Exercices: Rapport

Dans une classe de 6e, $12$ élèves jouent au basket et $18$ élèves jouent au football. Écrire le rapport entre le nombre de joueurs de basket et celui de joueurs de football. Expliquer avec tes propres mots ce que signifie le résultat obtenu après simplification de la fraction.

Observer le dessin suivant qui représente les fruits d'une corbeille. Calculer le rapport entre le nombre de pommes (orange) et le nombre de poires (blanc cassé).

Pour préparer un mélange de peinture rose, un artiste utilise $3$ pots de peinture blanche pour $2$ pots de peinture rouge.

• Écrire le rapport entre la peinture blanche et la peinture rouge.

• Si l'artiste décidait d'utiliser $6$ pots de peinture rouge, combien de pots de peinture blanche devrait-il utiliser pour conserver la même teinte de rose ?

Une voiture télécommandée parcourt une distance de $45$ mètres en $15$ secondes. Calculer le rapport entre la distance et le temps. Quelle grandeur physique ce résultat représente-t-il ?

Dans un jeu vidéo d'aventure, ton personnage a obtenu $24$ potions de vie après avoir ouvert $6$ coffres magiques. Calculer le rapport entre le nombre de potions et le nombre de coffres. Combien y a-t-il de potions de vie en moyenne dans chaque coffre ?

Un paquet de $500$ grammes de céréales coûte $3,50$ €. Exprimer le rapport entre le prix et la masse en grammes. Ensuite, calculer la valeur décimale de ce rapport pour savoir combien coûte $1$ seul gramme de céréales.

Observer ces deux mélanges d'eau et de sirop de fraise. Le mélange $A$ contient $2$ verres de sirop pour $5$ verres d'eau. Le mélange $B$ contient $4$ verres de sirop pour $10$ verres d'eau.

• Écrire le rapport de chaque mélange.

• Ces mélanges sont-ils proportionnels ? Autrement dit, auront-ils le même goût ?

Manon a lu $60$ pages d'un roman en $2$ heures, tandis que son frère Xavier a lu $45$ pages en $1,5$ heures.

• Calculer le rapport entre pages et heures pour Manon.

• Calculer le rapport entre pages et heures pour Xavier.

• Lisent-ils tous les deux à la même vitesse ? Justifier la réponse.

Lucas construit une maquette d'un bus urbain de la RATP à Paris. Le bus réel mesure $12\text{ m}$ de longueur et sa maquette mesure $15\text{ cm}$. Pour indiquer l'échelle sur la fiche technique du projet, Lucas écrit :

« L'échelle est $\dfrac{15}{12} = \dfrac{5}{4} = 1,25$, ce qui signifie que la maquette est $1,25$ fois plus grande que le bus ».

1. a) Expliquer quelle double erreur Lucas a commise (l'une concernant les unités de mesure, l'autre l'interprétation du rapport obtenu).
2. b) Corriger la démarche et calculer l'échelle numérique correcte de la maquette, en l'exprimant sous la forme habituelle $1:n$.

Dans le potager d'un collège, le rapport simplifié entre le nombre de pieds de tomates et le nombre de pieds de salade plantés est $\dfrac{3}{5}$. De plus, le professeur de SVT vous informe que le nombre total de plants (tomates et salades) est supérieur à $30$ et inférieur à $50$.

1. a) Combien de pieds de tomates et combien de pieds de salade peut-il y avoir exactement ? Écrire tous les couples de solutions possibles qui vérifient ces conditions.
2. b) Justifier pourquoi il serait impossible que ce potager compte un total de $35$ plants en conservant ce même rapport.

Dans un jeu vidéo de stratégie, pour fabriquer une potion de « Super Vitesse », l'alchimiste utilise $150\text{ mg}$ de poussière d'étoile pour $250\text{ ml}$ d'eau magique.

1. a) Exprimer le rapport entre la poussière d'étoile et l'eau magique. Simplifier le résultat et interpréter ce que signifie cette valeur.
2. b) Calculer le rapport inverse (eau magique sur poussière d'étoile) et expliquer quelle information il nous donne.

