Exercices: Le travail

Le travail d'une force constante qui s'exerce sur un corps en déplacement est $W = \vec{F} \cdot \vec{d} = F \cdot d \cdot \cos \alpha$, où $\alpha$ est l'angle entre la force et le déplacement. Sans faire de calculs, indiquer si le travail est positif, négatif ou nul dans chaque cas, en justifiant avec la valeur de $\alpha$ :

1. a) La force de traction d'un tracteur qui tire une remorque sur un chemin horizontal.
2. b) La force de frottement qui s'oppose à l'avancée de la remorque.
3. c) La réaction normale du sol sur la remorque.
4. d) La force avec laquelle un ouvrier maintient sur son épaule une caisse au repos.

Un employé d'entrepôt pousse une palette avec une force horizontale constante de $250\ \text{N}$ et la déplace de $12\ \text{m}$ sur le sol en ligne droite.

1. a) Quel angle la force forme-t-elle avec le déplacement ?
2. b) Calculer le travail effectué par l'employé.

Une personne promène son chien en tirant sur la laisse avec une force constante de $80\ \text{N}$, qui forme $60^\circ$ avec l'horizontale, sur un trajet rectiligne de $25\ \text{m}$ ($\cos 60^\circ = 0,5$), comme le montre la figure.

Calculer le travail effectué.

Vous posez une caisse à outils de $10\ \text{kg}$ sur une étagère située à $2,5\ \text{m}$ du sol (prendre $g = 9,8\ \text{m/s}^2$).

1. a) Calculer le poids de la caisse.
2. b) Calculer le travail du poids pendant la montée. Rappel : le poids est dirigé vers le bas et le déplacement vers le haut.
3. c) Quel travail effectuez-vous, au minimum, contre le poids ?

Un voyageur pousse son chariot à bagages dans le terminal d'un aéroport, en ligne droite et sur un sol horizontal.

1. a) Justifier, à l'aide de l'expression $W = F \cdot d \cdot \cos \alpha$, pourquoi le travail de la réaction normale et le travail du poids sont nuls pendant le trajet.
2. b) Si le voyageur exerce une force horizontale de $18\ \text{N}$ sur $100\ \text{m}$, quel travail effectue-t-il ?

Au laboratoire, un mobile sur une table à coussin d'air se déplace de $\vec{d} = (5 ; 0)\ \text{m}$ tandis qu'une force constante $\vec{F} = (6 ; 8)\ \text{N}$ s'exerce sur lui, comme le montre la figure.

1. a) Calculer le travail à l'aide du produit scalaire $W = \vec{F} \cdot \vec{d} = F_x \cdot d_x + F_y \cdot d_y$.
2. b) Expliquer pourquoi la composante verticale de la force ne contribue pas au travail.

Lorsqu'on traîne un canapé de $8\ \text{m}$ sur le sol d'un salon, la force de frottement cinétique vaut $35\ \text{N}$.

1. a) Quel angle la force de frottement forme-t-elle avec le déplacement ?
2. b) Calculer le travail des frottements et interpréter son signe.

Le théorème de l'énergie cinétique établit que le travail net effectué sur un corps est égal à la variation de son énergie cinétique : $W_{net} = \Delta E_c = \frac{1}{2} \cdot m \cdot v^2 - \frac{1}{2} \cdot m \cdot v_0^2$. Une bille de démonstration de $2\ \text{kg}$ voit sa vitesse passer de $3\ \text{m/s}$ à $5\ \text{m/s}$ sur une table à coussin d'air.

1. a) Calculer son énergie cinétique initiale et son énergie cinétique finale.
2. b) Quelle est la valeur du travail net effectué sur la bille ?

Lors d'un rallye sportif, un élève traîne une caisse de livres de $15\ \text{m}$ sur le sol horizontal du gymnase en poussant avec une force horizontale de $120\ \text{N}$, tandis que les frottements cinétiques s'opposent avec $40\ \text{N}$, comme le montre la figure.

1. a) Calculer le travail effectué par l'élève.
2. b) Calculer le travail des frottements (rappel : il est négatif : $\alpha = 180^\circ$).
3. c) Calculer le travail du poids et celui de la réaction normale, en justifiant leurs valeurs.
4. d) Déterminer le travail net sur la caisse.

Pour charger un réfrigérateur de $60\ \text{kg}$ dans une camionnette, on le pousse le long d'une rampe de $3\ \text{m}$ qui forme $20^\circ$ avec l'horizontale ($\sin 20^\circ \approx 0,34$ ; prendre $g = 10\ \text{m/s}^2$), comme le montre la figure.

