Exercices: Radioactivité et processus nucléaires

Les noyaux instables émettent trois types de rayonnement : alpha ($\alpha$), bêta ($\beta$) et gamma ($\gamma$).

1. a) Indiquer la nature de chacun : s'agit-il d'un noyau d'hélium, d'un électron ou d'un photon ?
2. b) Les classer de la plus petite à la plus grande masse.
3. c) Préciser lesquels portent une charge électrique et de quel signe.

Dans un laboratoire, on dispose de trois matériaux de protection : une feuille de papier, une plaque d'aluminium de quelques millimètres d'épaisseur et un mur épais de plomb ou de béton. Observer le schéma :

1. a) Associer chaque matériau au type de rayonnement (alpha, bêta ou gamma) qu'il suffit à arrêter.
2. b) Lequel des trois rayonnements est le plus pénétrant ? Et le moins pénétrant ?
3. c) Expliquer pourquoi les techniciens qui travaillent avec des sources gamma utilisent des écrans ou des tabliers de plomb.

L'uranium 238 se désintègre en émettant une particule alpha (un noyau d'hélium 4, ${}^{4}_{2}\text{He}$) et se transforme en thorium.

1. a) Écrire l'équation complète de la transformation, ${}^{238}_{92}\text{U} \rightarrow {}^{A}_{Z}\text{Th} + {}^{4}_{2}\text{He}$, en calculant les valeurs de $A$ et de $Z$.
2. b) Énoncer les deux lois de conservation appliquées : celle du nombre de masse et celle du numéro atomique.

Le carbone 14, utilisé pour la datation de vestiges archéologiques, se désintègre par émission bêta moins : un neutron du noyau se transforme en proton et un électron est émis (${}^{0}_{-1}\text{e}$).

1. a) Écrire l'équation de la transformation, ${}^{14}_{6}\text{C} \rightarrow {}^{A}_{Z}\text{N} + {}^{0}_{-1}\text{e}$, en calculant $A$ et $Z$.
2. b) Expliquer pourquoi, dans une désintégration bêta, le nombre de masse ne change pas alors que le numéro atomique change.

Le temps de demi-vie d'un isotope radioactif est la durée au bout de laquelle le nombre de noyaux non désintégrés est divisé par deux. Une source de laboratoire contient $100\ \text{g}$ d'un certain isotope. La figure montre sa courbe de décroissance.

1. a) Combien de grammes restent non désintégrés après une demi-vie ?
2. b) Et après deux demi-vies ? Et après trois ?
3. c) Écrire, en fonction de $n$, l'expression générale de la fraction restante après $n$ demi-vies.

Après de nombreuses désintégrations alpha ou bêta, le noyau fils se retrouve dans un état excité et se désexcite en émettant un rayonnement gamma. Observer le schéma des niveaux :

1. a) Expliquer ce qu'est le rayonnement gamma : en quoi ressemble-t-il à la lumière visible et en quoi en diffère-t-il ?
2. b) Le nombre de masse $A$ ou le numéro atomique $Z$ du noyau changent-ils quand il émet un rayonnement gamma ? Justifier la réponse.

L'activité d'un échantillon radioactif est le nombre de désintégrations qui s'y produisent chaque seconde, et se mesure en becquerel ($1\ \text{Bq} = 1$ désintégration par seconde).

1. a) Dans un échantillon de laboratoire, on compte $12000$ désintégrations en une minute : calculer son activité en becquerel.
2. b) Expliquer ce qui arrive à l'activité d'un échantillon au fil du temps, en la reliant à la diminution du nombre de noyaux.

Les deux voies pour obtenir de l'énergie à partir des noyaux sont la fission et la fusion.

1. a) Définir avec ses propres mots en quoi consiste chacune.
2. b) Donner un exemple de lieu où chacune se produit, de façon naturelle ou technologique.
3. c) Lequel des deux processus est la source d'énergie du Soleil ? Justifier.

Le thorium 232 (${}^{232}_{90}\text{Th}$) émet d'abord une particule alpha (${}^{4}_{2}\text{He}$), puis le noyau obtenu émet une particule bêta moins (${}^{0}_{-1}\text{e}$). Observer le schéma de la cascade :

1. a) Écrire l'équation de la première désintégration et identifier le nucléide fils (c'est un isotope du radium, de $Z = 88$).
2. b) Écrire l'équation de la seconde désintégration et identifier le nucléide final (c'est un isotope de l'actinium, de $Z = 89$).
3. c) Vérifier qu'à chaque étape le nombre de masse et le numéro atomique se conservent.

L'iode 131, utilisé en médecine nucléaire, a un temps de demi-vie de $8$ jours. Un hôpital reçoit un échantillon de $80\ \text{mg}$.

1. a) Combien de demi-vies se sont écoulées au bout de $32$ jours ?
2. b) Calculer la masse d'iode 131 non désintégrée au bout de $32$ jours.
3. c) Exprimer cette masse en pourcentage de la masse initiale.

