Exercices: Notion de nombre entier naturel

Dans un magasin de technologie, un employé vérifie l'inventaire et les mesures de certains produits. Dans la liste de valeurs suivante, indiquer lesquelles représentent des nombres entiers naturels :

• a) $15$ smartphones.

• b) $1,5$ mètres de câble de charge.

• c) $40$ housses de protection.

• d) $-3$ degrés dans l'entrepôt réfrigéré.

• e) $2/3$ de la batterie chargée.

• f) $0$ erreurs dans le registre.

• g) $105$ écouteurs sans fil.

Un célèbre influenceur a obtenu un total de trois millions quatre cent cinq mille sept cent vingt abonnés sur son compte.

Écrire cette quantité en chiffres dans le système décimal et identifier quel chiffre occupe la place des centaines de mille.

Observer la position des chiffres dans le nombre $45\,082$. Indiquer quelle est la valeur positionnelle du chiffre $5$ et du chiffre $8$ dans ce nombre. S'aider du schéma suivant et le recopier dans son cahier.

Exprimer le nombre $70\,432$ sous forme décomposée en utilisant des puissances de $10$, en le décomposant selon la valeur de ses chiffres.

Exemple : $625 = 6 \cdot 100 + 2 \cdot 10 + 5$

Identifier quels nombres entiers naturels correspondent aux points A, B et C représentés sur la droite graduée suivante :

Comparer les couples de nombres entiers naturels suivants en utilisant les symboles inférieur à ($<$) ou supérieur à ($>$) :

1. a) $12\,506$ ___ $12\,605$
2. b) $9\,999$ ___ $10\,001$
3. c) $304\,120$ ___ $304\,099$
4. d) $1\,000\,500$ ___ $1\,000\,090$

La capacité d'un stade de football est de $74\,682$ personnes. Un journal sportif veut publier l'information et décide de donner une valeur approchée. Arrondir le nombre de spectateurs aux unités de mille.

Sur la façade d'un ancien théâtre construit en 1924, la date apparaît en chiffres romains.

Écrire l'année de construction en utilisant le système de numération romain. Rappel des équivalences : $M=1000$, $D=500$, $C=100$, $L=50$, $X=10$, $V=5$, $I=1$.

Mathis réalise une affiche pour la Semaine culturelle sur l'histoire de la Rome antique et doit écrire le nombre $99$ en chiffres romains. Pour gagner de la place, il écrit directement $IC$, en expliquant que, comme $C$ vaut $100$ et $I$ vaut $1$, en le plaçant à gauche on soustrait simplement : $100 - 1 = 99$.

1. a) Expliquer quelle règle du système de numération romain Mathis n'a pas respectée. Quels symboles précis la lettre $I$ a-t-elle le droit de soustraire ?
2. b) Expliquer la procédure correcte pour écrire des nombres en système romain à partir de leur décomposition en dizaines et unités, et écrire correctement le nombre $99$ pas à pas.

Pour organiser le transport d'une journée sportive scolaire, l'équipe de direction note les élèves inscrits de trois collèges : $187$ pour le premier, $312$ pour le deuxième et $204$ pour le troisième.

1. a) Avant de calculer la somme exacte, estimer le nombre total de participants en arrondissant chacune des trois quantités à la centaine la plus proche.
2. b) Calculer la somme exacte des élèves et déterminer l'écart entre votre estimation et la valeur réelle.
3. c) Si l'entreprise de transport propose des autocars de $50$ places chacun, aurait-il été prudent de réserver les autocars en se basant uniquement sur l'estimation arrondie à la centaine ? Expliquer quel danger présente l'arrondi à la centaine par rapport à un arrondi toujours par excès dans des situations logistiques réelles.

Une célèbre chaîne YouTube compte actuellement $14\,508\,392$ abonnés.

1. a) Écrire en toutes lettres comment se lit ce nombre.
2. b) Indiquer quelle valeur représente le chiffre $5$ dans ce nombre selon sa position (unités, dizaines, centaines, etc.).
3. c) Si la chaîne gagne un million d'abonnés de plus, quel sera le chiffre des dizaines de millions ?