Une influenceuse voyage a consulté ses statistiques Instagram. Sur sa dernière publication, elle a obtenu $4\,500$ « likes » après avoir reçu un total de $60\,000$ vues.

1. a) Calculer le rapport entre le nombre de « likes » et le nombre de vues.
2. b) Si, pour la photo suivante, le rapport est de $0,1$, laquelle des deux photos a eu le plus de succès, proportionnellement, auprès de ses abonnés ?

Lors d'un entraînement de basket, Lucie a marqué $18$ tirs à trois points sur $30$ lancers effectués, tandis que son camarade Marc a marqué $14$ tirs à trois points sur $20$ lancers.

1. a) Exprimer le rapport de réussite de chaque joueur sous la forme d'un nombre décimal.
2. b) Lequel des deux a le meilleur rapport de réussite ? Justifier la réponse en comparant les deux valeurs.

Pour préparer un orange très particulier, un graffeur mélange $1,2\text{ litres}$ de peinture rouge avec $0,8\text{ litres}$ de peinture jaune.

1. a) Écrire le rapport entre la quantité de peinture rouge et la quantité de peinture jaune. L'exprimer sous la forme d'une fraction irréductible.
2. b) S'il veut garder la même teinte mais n'a que $0,5\text{ litres}$ de peinture jaune, quelle quantité de peinture rouge doit-il utiliser ? (Utiliser le rapport obtenu à la question précédente.)

Un colibri peut battre des ailes environ $4\,800$ fois en une minute. Un vautour fauve, lui, les bat environ $120$ fois par minute.

1. a) Calculer le rapport entre les battements d'ailes du colibri et ceux du vautour. Que signifie ce nombre ?

1. b) Si l'on compare la masse du colibri ($3\text{ g}$) à sa longueur ($10\text{ cm}$), calculer le rapport masse/longueur. Quelle serait l'unité de ce rapport ?

Sur la carte de l'île au trésor d'un film, la distance entre le « Port du Pirate » et la « Montagne du Crâne » est de $15\text{ cm}$. Dans la réalité, cette distance est de $4,5\text{ km}$.

1. a) Calculer le rapport entre la mesure sur la carte et la mesure réelle (penser à exprimer les deux dans la même unité, par exemple en centimètres).
2. b) Quel nom porte ce rapport particulier utilisé sur les cartes ?

Dans ta classe de 6e, il y a $32$ élèves au total. On sait que pour $3$ élèves qui préfèrent les cours d'EPS, il y a $5$ élèves qui préfèrent ceux d'arts plastiques.

1. a) Écrire le rapport entre ceux qui préfèrent l'EPS et ceux qui préfèrent les arts plastiques.
2. b) Si ce sont les deux seules options et que chacun en a choisi une, combien d'élèves préfèrent chaque matière ? (Indice : remarquer que la somme des termes du rapport simplifié est $3 + 5 = 8$.)

Une confiserie propose deux types de sachets de bonbons gélifiés :

• Sachet A : il contient $250\text{ g}$ et coûte $3,50\text{ €}$.

• Sachet B : il contient $400\text{ g}$ et coûte $5,20\text{ €}$.

1. a) Calculer le rapport prix/masse pour chaque sachet.
2. b) Lequel des deux sachets est le plus économique ? Justifier la réponse à l'aide des valeurs obtenues.

À la fin d'une journée de championnat de basket, le staff technique compare les performances de deux équipes rivales :

• L'équipe A a gagné $17$ des $28$ matchs disputés.

• L'équipe B a gagné $13$ des $24$ matchs disputés.

1. a) Avant d'effectuer des divisions exactes, estimer si les deux équipes ont gagné plus ou moins de la moitié de leurs rencontres (référence $0,5$). Expliquer si cette première estimation suffit pour affirmer avec certitude laquelle des deux a la meilleure performance.
2. b) Vérifier l'estimation en calculant, pour chaque équipe, le rapport du nombre de victoires au nombre de matchs joués sous forme d'un nombre décimal arrondi au centième. Laquelle est la plus efficace ?
3. c) Si une troisième équipe a un rapport de victoires de $0,75$ après avoir joué $20$ matchs, calculer combien de matchs elle a gagnés et expliquer ce que signifie ce nombre décimal par rapport au total.

