)$ présentera-t-elle des extremums locaux ?

Déterminer les coefficients $a$, $b$ et $c$ d'une fonction du second degré $f(x) = ax^2 + bx + c$ sachant qu'elle vérifie simultanément les trois conditions suivantes :

1. Sa dérivée seconde est constante et égale à $-4$ sur tout son ensemble de définition : $f''(x) = -4$.

2. Sa fonction dérivée s'annule en l'abscisse $x = 1,5$, est strictement positive pour $x < 1,5$ et strictement négative pour $x > 1,5$.

3. La courbe de $f$ passe par le point $(1,5; 6)$.

Une fois les expressions de $f(x)$, $f'(x)$ et $f''(x)$ calculées :

1. a) Justifier, en vous appuyant sur le changement de signe de $f'(x)$, si le point $(1,5; 6)$ correspond à un maximum local ou à un minimum local.
2. b) Expliquer la signification de la valeur et du signe de la dérivée seconde $f''(x)$ quant à la rapidité avec laquelle varie le coefficient directeur de la tangente autour de cet extremum.

Lors d'une journée de canicule relevée par Météo-France dans une station météorologique du sud de la France, la température extérieure $T$ (en degrés Celsius) entre 8 h ($t = 0$) et 20 h ($t = 12$) est modélisée par la fonction :

où $t$ est le temps mesuré en heures écoulées depuis 8 h.

1. a) Déterminer la fonction dérivée $T'(t)$ et interpréter la grandeur physique qu'elle représente dans ce contexte, en indiquant ses unités.
2. b) Calculer le taux de variation instantané de la température à 10 h ($t = 2$) et à 18 h ($t = 10$). Interpréter la signification physique du signe et de la valeur obtenus dans chaque cas.
3. c) Résoudre l'équation $T'(t) = 0$ pour trouver l'heure exacte à laquelle la température atteint son maximum de la journée et calculer cette température maximale.
4. d) Déterminer la dérivée seconde $T''(t)$. Que mesure cette dérivée seconde sur l'évolution de la chaleur au cours de la journée et que nous indique le fait que son signe soit négatif sur tout l'intervalle ?

Déterminer l'expression générale de la dérivée n-ième $f^{(n)}(x)$ de la fonction $f(x) = \ln(3x - 2)$. Indication : calculer les quatre premières dérivées successives et en conjecturer la forme générale.

On considère la fonction définie à l'aide d'une valeur absolue $f(x) = |x^2 - 4|$.

Exprimer $f(x)$ comme une fonction définie par morceaux et calculer sa fonction dérivée $f'(x)$. Démontrer analytiquement pourquoi la fonction n'est pas dérivable aux points anguleux indiqués sur le graphique.

Démontrer que la fonction $y = e^{-2x} \cdot \sin(3x)$ est une solution particulière de l'équation différentielle linéaire du second ordre :

$y'' + 4y' + 13y = 0$

Soit la fonction rationnelle $f(x) = \frac{ax^2 + b}{cx + 1}$. Déterminer les valeurs des paramètres réels $a, b, c$ sachant que sa courbe passe par le point $(0 ; 3)$, admet une asymptote verticale en $x = -2$ et présente une tangente horizontale au point d'abscisse $x = 1$.

Dans la conception d'un pont suspendu, le profil du câble principal a la forme d'une chaînette dont l'équation dans un repère est $f(x) = \frac{e^{x/10} + e^{-x/10}}{2}$ (avec $x$ et $y$ en mètres).

Calculer l'angle d'inclinaison $\alpha$ que forme la tangente au câble avec l'horizontale au point d'ancrage situé en $x = 10$ mètres.

On considère la fonction $f(x) = \begin{cases} e^{ax} - 1 & \text{si } x \le 0 \\ b \sin(x) + c x^2 & \text{si } x > 0 \end{cases}$.

Déterminer la relation mathématique qui doit exister entre les paramètres $a, b, c$ pour que la dérivée seconde existe à l'origine, c'est-à-dire pour que $f''(0)$ soit un réel bien défini.