Le technétium 99m, le radiopharmaceutique le plus utilisé en diagnostic, a un temps de demi-vie de $6\ \text{h}$. On administre à un patient une dose dont l'activité initiale est de $800\ \text{MBq}$ (rappel : le préfixe méga signifie $10^{6}$).

1. a) Calculer l'activité restante au bout de $6\ \text{h}$.
2. b) Calculer l'activité restante au bout d'une journée complète, $24\ \text{h}$.
3. c) Justifier pourquoi un temps de demi-vie aussi court est un avantage pour le patient et, en même temps, un problème logistique pour l'hôpital.

Sur des restes osseux trouvés près des grottes de Lascaux, on mesure que la proportion actuelle de carbone 14 est le quart de celle que contenaient les os à la mort de l'animal. Le temps de demi-vie du carbone 14 est de $5730$ ans. La figure montre la courbe de décroissance du carbone 14.

1. a) Combien de demi-vies se sont écoulées depuis la mort de l'animal ?
2. b) Calculer l'âge des restes.
3. c) Expliquer pourquoi le carbone 14 d'un organisme cesse de se renouveler à sa mort, et pourquoi cela permet de l'utiliser comme « horloge ».

Dans le bois d'un navire attribué aux Vikings, on mesure une concentration en carbone 14 égale au huitième de celle du bois actuel. La demi-vie du carbone 14 est de $5730$ ans.

1. a) Exprimer la fraction $\frac{1}{8}$ sous la forme d'une puissance de $\frac{1}{2}$ et en déduire combien de demi-vies se sont écoulées depuis que l'arbre a été abattu.
2. b) Calculer l'âge du bois.
3. c) Les Vikings ont navigué il y a environ $1000$ ans : commenter si le résultat est compatible avec cette époque et quelles conclusions on pourrait tirer sur le navire.

Une des réactions de fission possibles de l'uranium 235 est ${}^{235}_{92}\text{U} + {}^{1}_{0}\text{n} \rightarrow {}^{141}_{56}\text{Ba} + {}^{92}_{36}\text{Kr} + x \cdot {}^{1}_{0}\text{n}$. Observer le schéma du processus :

1. a) En appliquant la conservation du nombre de masse, calculer la valeur de $x$.
2. b) Vérifier que le numéro atomique se conserve également.
3. c) Expliquer pourquoi le fait que plusieurs neutrons soient libérés à chaque fission rend possible une réaction en chaîne.

Dans les réacteurs expérimentaux de fusion, on utilise la réaction entre le deutérium (${}^{2}_{1}\text{H}$) et le tritium (${}^{3}_{1}\text{H}$) : ${}^{2}_{1}\text{H} + {}^{3}_{1}\text{H} \rightarrow {}^{4}_{2}\text{He} + {}^{A}_{Z}\text{X}$. Observer le schéma :

1. a) Identifier la particule ${}^{A}_{Z}\text{X}$ émise, en calculant ses valeurs de $A$ et de $Z$.
2. b) Pour que deux noyaux fusionnent, ils doivent s'approcher jusqu'à environ $10^{-15}\ \text{m}$ : expliquer quelle force il faut vaincre et pourquoi il faut chauffer le gaz à plus de $10^{8}\ \text{K}$.

Le rayonnement alpha est le plus ionisant des trois et pourtant le moins pénétrant ; le rayonnement gamma est le plus pénétrant et le moins ionisant.

1. a) Expliquer ce que signifie qu'un rayonnement est ionisant.
2. b) Justifier pourquoi le rayonnement alpha, malgré sa grande capacité d'ionisation, traverse à peine la couche externe de la peau.
3. c) L'américium 241 des détecteurs de fumée émet des particules alpha : expliquer pourquoi il ne présente pas de danger tant qu'il reste dans son boîtier, mais en présenterait un s'il était inhalé ou ingéré.

Une source de cobalt 60 d'un appareil de radiothérapie a une demi-vie de $5,27$ ans et une activité initiale de $3,7 \cdot 10^{11}\ \text{Bq}$.

1. a) Exprimer le $12,5\ \%$ de l'activité initiale sous la forme d'une puissance de $\frac{1}{2}$.
2. b) Calculer combien de demi-vies doivent s'écouler pour que la source soit réduite à cette valeur, ainsi que la durée totale correspondante.
3. c) Calculer l'activité de la source à cet instant.

L'activité du carbone 14 dans les organismes vivants est d'environ $15$ désintégrations par minute et par gramme de carbone. Dans un tissu humain préhistorique, on mesure une activité d'à peine $1$ désintégration par minute et par gramme ; la prendre égale à $\frac{1}{16}$ de l'activité initiale. La demi-vie du carbone 14 est de $5730$ ans.