À partir de données de recensement (INSEE), on analyse la structure démographique de deux communes aux caractéristiques très différentes :

• À Aldeavieja (commune rurale), il y a $60$ habitants de moins de 18 ans et $180$ personnes de plus de 65 ans.

• À Valdenebro (commune résidentielle), il y a $2400$ habitants de moins de 18 ans et $1600$ de plus de 65 ans.

1. a) Modéliser le « rapport jeunes/seniors » (nombre de moins de 18 ans divisé par le nombre de plus de 65 ans) de chaque commune et l'exprimer sous la forme d'une fraction irréductible.
2. b) Interpréter avec tes propres mots la signification de chacune de ces deux fractions irréductibles (par exemple : « pour… personnes âgées, il y a… jeunes »).
3. c) Si $30$ nouveaux habitants de moins de 18 ans s'installaient à Aldeavieja (sans que le nombre de personnes âgées change), le rapport jeunes/seniors de Valdenebro serait-il atteint ? Justifier la réponse en comparant les deux rapports.

Dans le monde des jeux vidéo compétitifs, la performance d'un serveur se mesure par le rapport entre le nombre de joueurs connectés et la bande passante consommée (en Mbps). Le serveur de « BattleArena » compte $120$ joueurs et consomme $450$ Mbps. Par ailleurs, le serveur de « GalaxyQuest » compte $85$ joueurs et consomme $320$ Mbps. Calculer le rapport de consommation par joueur sur les deux serveurs et déterminer lequel des deux est le plus efficace (celui qui consomme le moins de Mbps par joueur). Exprimer les rapports sous forme de nombres décimaux.

Une artiste de street art crée une nouvelle couleur « Vert Cyber » en mélangeant de la peinture bleue et de la peinture jaune. Dans son premier pot, elle a mélangé $0,75$ litres de bleu avec $1,2$ litres de jaune. N'ayant plus de peinture, elle décide de préparer un second mélange dans un pot plus grand en utilisant $2,5$ litres de bleu. Combien de litres de jaune doit-elle ajouter pour que le rapport entre le bleu et le jaune soit exactement le même que dans le premier mélange ? Exprimer le rapport initial sous la forme d'une fraction irréductible.

Le « taux d'engagement » d'un influenceur se calcule en comparant le nombre d'interactions (« j'aime » et commentaires) à son nombre total d'abonnés.

• L'utilisateur A a $12\,500$ abonnés et a obtenu $625$ interactions sur sa dernière photo.

• L'utilisateur B a $45\,000$ abonnés et a obtenu $2\,160$ interactions.

Calculer le rapport interactions par abonné pour chacun. Lequel des deux a une audience proportionnellement plus active ? Exprimer le résultat sous forme de nombre décimal et expliquer ce que signifie cette valeur dans ce contexte.

Lors d'un entraînement de basket, Lucie a marqué $18$ tirs sur $25$ tentatives, tandis que Marc en a marqué $24$ sur $32$ tentatives.

1. a) Écrire le rapport de réussite pour chaque joueur.
2. b) Calculer la valeur décimale de chaque rapport.
3. c) Si tous deux gardent la même efficacité et tirent $100$ fois, combien de paniers marquera chacun ? Ces rapports sont-ils égaux ? Justifier la réponse à l'aide du produit en croix.

Le rapport entre la longueur de la base et la hauteur des écrans des anciens cinémas était de $4:3$ (format presque carré), tandis que dans les cinémas modernes le rapport est généralement de $21:9$ (format panoramique).

Si l'écran d'un cinéma moderne a une hauteur de $6,3$ mètres, combien mesure sa base ? Quelle serait la base d'un ancien écran de cette même hauteur de $6,3$ mètres ? Comparer les deux résultats et expliquer lequel des deux écrans est le plus « allongé ».

