Exercices: Triangles

Pour décorer sa chambre, Lucie a découpé un fanion en tissu en forme de triangle. En mesurant ses côtés, elle a trouvé $15\text{ cm}$, $15\text{ cm}$ et $20\text{ cm}$. Quelle est la nature de ce triangle selon la longueur de ses côtés ?

Dans un triangle, on connaît la mesure de deux de ses angles intérieurs : $\hat{A} = 45^\circ$ et $\hat{B} = 75^\circ$. Calculer la mesure du troisième angle $\hat{C}$ sachant que la somme des angles de n'importe quel triangle est toujours égale à $180^\circ$.

Marc a trois tiges de bois pour construire une structure triangulaire. Les longueurs des tiges sont $12\text{ cm}$, $5\text{ cm}$ et $4\text{ cm}$. La figure montre les trois tiges dessinées à la même échelle.

Expliquer en justifiant si Marc pourra former un triangle avec ces tiges ou si cela lui sera impossible.

Donner la nature des triangles suivants selon la mesure de leurs angles (acutangle, rectangle ou obtusangle) :

• Triangle 1 : ses angles mesurent $90^\circ$, $40^\circ$ et $50^\circ$.

• Triangle 2 : ses angles mesurent $110^\circ$, $30^\circ$ et $40^\circ$.

• Triangle 3 : ses angles mesurent $60^\circ$, $60^\circ$ et $60^\circ$.

Un jardin a la forme d'un triangle équilatéral. Si l'un de ses côtés mesure $8\text{ mètres}$, combien de mètres de clôture faudra-t-il pour l'entourer complètement ? Calculer son périmètre.

Un triangle isocèle a un angle au sommet principal qui mesure $40^\circ$. Si les deux autres angles sont égaux entre eux, quelle est la mesure de chacun de ces angles égaux ?

Observer le panneau de signalisation « Cédez le passage ». Il a la forme d'un triangle équilatéral. Indiquer combien doit mesurer chacun de ses angles intérieurs sans utiliser de rapporteur. Justifier la réponse en s'appuyant sur les propriétés de ce type de polygones.

Dans un triangle rectangle, les deux côtés qui forment l'angle de $90^\circ$ mesurent $6\text{ cm}$ et $8\text{ cm}$. Comment s'appellent ces deux côtés dans le vocabulaire mathématique des triangles rectangles ? Et comment s'appelle le plus grand côté, opposé à l'angle droit ?

Marc veut construire le cadre d'un miroir triangulaire pour sa chambre et a coupé trois baguettes de bois qui mesurent $4\text{ cm}$, $5\text{ cm}$ et $10\text{ cm}$. En les montrant à sa sœur, il affirme : « Comme les trois baguettes ont des longueurs différentes, je pourrai former un triangle scalène sans aucun problème. »\na) Trouver l'erreur dans l'affirmation de Marc et expliquer pourquoi il est physiquement impossible de construire le cadre avec ces mesures, en appliquant l'inégalité triangulaire.\nb) Si Marc décide de remplacer uniquement la baguette de $10\text{ cm}$ par une nouvelle, quelle est la longueur entière maximale (en centimètres) que peut avoir la nouvelle baguette pour pouvoir fermer le triangle avec celles de $4\text{ cm}$ et $5\text{ cm}$ ?\nc) S'il voulait former un triangle isocèle en réutilisant les baguettes de $4\text{ cm}$ et $5\text{ cm}$, indiquer quelles deux mesures entières différentes pourrait avoir la baguette de remplacement.

En cours d'arts plastiques, Lucie conçoit un vitrail avec des pièces de verre triangulaires. Sur l'une des pièces, elle a mesuré au rapporteur deux de ses angles intérieurs, qui mesurent $27^\circ$ et $38^\circ$.\na) Avant de calculer la valeur exacte du troisième angle, estimer en justifiant si cet angle sera aigu, droit ou obtus (observer si la somme des deux angles connus dépasse ou non $90^\circ$). À partir de cette estimation, indiquer quel type de triangle on s'attend à obtenir selon ses angles.\nb) Calculer la valeur exacte du troisième angle en utilisant la propriété de la somme des angles intérieurs d'un triangle et vérifier si l'estimation était correcte.\nc) Sachant que les trois côtés de cette pièce ont des longueurs différentes, donner la nature du triangle selon ses côtés.

Dans un atelier de design graphique, on crée un nouveau logo en forme de triangle. On sait que deux de ses angles intérieurs mesurent $42^\circ$ et $68^\circ$.

1. a) Calculer la mesure du troisième angle du logo.
2. b) Donner la nature du triangle selon ses angles (acutangle, rectangle ou obtusangle).
3. c) Donner la nature du triangle selon ses côtés (équilatéral, isocèle ou scalène).

Un menuisier dispose de trois baguettes de bois pour fabriquer un cadre triangulaire pour un miroir. Les baguettes mesurent $15\text{ cm}$, $8\text{ cm}$ et $24\text{ cm}$.

1. a) Expliquer, en utilisant l'inégalité triangulaire, s'il est possible de construire le cadre avec ces mesures.
2. b) S'il décide de remplacer la baguette de $24\text{ cm}$ par une de $20\text{ cm}$, pourrait-il maintenant le construire ? Justifier la réponse.