Le graphique suivant montre deux courbes, A (bleue) et B (verte). On sait que l'une correspond à une fonction polynôme $f(x)$ et l'autre à sa fonction dérivée $f'(x)$.

Identifier en justifiant quelle courbe représente $f(x)$ et laquelle représente $f'(x)$, en vous appuyant sur la relation géométrique entre les points d'intersection avec l'axe des abscisses, les extremums locaux et les variations. Déduire ensuite le signe de la dérivée seconde $f''(x)$ en l'abscisse $x = 0$.

On veut déterminer la fonction dérivée et les intervalles de croissance et de décroissance de la fonction rationnelle $f(x) = \frac{2x+1}{x-3}$, d'ensemble de définition $\mathbb{R} \setminus \{3\}$. Pour calculer $f'(x)$ à l'aide de la définition par la limite, deux élèves proposent deux méthodes de travail différentes :

• Stratégie A (taux d'accroissement direct) : calculer $f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x+h) - f(x)}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{\frac{2(x+h)+1}{x+h-3} - \frac{2x+1}{x-3}}{h}$ en réduisant directement au même dénominateur au numérateur.

• Stratégie B (décomposition préalable) : effectuer la division polynomiale pour écrire $f(x) = 2 + \frac{7}{x-3}$ et appliquer la définition de la limite à cette nouvelle expression : $f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{\left(2 + \frac{7}{x+h-3}\right) - \left(2 + \frac{7}{x-3}\right)}{h}$.

1. a) Comparer les deux stratégies et justifier laquelle est la plus efficace algébriquement et la moins exposée aux erreurs de simplification dans le calcul de la limite.
2. b) Développer entièrement le calcul de $f'(x)$ en suivant la stratégie que vous avez jugée la plus avantageuse.
3. c) À partir de l'expression de $f'(x)$, préciser l'ensemble de dérivabilité de $f$, étudier le signe de $f'(x)$ sur les intervalles $]-\infty ; 3[$ et $]3 ; +\infty[$ et expliquer pourquoi la fonction n'a aucun extremum local bien qu'elle ne soit pas bornée.

Pour étudier la dérivabilité et les extremums locaux de la fonction $f(x) = |x^2 - 4|$, Marc écrit dans sa copie :

« J'écris la fonction par morceaux : $f(x) = x^2 - 4$ si $x \le -2$ ou $x \ge 2$, et $f(x) = 4 - x^2$ si $-2 < x < 2$. Je dérive chaque morceau directement : $f'(x) = 2x$ à l'extérieur et $f'(x) = -2x$ à l'intérieur. Comme en évaluant avec la première formule on a $f'(2) = 4$ et $f'(-2) = -4$, la fonction est dérivable sur tout $\mathbb{R}$. Ensuite je résous $f'(x) = 0$ : la seule solution valable dans son intervalle est $-2x = 0 \implies x = 0$. En conclusion, le seul extremum local de $f$ est le maximum local en $x = 0$ ».

1. a) Repérer et expliquer en détail les deux erreurs conceptuelles commises par Marc : l'une concernant la façon de déterminer l'existence de la fonction dérivée aux points de raccord ($x = -2$ et $x = 2$) et l'autre concernant la recherche complète des extremums locaux.
2. b) Appliquer la définition des dérivées à gauche et à droite (à l'aide des limites à gauche et à droite du taux d'accroissement) en $x = 2$ pour démontrer si $f'(2)$ existe ou non. Quelle particularité géométrique la courbe présente-t-elle en $x = 2$ et en $x = -2$ ?
3. c) Corriger l'exercice en déterminant l'ensemble exact de dérivabilité de $f(x)$ et en indiquant TOUS ses extremums locaux (en précisant s'il s'agit de maximums ou de minimums). Expliquer comment il est possible qu'il existe des extremums locaux en des points où la fonction n'est pas dérivable.