Une voiture hybride consomme $4,2$ litres d'essence pour parcourir $100$ km, tandis qu'une moto consomme $1,5$ litres pour parcourir $40$ km.

1. a) Calculer le rapport de consommation (litres par kilomètre) de chaque véhicule.
2. b) Lequel des deux véhicules consomme proportionnellement le moins ?
3. c) Si le rapport entre la consommation et la distance d'un troisième véhicule est de $0,052$, combien de litres consommera-t-il pour un trajet de $250$ km ?

Dans une étude sur la nutrition, on analyse le rapport entre la quantité de sucre et la masse totale de deux types de céréales.

• Les céréales « Energy » contiennent $12$ g de sucre dans une portion de $40$ g.

• Les céréales « Santé » contiennent $18$ g de sucre dans une boîte de $75$ g.

Calculer le rapport de sucre par gramme de produit pour les deux. Quel pourcentage de sucre contient chacun ? (Rappel : pour passer d'un rapport à un pourcentage, on peut multiplier sa valeur décimale par 100.) Lequel des deux choisirais-tu si tu voulais consommer proportionnellement moins de sucre ?

La densité de population est le rapport entre le nombre d'habitants et la superficie qu'ils occupent (hab/km²).

• La ville X compte $1\,250\,000$ personnes et a une superficie de $450,5$ km².

• La ville Y compte $840\,000$ habitants et occupe $120,2$ km².

Calculer la densité de population des deux villes en arrondissant à l'unité. Si la ville X triplait sa population tout en gardant sa superficie, quelle serait sa nouvelle densité ? Resterait-elle moins dense que la ville Y ?

Il faut vérifier si les rapports $\dfrac{18}{24}$ et $\dfrac{27}{36}$ forment une proportion. En classe, trois chemins différents sont proposés :

• Méthode 1 (Camille) : Vérifier si le produit des extrêmes est égal au produit des moyens ($18 \cdot 36$ contre $24 \cdot 27$).

• Méthode 2 (Bruno) : Simplifier les deux fractions jusqu'à leur fraction irréductible et observer si elles coïncident.

• Méthode 3 (Daniel) : Diviser le numérateur par le dénominateur dans les deux rapports et comparer les nombres décimaux obtenus.

1. a) Appliquer la méthode 1 et la méthode 2 pour déterminer si elles forment ou non une proportion.
2. b) Analyser les avantages et les inconvénients de chacune des trois méthodes. Si les nombres comportaient quatre chiffres (par exemple $\dfrac{3216}{4824}$ et $\dfrac{2144}{3216}$) et que vous n'aviez pas de calculatrice, laquelle des trois méthodes écarteriez-vous en premier et laquelle choisiriez-vous comme la plus efficace et la plus sûre ? Justifier votre choix.

Dans l'atelier d'arts plastiques, vous préparez une teinte de peinture verte personnalisée en mélangeant des pots de peinture bleue et jaune. Au départ, le rapport entre les pots de bleu et les pots de jaune est $\dfrac{2}{3}$, avec $6$ pots de peinture bleue utilisés.

1. a) Déterminer combien de pots de peinture jaune ont été utilisés dans ce mélange initial.
2. b) Pour éclaircir la teinte, la professeure indique que le nouveau rapport (bleu sur jaune) doit être exactement $\dfrac{1}{2}$. Si vous ne disposez que de pots supplémentaires de peinture jaune (la quantité de bleu ne change pas), combien de pots jaunes faut-il ajouter au mélange d'origine ?
3. c) Un camarade affirme : « Pour passer du rapport $\dfrac{2}{3}$ au rapport $\dfrac{1}{2}$, la différence entre les deux est $\dfrac{2}{3} - \dfrac{1}{2} = \dfrac{1}{6}$, donc il suffit d'ajouter le sixième des pots qu'il y avait déjà ». Expliquer en détail pourquoi ce raisonnement est faux et quelle erreur conceptuelle il commet en traitant un rapport comme une quantité additive.