1. a) Calculer la composante du poids parallèle à la rampe.
2. b) Calculer le travail du poids pendant la montée.
3. c) Quel travail minimal, contre cette composante du poids, doit fournir la personne qui pousse ?

Un musher tire le traîneau de son attelage avec une corde qui forme $37^\circ$ avec l'horizontale, en exerçant une force constante de $100\ \text{N}$ sur $50\ \text{m}$ ($\sin 37^\circ \approx 0,6$ ; $\cos 37^\circ \approx 0,8$). Les frottements avec la neige s'opposent avec $30\ \text{N}$.

1. a) Calculer le travail effectué par le musher.
2. b) Calculer le travail des frottements.
3. c) Déterminer le travail net sur le traîneau.

Sur une pièce d'une machine-outil s'exerce une force constante $\vec{F} = (15\ ;\ -8)\ \text{N}$ tandis que la pièce se déplace de $\vec{d} = (4\ ;\ 2)\ \text{m}$, comme le montre la figure.

1. a) Calculer le travail à l'aide du produit scalaire $W = \vec{F} \cdot \vec{d} = F_x \cdot d_x + F_y \cdot d_y$.
2. b) Vérifier que la composante $F_y$ effectue un travail négatif et interpréter la signification physique de ce signe.

Une grue de chantier descend une poutre de $500\ \text{kg}$ d'une hauteur de $8\ \text{m}$ jusqu'au sol, à vitesse constante (prendre $g = 9,8\ \text{m/s}^2$).

1. a) Calculer le travail du poids pendant la descente.
2. b) Calculer le travail de la tension du câble.
3. c) Quelle est la valeur du travail net ? Le relier au fait que la vitesse est constante, à l'aide du théorème de l'énergie cinétique.

Une voiture de $1200\ \text{kg}$ accélère depuis le repos jusqu'à $108\ \text{km/h}$ en s'insérant sur une voie rapide.

1. a) Exprimer la vitesse finale en $\text{m/s}$.
2. b) Calculer la variation de l'énergie cinétique de la voiture.
3. c) Quel travail net les forces qui s'exercent sur la voiture ont-elles effectué ? L'exprimer en $\text{kJ}$.

Une voiture de $1000\ \text{kg}$ qui roule à $20\ \text{m/s}$ freine jusqu'à s'arrêter sur une distance de $50\ \text{m}$, sur un tronçon horizontal.

1. a) Calculer la variation de l'énergie cinétique pendant le freinage.
2. b) En appliquant le théorème de l'énergie cinétique, déterminer le travail de la force résultante de freinage.
3. c) Quelle est la valeur moyenne de cette force résultante de freinage ? Indiquer son sens.

Un pompier de $80\ \text{kg}$ avec son équipement monte par une échelle d'incendie depuis le sol jusqu'à une terrasse située $18\ \text{m}$ plus haut (prendre $g = 10\ \text{m/s}^2$).

1. a) Calculer le travail du poids pendant la montée.
2. b) Calculer le travail effectué par le pompier contre le poids.
3. c) Si, au lieu de l'échelle, il était monté par une rampe plus longue jusqu'à la même terrasse, comment ce travail changerait-il ? Justifier.

Une caisse de $25\ \text{kg}$ part du repos sur le sol horizontal d'un hangar, où le coefficient de frottement cinétique est $\mu = 0,2$. On la pousse avec une force horizontale constante de $100\ \text{N}$ pendant $12\ \text{m}$ (prendre $g = 10\ \text{m/s}^2$), comme le montre la figure.

1. a) Calculer la force de frottement cinétique, $F_{frott} = \mu \cdot N$, sachant que sur un sol horizontal la réaction normale est $N = m \cdot g$.
2. b) Calculer le travail de chacune des forces (poussée, frottements, poids et réaction normale) et le travail net.
3. c) Appliquer le théorème de l'énergie cinétique pour déterminer la vitesse de la caisse à la fin des $12\ \text{m}$.

On monte un bloc de $10\ \text{kg}$ le long d'un plan incliné $30^\circ$ sans frottements, en tirant avec une force $\vec{F}$ parallèle au plan, de sorte que le bloc monte à vitesse constante sur $5\ \text{m}$ ($\sin 30^\circ = 0,5$ ; prendre $g = 10\ \text{m/s}^2$), comme le montre la figure.

1. a) Calculer la valeur de $F$ pour que la vitesse soit constante.
2. b) Calculer le travail de chaque force : la force appliquée, le poids et la réaction normale.
3. c) Déterminer le travail net et expliquer, à l'aide du théorème de l'énergie cinétique, pourquoi ce résultat était prévisible.