Sur le fronton d'un ancien théâtre de ta ville est gravée la date de son inauguration en chiffres romains : MDCCCXLIX.

1. a) Traduire l'année d'inauguration en écriture décimale.
2. b) Si le théâtre a été rénové pour la première fois $75$ ans plus tard, écrire l'année de cette rénovation en écriture décimale et en chiffres romains.

Réaliser la décomposition du nombre de kilomètres parcourus par la lumière en un an (année-lumière), qui est d'environ $9\,460\,730\,472\,580$ km. Pour cela, utiliser des puissances de base $10$.

Observer la droite graduée suivante sur laquelle plusieurs points ont été représentés. Déterminer quels nombres entiers naturels correspondent aux lettres $A, B$ et $C$, sachant que la distance entre chaque graduation principale est constante.

Dans un magasin de technologie, on compare les ventes de trois modèles de tablettes durant l'année écoulée :

• Modèle Alpha : $234\,090$ unités.

• Modèle Beta : $243\,009$ unités.

• Modèle Gamma : $234\,900$ unités.

1. a) Ranger les modèles du plus vendu au moins vendu en utilisant le symbole $>$.
2. b) Si l'objectif de l'entreprise était de vendre un quart de million d'unités du modèle le plus vendu, combien d'unités lui a-t-il manqué pour atteindre ce chiffre ?

Le budget pour la construction d'un nouveau gymnase est de $4\,376\,512$ €.

1. a) Donner une valeur approchée de ce budget en arrondissant à la centaine de mille.
2. b) Donner une valeur approchée par troncature à la dizaine de mille.
3. c) Laquelle des deux approximations précédentes est la plus proche du prix réel ? Justifier la réponse en calculant la différence dans les deux cas.

Un groupe d'archéologues a trouvé un ancien code qui utilise un système de numération additif avec les symboles suivants :

• △ représente $100$ unités.

• □ représente $10$ unités.

• | représente $1$ unité.

1. a) Écrire le nombre entier naturel que représente la combinaison : △△△□□□□|||||||
2. b) Si l'on ajoute $45$ unités à ce nombre, comment s'écrirait le résultat avec ces symboles ?

En utilisant uniquement les chiffres $2, 0, 5, 8$ et $9$, sans en répéter aucun :

1. a) Écrire le plus grand nombre pair possible.
2. b) Écrire le plus petit nombre impair possible (en tenant compte du fait qu'un nombre ne commence pas habituellement par le chiffre $0$).
3. c) Calculer la différence entre les deux nombres.

Un nombre entier naturel à quatre chiffres est un code secret que vous devez découvrir à partir des indices suivants :

1. Arrondi à la centaine, on obtient $4\,800$, mais tronqué à la centaine, on obtient $4\,700$.

2. Le chiffre des dizaines est un nombre impair strictement supérieur à $6$.

3. Le nombre est un palindrome (il se lit de la même façon de gauche à droite et de droite à gauche).

1. a) Déterminer, en le justifiant, quel est ce nombre secret, en expliquant pas à pas pourquoi vous écartez les autres possibilités.
2. b) Écrire le nombre obtenu sous forme décomposée en utilisant des puissances de $10$.

D'après les données du recensement municipal espagnol (INE), trois villages voisins d'une même zone ont les populations suivantes : Robledillo compte $8\,472$ habitants, El Pinar en compte $12\,835$ et Valdesoto $9\,604$ résidents. Pour une campagne institutionnelle, on étudie deux façons de simplifier les chiffres :

1. a) Calculer la population totale estimée de la zone si l'on arrondit au préalable le nombre d'habitants de chaque village à l'unité de mille la plus proche.
2. b) Calculer la population totale estimée si, au lieu d'arrondir, on tronque le nombre d'habitants de chaque village aux unités de mille.
3. c) Déterminer la population réelle exacte en additionnant les trois données initiales. Comparer l'écart avec la valeur réelle dans chaque cas et expliquer pourquoi l'arrondi donne en général une approximation globale bien plus fidèle à la réalité que la troncature.

Le code PIN de sécurité du nouveau portable de Lucie est un nombre à six chiffres qui possède les caractéristiques suivantes :

• C'est un palindrome (il se lit de la même façon de gauche à droite et de droite à gauche).

