Exercices: Définition du nombre dérivé d'une fonction en un point

Calculer, à l'aide de la définition du nombre dérivé par la limite $f'(a) = \lim_{h \to 0} \frac{f(a+h) - f(a)}{h}$, la valeur de $f'(2)$ pour la fonction $f(x) = x^2 + 3$.

Déterminer le taux de variation instantané (nombre dérivé) de la fonction $f(x) = 3x - 5$ au point d'abscisse $x = 1$, en appliquant la limite du taux d'accroissement.

La distance parcourue par un objet en chute libre sur une planète fictive est donnée par $s(t) = 4t^2$, où $s$ est mesuré en mètres et $t$ en secondes. Calculer la vitesse instantanée à $t = 3$ s en appliquant la définition du nombre dérivé comme limite.

Soit la fonction $f(x) = 2x^2 - x$. Utiliser l'expression alternative de la définition $f'(a) = \lim_{x \to a} \frac{f(x) - f(a)}{x - a}$ pour déterminer le nombre dérivé au point $a = -1$.

Démontrer, en calculant explicitement les limites à gauche et à droite du taux d'accroissement, que la fonction valeur absolue $f(x) = |x - 3|$ n'est pas dérivable au point $x = 3$.

Un cycliste sur un vélodrome parcourt une distance donnée par la fonction $d(t) = t^2 + 5t$ (mesurée en mètres, avec $t$ en secondes). Calculer sa vitesse instantanée à $t = 2$ secondes en utilisant strictement la définition du nombre dérivé par les limites.

Déterminer l'équation de la tangente à la courbe $f(x) = x^2$ au point d'abscisse $x = 2$. Pour cela, calculer d'abord le coefficient directeur $m = f'(2)$ à l'aide de la définition du nombre dérivé par la limite.

Calculer le nombre dérivé de la fonction constante $f(x) = 7$ au point $x = 5$ en appliquant la définition formelle avec la limite. Expliquer brièvement la signification géométrique du résultat obtenu.

Paul veut calculer le coefficient directeur de la tangente à la courbe de $f(x) = 2x^2 - 3x$ au point d'abscisse $a = 1$ en utilisant la définition formelle du nombre dérivé par la limite du taux d'accroissement. Dans son cahier, il écrit le développement suivant :

Et il conclut que le coefficient directeur de la tangente est $-3$, donc que son équation est $y - (-1) = -3(x - 1)$.

1. a) Repérer et expliquer en détail l'erreur algébrique commise par Paul lorsqu'il pose et développe l'expression $f(1+h)$.
2. b) Corriger le calcul en résolvant correctement la limite pour trouver la vraie valeur de $f'(1)$.
3. c) Avec la valeur corrigée, écrire l'équation de la tangente à la courbe de $f$ au point $(1 ; f(1))$.

Pour calculer le nombre dérivé de la fonction rationnelle $f(x) = \frac{1}{x+2}$ au point d'abscisse $a = 1$, vous disposez de deux formules équivalentes fondées sur la limite du taux d'accroissement :

• Méthode A (accroissement $h$) : $f'(1) = \displaystyle\lim_{h \to 0} \frac{f(1+h) - f(1)}{h}$

• Méthode B (approche de l'abscisse) : $f'(1) = \displaystyle\lim_{x \to 1} \frac{f(x) - f(1)}{x - 1}$

1. a) Écrire l'expression algébrique de la fraction obtenue au numérateur avant de calculer la limite dans chacune des deux méthodes.
2. b) Comparer les deux démarches : décrire la forme indéterminée qui apparaît dans chacune et les manipulations algébriques (opérations sur les fractions, simplification de facteurs) qu'exige chaque méthode. Justifier laquelle vous semble la plus directe ou la moins sujette aux erreurs de signe.
3. c) Calculer la limite avec la méthode choisie et expliquer si le signe du coefficient directeur obtenu est cohérent avec le fait que la fonction soit décroissante autour de $x = 1$.

À l'aide de la définition du nombre dérivé par les limites, calculer $f'(3)$ pour la fonction rationnelle $f(x) = \frac{1}{x - 1}$.

Déterminer le nombre dérivé de la fonction à radicaux $f(x) = \sqrt{x + 5}$ au point $x = 4$, en appliquant la définition du nombre dérivé comme limite et en utilisant l'expression conjuguée pour lever la forme indéterminée.

Dans une usine de composants technologiques, le coût total de production de $q$ unités est donné par la fonction $C(q) = 100 + 2q + 0,1q^2$ en euros. Déterminer le coût marginal (la dérivée de la fonction de coût) lorsque l'on produit exactement $q = 20$ unités, en résolvant la limite de la définition formelle du nombre dérivé.