Une voiture de $1000\ \text{kg}$ roule à $20\ \text{m/s}$ sur une route horizontale et bloque ses roues lors d'un freinage d'urgence. Le coefficient de frottement entre les pneus et l'asphalte est $\mu = 0,5$ (prendre $g = 10\ \text{m/s}^2$).

1. a) Calculer la force de frottements pendant le freinage.
2. b) Appliquer le théorème de l'énergie cinétique pour calculer la distance parcourue jusqu'à l'arrêt.
3. c) Justifier, à partir de l'expression obtenue, ce qui arrive à la distance de freinage si la vitesse initiale est doublée : est-elle aussi doublée ?

Sur une table à coussin d'air du laboratoire, un palet de $4\ \text{kg}$, initialement au repos au point $A(1\,;\,2)$, se déplace jusqu'au point $B(9\,;\,5)$ tandis qu'une force constante $\vec{F} = (6\,;\,8)\ \text{N}$ s'exerce sur lui (les coordonnées sont en mètres), comme le montre la figure.

1. a) Déterminer le vecteur déplacement $\vec{d} = \vec{AB}$.
2. b) Calculer le travail de la force à l'aide du produit scalaire $W = \vec{F} \cdot \vec{d}$.
3. c) Les frottements étant négligeables, ce travail est le travail total : appliquer le théorème de l'énergie cinétique et calculer la vitesse du palet à son arrivée en $B$.

Une cabine de téléphérique avec ses passagers a une masse totale de $800\ \text{kg}$. Lors du trajet aller, elle monte de la gare de départ, à $1200\ \text{m}$ d'altitude, jusqu'à la gare du sommet, à $1750\ \text{m}$. Puis elle redescend en partie jusqu'à une gare intermédiaire située à $1550\ \text{m}$ (prendre $g = 10\ \text{m/s}^2$), comme le montre la figure.

1. a) Calculer le travail du poids pendant la montée.
2. b) Calculer le travail du poids pendant la descente partielle.
3. c) Calculer le travail total du poids sur l'ensemble du parcours et vérifier qu'il ne dépend que de la différence d'altitude entre le point de départ et le point d'arrivée. Quelle propriété de la force de gravitation ce résultat met-il en évidence ?

Un ouvrier monte une caisse de $25\ \text{kg}$ sur une rampe de $20\ \text{m}$ qui forme $37^\circ$ avec l'horizontale, en tirant avec une corde parallèle à la rampe et à vitesse constante ($\sin 37^\circ \approx 0,6$ ; $\cos 37^\circ \approx 0,8$ ; coefficient de frottement $\mu = 0,25$ ; prendre $g = 10\ \text{m/s}^2$), comme le montre la figure.

1. a) Calculer la réaction normale de la rampe et la force de frottements.
2. b) Calculer la force exercée par l'ouvrier.
3. c) Calculer le travail de chaque force (traction, poids, frottements et réaction normale) et vérifier que le travail total est nul. Pourquoi devait-il l'être ?

Sur une patinoire, un palet de masse $m$ est lancé avec une vitesse initiale $v_0 = 10\ \text{m/s}$ et glisse en ligne droite jusqu'à s'arrêter à cause des frottements ($\mu = 0,25$ ; prendre $g = 10\ \text{m/s}^2$).

1. a) Écrire l'expression du travail des frottements et, en appliquant le théorème de l'énergie cinétique, obtenir la distance d'arrêt $d$ en fonction de $v_0$, $\mu$ et $g$.
2. b) Calculer numériquement cette distance.
3. c) Justifier, à partir de l'expression obtenue, si la distance d'arrêt dépend de la masse du palet. Quelle implication pratique ce résultat a-t-il pour la sécurité routière ?

La cabine d'un ascenseur avec ses occupants a une masse de $600\ \text{kg}$. Elle démarre du repos et monte de $12\ \text{m}$ avec une accélération constante de $1,2\ \text{m/s}^2$ (prendre $g = 10\ \text{m/s}^2$).

1. a) Calculer la force exercée par le câble en appliquant la deuxième loi de Newton : $T - m \cdot g = m \cdot a$.
2. b) Calculer le travail du câble et celui du poids pendant ces $12\ \text{m}$.
3. c) Déterminer le travail total et, avec le théorème de l'énergie cinétique, la vitesse de la cabine au bout de $12\ \text{m}$. Vérifier le résultat avec la cinématique : $v^2 = 2 \cdot a \cdot h$.