• La somme de tous ses chiffres est $28$.

• Le chiffre des centaines de mille est le triple du chiffre des centaines.

• Le nombre ne contient aucun chiffre répété plus de deux fois.

• La valeur du chiffre des dizaines est un nombre premier pair.

Déterminer le code secret de Lucie et l'écrire sous forme décomposée en utilisant des puissances de $10$.

Lors d'une mission spatiale, une sonde a détecté un astéroïde situé à une distance de $135$ milliards de mètres de la Terre.

1. a) Exprimer cette distance en kilomètres en utilisant une seule puissance de base $10$.
2. b) Si la sonde se déplace à une vitesse constante de $10\,000$ km/h, calculer combien d'heures elle mettra pour atteindre l'astéroïde. Exprimer le résultat final en écriture scientifique.

Un ancien système informatique utilise un code de lumières pour représenter des nombres en système binaire. Le système a $6$ ampoules. Lorsqu'une ampoule est allumée, elle représente un $1$ et lorsqu'elle est éteinte, elle représente un $0$. Les ampoules se lisent de droite à gauche avec des valeurs de puissances de $2$ ($2^0, 2^1, 2^2...$).

On veut représenter le nombre d'élèves d'un collège qui compte $5$ classes de 6e, $4$ classes de 5e, chaque classe ayant exactement $25$ élèves :

1. a) Quel est le nombre total d'élèves en écriture décimale ?
2. b) Quel serait le code d'ampoules (allumée/éteinte) nécessaire pour représenter ce nombre ? $6$ ampoules sont-elles suffisantes pour représenter ce nombre ? Justifier la réponse.

Un archéologue trouve une inscription romaine indiquant l'année de construction d'un temple. L'inscription est $\overline{IV}CDLXIX$ (rappel : un trait horizontal au-dessus d'un symbole multiplie sa valeur par $1000$). Cependant, il soupçonne une erreur et pense qu'en réalité le temple a été construit $144$ ans plus tard.

1. a) Traduire l'année de l'inscription en écriture décimale.
2. b) Calculer l'année réelle de construction en écriture décimale.
3. c) Écrire de nouveau l'année réelle obtenue en chiffres romains.

On considère le nombre entier naturel $7\,402$.

1. a) Comment sa valeur change-t-elle si l'on échange le chiffre des unités et le chiffre des unités de mille ? Calculer la différence entre les deux nombres.
2. b) Si l'on ajoute un zéro entre le chiffre des centaines et celui des dizaines du nombre initial, de combien d'unités le nombre augmente-t-il ?

Un « Youtubeur » célèbre compte actuellement douze millions trois cent mille vues sur sa chaîne. Son objectif est d'atteindre les deux milliards de vues d'ici la fin de l'année.

1. a) Écrire ces deux quantités en chiffres.
2. b) Combien de vues lui manque-t-il exactement pour atteindre son objectif ? Exprimer la différence sous forme décomposée.
3. c) S'il obtient en moyenne un million de vues tous les trois jours, atteindra-t-il son objectif dans les $300$ jours qui restent avant la fin de l'année ?

Dire si les affirmations suivantes sur l'ensemble des nombres entiers naturels ($\mathbb{N}$) sont vraies ou fausses, en donnant un exemple ou un contre-exemple dans chaque cas :

• 1) La valeur d'un chiffre dans le système décimal est indépendante de sa position si tous les chiffres du nombre sont égaux.

• 2) Quand on multiplie un nombre entier naturel par $10$, son nombre de chiffres augmente toujours de un.

• 3) Le plus petit nombre entier naturel est zéro.

• 4) Dans le système de numération romain, la valeur d'un symbole s'ajoute toujours à celle du précédent.

Manon veut ranger sa collection de $144$ jeux vidéo sur une étagère de façon à les répartir en carrés parfaits.

1. a) Si elle veut faire le plus grand carré possible, combien de jeux y aura-t-il sur un côté ? Lui restera-t-il des jeux ?