Étudier si la fonction définie par morceaux suivante est dérivable en $x = 2$, en vérifiant d'abord sa continuité puis en appliquant la définition des nombres dérivés à gauche et à droite :

$f(x) = \begin{cases} x^2 & \text{si } x \le 2 \\ 4x - 4 & \text{si } x > 2 \end{cases}$

Déterminer l'équation de la tangente à la courbe de la fonction $f(x) = \frac{x}{x + 2}$ à l'origine du repère. Vous devez calculer le coefficient directeur en évaluant la limite de la définition du nombre dérivé en $x = 0$.

L'altitude d'un drone d'observation agricole suit l'équation $h(t) = -5t^2 + 20t + 2$, avec la hauteur $h$ exprimée en mètres et le temps $t$ en secondes. En utilisant la définition du nombre dérivé par la limite pour un point quelconque $t$, obtenir la fonction vitesse $v(t) = h'(t)$ et déterminer à quel instant exact le drone atteint sa hauteur maximale (lorsque sa vitesse est nulle).

Le graphique ci-joint montre une fonction continue présentant un point anguleux. Définir analytiquement une fonction faisant intervenir une valeur absolue qui corresponde à ce graphique et démontrer rigoureusement, en calculant les limites à gauche et à droite du taux d'accroissement, pourquoi la fonction n'est pas dérivable en $x = 2$.

Calculer, à l'aide de la définition du nombre dérivé par la limite pour un point quelconque $x$, la fonction dérivée $f'(x)$ de $f(x) = x^3 - 3x$. Utiliser ensuite le résultat obtenu pour trouver les points de la courbe où la tangente est horizontale.

Considérer la fonction $f(x) = x^3 - 4x$ et le point d'abscisse $a = 2$.

1. a) Avant de calculer la dérivée exacte, faire une estimation numérique de $f'(2)$. Pour cela, calculer le taux de variation moyen (coefficient directeur de la sécante) sur deux intervalles proches du point : l'un à sa droite, $[2; 2,05]$, et l'autre à sa gauche, $[1,95; 2]$. À partir des deux résultats, proposer une valeur entière estimée pour $f'(2)$.
2. b) Calculer la valeur exacte de $f'(2)$ en utilisant rigoureusement la définition du nombre dérivé par la limite du taux d'accroissement :

1. c) Comparer votre estimation initiale au résultat exact. Expliquer la relation géométrique entre les coefficients directeurs des deux sécantes calculés à la question a) et le coefficient directeur de la tangente obtenu à la question b).

D'après les relevés d'une station météorologique de Météo-France lors d'une journée de printemps, la température ambiante $T$ (en degrés Celsius, $^{\circ}\text{C}$) évolue entre $7:00$ ($t = 0$) et $13:00$ ($t = 6$) selon le modèle :

où $t$ est le temps mesuré en heures écoulées depuis $7:00$.

1. a) Écrire l'expression du taux d'accroissement qui mesure le taux de variation moyen de la température entre $9:00$ ($t = 2$) et un instant ultérieur quelconque $2+h$ heures.
2. b) Calculer le taux de variation instantané de la température à $9:00$ ($t = 2$) en calculant la limite du taux d'accroissement lorsque $h \to 0$. Exprimer le résultat numérique avec ses unités physiques et interpréter sa signification.
3. c) Déterminer l'équation de la tangente à la courbe de $T(t)$ au point correspondant à $t = 2$.
4. d) Utiliser la tangente pour estimer la température à $9:15$ ($t = 2,25$) et évaluer la précision de cette approximation en la comparant à la valeur réelle que prédit le modèle du second degré $T(2,25)$.

Déterminer les valeurs exactes des paramètres $a$ et $b$ pour que la fonction définie par morceaux

$f(x) = \begin{cases} ax^2 + b & \text{si } x < 1 \\ \frac{1}{x} & \text{si } x \ge 1 \end{cases}$

soit dérivable en $x = 1$. Justifier la réponse en appliquant la définition de la continuité et en évaluant les limites des dérivées à gauche et à droite par le taux d'accroissement.

Calculer le nombre dérivé de la fonction $f(x) = \sqrt{x^2 + 3}$ au point $x = 1$ en utilisant exclusivement la définition du nombre dérivé comme limite. Présenter toutes les étapes algébriques nécessaires pour lever la forme indéterminée.