1. a) Calculer l'âge du tissu.
2. b) Estimer l'activité que l'on mesurerait dans un échantillon d'environ $60000$ ans (environ $10$ demi-vies) et expliquer pourquoi la méthode du carbone 14 cesse d'être fiable pour des âges aussi grands.

Dans la série radioactive de l'uranium, le noyau de radium 226 (${}^{226}_{88}\text{Ra}$) finit par se transformer en plomb 206 (${}^{206}_{82}\text{Pb}$) en émettant uniquement des particules alpha et bêta moins. Observer le schéma :

1. a) Chaque émission alpha diminue $A$ de $4$ unités et chaque émission bêta moins ne le modifie pas : calculer combien de particules alpha sont émises au total pour passer de $A = 226$ à $A = 206$.
2. b) Sachant que chaque émission alpha diminue $Z$ de $2$ unités et que chaque émission bêta moins l'augmente de $1$, calculer combien d'émissions bêta moins sont nécessaires pour aboutir à $Z = 82$.
3. c) Vérifier que le bilan final des deux lois de conservation est cohérent.

Au laboratoire, on étudie une source radioactive d'isotope inconnu : on constate qu'en $24$ jours son activité a été réduite au quart de l'activité initiale.

1. a) Exprimer la fraction restante sous la forme d'une puissance de $\frac{1}{2}$ et en déduire combien de demi-vies se sont écoulées.
2. b) Calculer la demi-vie de l'isotope.
3. c) Prévoir quelle fraction de l'activité initiale restera après $24$ jours supplémentaires, puis le vérifier par le calcul.

À chaque fission d'un noyau d'uranium 235, environ $200\ \text{MeV}$ sont libérés. Données : $1\ \text{eV} = 1,6 \cdot 10^{-19}\ \text{J}$, $N_A = 6,02 \cdot 10^{23}\ \text{mol}^{-1}$ et masse molaire de l'uranium 235 : $235\ \text{g/mol}$.

1. a) Exprimer en joules l'énergie libérée lors d'une seule fission.
2. b) Calculer combien de noyaux contiennent $1\ \text{kg}$ d'uranium 235.
3. c) Calculer l'énergie totale libérée lors de la fission complète de ce kilogramme et la comparer à l'essence, qui libère environ $4,6 \cdot 10^{7}\ \text{J/kg}$ : combien de kilogrammes d'essence faudrait-il pour l'égaler ?

Dans le Soleil, le bilan net de la chaîne proton-proton est l'union de quatre protons pour former un noyau d'hélium 4, avec un défaut de masse de $\Delta m = 0,0287\ \text{u}$ pour chaque hélium formé. Données : $1\ \text{u} \cdot c^2 = 931,5\ \text{MeV}$, $1\ \text{eV} = 1,6 \cdot 10^{-19}\ \text{J}$ et puissance rayonnée par le Soleil : $P = 3,8 \cdot 10^{26}\ \text{W}$.

1. a) Calculer l'énergie libérée lors de la formation de chaque noyau d'hélium, d'abord en $\text{MeV}$ puis en joules.
2. b) Calculer combien de noyaux d'hélium se forment chaque seconde à l'intérieur du Soleil pour entretenir cette puissance.
3. c) Justifier, sachant que la masse du Soleil est d'environ $2 \cdot 10^{30}\ \text{kg}$, pourquoi il peut briller ainsi depuis des milliards d'années.

Un amateur de paléontologie propose de dater au carbone 14 un fémur de dinosaure vieux de $66$ millions d'années. La demi-vie du carbone 14 est de $5730$ ans et celle du potassium 40 de $1,25 \cdot 10^{9}$ ans.

1. a) Calculer à combien de demi-vies du carbone 14 correspondent ces $66$ millions d'années.
2. b) Estimer quelle fraction de carbone 14 resterait dans l'os et expliquer pourquoi la méthode est inutile dans ce cas.
3. c) Justifier quelle condition la demi-vie d'un isotope doit remplir pour permettre de dater un échantillon d'un âge donné, et expliquer pourquoi, pour des roches de plusieurs millions d'années, on utilise des isotopes à longue demi-vie comme le potassium 40.

Lors de la désintégration alpha du radium 226 en radon 222, de l'énergie est libérée car la masse du radium est supérieure à la somme des masses des produits. Données : $m(\text{Ra}) = 226,0254\ \text{u}$, $m(\text{Rn}) = 222,0176\ \text{u}$, $m_{\alpha} = 4,0026\ \text{u}$ et $1\ \text{u} \cdot c^2 = 931,5\ \text{MeV}$.

1. a) Calculer le défaut de masse du processus, en unités u.
2. b) Calculer l'énergie libérée à chaque désintégration, en $\text{MeV}$.
3. c) Expliquer à quoi sert cette énergie et justifier pourquoi presque toute apparaît sous forme d'énergie cinétique de la particule alpha.