1. b) Si elle décide d'utiliser tous les jeux et de les répartir sur deux étagères formant chacune un carré parfait identique, est-ce possible ? Justifier la réponse en trouvant la longueur du côté de ces deux carrés ou en expliquant pourquoi c'est impossible.

Dans un défi de logique, on vous demande de trouver combien de nombres entiers naturels à trois chiffres ont une somme de chiffres exactement égale à $4$. Deux camarades proposent des stratégies différentes :

• Méthode A (exploration séquentielle) : examiner les nombres à trois chiffres en commençant à $100$, additionner mentalement les chiffres de chacun et noter uniquement ceux dont la somme vaut $4$, jusqu'à arriver à $999$.

• Méthode B (décomposition positionnelle ordonnée) : écrire le nombre sous la forme $c \cdot 100 + d \cdot 10 + u$, où le chiffre des centaines $c$ ne peut être que $1, 2, 3$ ou $4$, et lister de façon ordonnée les combinaisons possibles de chiffres en fixant les centaines de la plus grande à la plus petite.

1. a) Comparer l'efficacité des deux méthodes : pourquoi la méthode A n'est-elle pas une stratégie mathématique adaptée à ce problème ?
2. b) Appliquer la méthode B : lister de manière ordonnée tous les triplets de chiffres $(c, d, u)$ et en déduire la liste complète des nombres qui vérifient la condition.
3. c) Sans vérifier un à un les nombres obtenus, justifier à l'aide de la valeur positionnelle pourquoi aucun d'eux ne peut se terminer par un chiffre des unités supérieur à $3$ si le chiffre des centaines est au moins $1$.

Un magazine de vulgarisation commet plusieurs erreurs dans un article sur les systèmes de numération :

« Le système romain est plus parfait que le système décimal parce qu'il se passe du zéro, un symbole vide et inutile. Dans le système décimal, si l'on enlève le zéro de $405$, on le confond avec $45$, ce qui prouve que c'est un système défectueux. De plus, les règles romaines sont si simples que pour écrire n'importe quel nombre, il suffit de soustraire le plus petit symbole au plus grand ; par exemple, $1\,999$ s'écrit simplement $MIM$. »

En tant qu'élève, rédiger une réponse argumentée :

1. a) Identifier les deux erreurs sur les règles romaines commises en écrivant $1\,999$ sous la forme $MIM$. Décomposer $1\,999$ selon la valeur positionnelle de ses chiffres et écrire sa représentation romaine correcte.
2. b) Réfuter l'affirmation selon laquelle le zéro est un défaut : expliquer pourquoi le système décimal a besoin du zéro pour être positionnel et quelle limitation fondamentale le système romain a en en étant dépourvu.
3. c) Justifier par un exemple de calcul pourquoi le système décimal a historiquement facilité les opérations arithmétiques (comme additionner ou multiplier des quantités moyennes) par rapport au système romain.

Défi du thème. Comment les nombres entiers naturels décrivent-ils la réalité de ton environnement ? Imagine que tu es analyste démographique et que tu dois élaborer une radiographie de ton département.

1. Recueil de données : Se rendre sur le site officiel de l'INSEE (insee.fr) et rechercher la population de sa commune et de quatre autres communes voisines.

2. Traitement dans un tableur : Créer un tableau dans Calc ou Excel. Ordonner les cinq communes de la plus peuplée à la moins peuplée à l'aide des signes $>$ et $<$. Ajouter des colonnes pour décomposer chaque quantité selon sa valeur positionnelle (unités, dizaines, centaines, unités de mille…) et arrondir chaque nombre à la dizaine de mille la plus proche.

3. Analyse et production finale : Rédiger un court rapport (une page) dans lequel vous calculez la différence exacte d'habitants entre la commune la plus peuplée et la moins peuplée. Expliquer pourquoi, pour recenser des personnes, il est indispensable d'utiliser l'ensemble des nombres entiers naturels ($\mathbb{N}$) et non un autre ensemble de nombres.

Seront évalués :

• L'extraction rigoureuse des données de l'INSEE et la présentation soignée dans le tableur.

• La maîtrise des notions clés de $\mathbb{N}$ : comparaison, valeur positionnelle et arrondi.

• La clarté de l'exposé et la justification raisonnée des conclusions du rapport.