Supposer que $f(x)$ est une fonction paire (c'est-à-dire que $f(-x) = f(x)$ pour tout nombre réel $x$) et qu'elle est dérivable au point d'abscisse $x = 0$. Démontrer analytiquement, à l'aide de la définition du nombre dérivé par la limite $\lim_{h \to 0} \frac{f(h) - f(0)}{h}$, que l'on a nécessairement $f'(0) = 0$.

La température $T$ (mesurée en degrés Celsius) d'un processeur d'ordinateur en fonction du temps $t$ (en minutes) après le lancement d'un calcul intensif est donnée par l'expression $T(t) = \frac{4t}{t^2 + 1} + 30$. Calculer la vitesse d'échauffement instantanée (la dérivée) exactement à $t = 2$ minutes, en évaluant pas à pas la limite de la définition du nombre dérivé.

Déterminer les équations de toutes les tangentes à la courbe $f(x) = x^3 - x$ qui sont parallèles à la droite d'équation $y = 2x + 1$. Pour cela, obtenir d'abord l'expression générale du coefficient directeur $f'(x)$ en appliquant la définition du nombre dérivé par les limites.

Soit la fonction $f(x) = x|x|$. Démontrer, à l'aide de la définition du nombre dérivé en calculant les limites à gauche et à droite du taux d'accroissement, que la fonction est dérivable en $x = 0$ et déterminer la valeur exacte de $f'(0)$.

À l'aide de la définition générale du nombre dérivé $f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x+h) - f(x)}{h}$, démontrer pas à pas que la fonction dérivée de $f(x) = \frac{1}{\sqrt{x}}$ est exactement $f'(x) = -\frac{1}{2x\sqrt{x}}$ pour toute valeur de $x > 0$.

Le bénéfice trimestriel d'une entreprise d'énergies renouvelables en fonction de son investissement $x$ (en millions d'euros) suit un modèle du second degré de la forme $B(x) = -ax^2 + bx$. Sachant que le bénéfice maximal est atteint pour un investissement exact de $10$ millions d'euros et que ce bénéfice maximal s'élève à $500$ millions, déduire les valeurs des constantes $a$ et $b$. Démontrer ensuite, à l'aide de la définition du nombre dérivé par les limites, que le taux de variation instantané en ce point vérifie $B'(10) = 0$.

On considère la limite suivante, qui représente le nombre dérivé d'une fonction inconnue en un point :

1. a) En comparant cette expression à la définition $f'(a) = \displaystyle\lim_{x \to a} \frac{f(x) - f(a)}{x - a}$, identifier en justifiant la fonction $f(x)$ et la valeur de l'abscisse $a$. Lever ensuite la forme indéterminée pour déterminer la valeur exacte de la limite $L$.
2. b) Construire une fonction rationnelle de la forme $g(x) = \frac{k}{x - c}$ (où $k$ et $c$ sont des constantes réelles à déterminer) qui vérifie deux conditions en $x = 4$ :

1. $g(4) = f(4)$.

2. La tangente à la courbe de $g$ en $x = 4$ est parallèle à la tangente à la courbe de $f$ en ce même point.

Calculer les valeurs exactes de $k$ et $c$ en obtenant la dérivée $g'(4)$ par la limite de son taux d'accroissement.

1. c) Écrire l'équation de la tangente commune aux deux courbes au point d'abscisse $x = 4$.

Sophie doit étudier la dérivabilité au point $x = 1$ de la fonction définie par morceaux :

Sur sa copie, elle écrit la justification suivante :

« Je calcule la dérivée de chaque morceau séparément : la dérivée à gauche ($x < 1$) est $2x + 2$, qui évaluée en $x = 1$ vaut $2\cdot 1 + 2 = 4$. La dérivée à droite ($x > 1$) est la constante $4$. Comme les deux dérivées coïncident ($4 = 4$), j'affirme que la fonction est dérivable en $x = 1$ et que sa dérivée vaut $f'(1) = 4$ ».

1. a) Signaler l'erreur conceptuelle fondamentale de Sophie, qui a supposé acquise une propriété indispensable avant d'analyser la dérivabilité. Démontrer si cette propriété est vérifiée ou non en $x = 1$.
2. b) Appliquer la définition formelle du nombre dérivé par les limites à gauche et à droite du taux d'accroissement :

Calculer en détail les deux limites et indiquer le résultat algébrique obtenu pour chacune.

1. c) Conclure en justifiant si $f$ est dérivable en $x = 1$ et expliquer pourquoi la règle pratique « dériver les morceaux et substituer » conduit à une conclusion erronée lorsque les définitions de départ ne sont pas respectées.