Une tente a une façade en forme de triangle isocèle. La base de la tente mesure $2,4\text{ mètres}$ et les deux côtés égaux mesurent $2\text{ mètres}$ chacun.

1. a) Utiliser le théorème de Pythagore pour calculer la hauteur de la tente.
2. b) Calculer l'aire de toile nécessaire pour recouvrir uniquement la façade de la tente.

Trois villages, Altea ($A$), Belmonte ($B$) et Calar ($C$), sont situés de façon à former un triangle scalène, comme le montre la figure. On veut installer une antenne de télécommunications exactement à la même distance des trois villages.

1. a) Quel point remarquable du triangle représente l'emplacement de l'antenne ?

1. b) Quelles droites remarquables a-t-il fallu tracer pour trouver ce point ? Dessiner un schéma approximatif de la situation.

Vous pouvez le faire sur papier et envoyer une photo avec votre réponse.

Un parc pour enfants a un bac à sable en forme de triangle rectangle. On sait que le plus grand côté (l'hypoténuse) mesure $13\text{ mètres}$ et que l'un des côtés de l'angle droit mesure $5\text{ mètres}$.

1. a) Calculer la longueur de l'autre côté du bac à sable.
2. b) Déterminer le périmètre total du bac à sable.
3. c) Calculer l'aire occupée par le sable.

On a conçu un panneau de signalisation triangulaire qui est un triangle équilatéral de $60\text{ cm}$ de côté.

1. a) Si l'on veut placer une bordure réfléchissante autour du panneau, combien de mètres de matériau réfléchissant faudra-t-il ?
2. b) Si l'on trace les trois bissectrices du triangle, comment s'appelle le point où elles se coupent ? Quelle propriété particulière ce point possède-t-il par rapport aux côtés du panneau ?

Observer la figure suivante composée de deux triangles. Le triangle $ABC$ est rectangle en $B$ et le triangle $ACD$ est isocèle avec $\overline{AC} = \overline{AD}$.

Si $\overline{AB} = 8\text{ cm}$ et $\overline{BC} = 6\text{ cm}$, calculer :

1. a) La longueur du côté $\overline{AC}$.
2. b) Le périmètre total de la figure colorée $ABCD$ sachant que $\overline{CD} = 7\text{ cm}$.

Dans un jardin, on veut poser une clôture délimitant un parterre de fleurs en forme de triangle isocèle. L'angle au sommet principal mesure $100^\circ$.

1. a) Combien mesure chacun des deux autres angles du parterre ?
2. b) Si l'on trace la médiane issue du sommet de l'angle de $100^\circ$ vers le côté opposé, en quels types de triangles le parterre est-il partagé ? Donner leur nature selon leurs angles.

Une équipe de design graphique doit créer un logo contenant une figure triangulaire respectant strictement trois conditions géométriques :\n1. Le triangle doit être isocèle et aussi obtusangle.\n2. L'angle obtus est l'angle au sommet principal et sa valeur en degrés doit être un multiple de $10^\circ$.\n3. Chacun des deux angles égaux doit mesurer strictement plus de $25^\circ$.\na) Écrire la relation mathématique entre les trois angles intérieurs et déduire pas à pas toutes les combinaisons possibles d'angles (triplets) qui vérifient ces trois conditions.\nb) Pourrait-il exister une solution valide si l'on ajoutait la condition que les angles égaux mesurent plus de $45^\circ$ ? Justifier la réponse à partir de la définition du triangle obtusangle.

Sur une carte routière de Castille-et-León, trois chefs-lieux de province forment un triangle : Palencia, Valladolid et Zamora. Les distances mesurées à vol d'oiseau sont approximativement :\n- Entre Palencia et Valladolid : $48\text{ km}$.\n- Entre Valladolid et Zamora : $96\text{ km}$.\na) La Junta de Castilla y León étudie la faisabilité d'une route directe entre Palencia et Zamora. En appliquant l'inégalité triangulaire, calculer entre quelles valeurs minimale et maximale (bornes exclues) doit se trouver la distance à vol d'oiseau entre Palencia et Zamora pour que le trajet ne soit pas aplati sur une seule droite.\nb) Si la distance réelle à vol d'oiseau entre Palencia et Zamora se révélait être de $110\text{ km}$, vérifier à l'aide du théorème de Pythagore si ces trois villes pourraient former un triangle rectangle avec l'angle droit à Valladolid (le tronçon Palencia-Zamora serait alors l'hypoténuse).\nc) Si une brochure touristique indiquait par erreur que la distance directe entre Palencia et Zamora n'est que de $40\text{ km}$, expliquer pourquoi cette donnée est géométriquement impossible sans qu'il soit nécessaire de mesurer sur le terrain.

Dans un atelier de conception de jeux vidéo, un programmeur doit créer un personnage en forme de triangle isocèle. L'angle différent, au sommet principal, mesure le triple de l'un des angles de la base, moins $20^\circ$. Calculer la mesure des trois angles du personnage pour que le dessin soit géométriquement correct.

Trois villages de montagne, Alpedrete, Becerril et Cercedilla, veulent construire une antenne relais située exactement à la même distance des trois villages afin que tous aient la même couverture.

1. a) Comment s'appelle le point remarquable du triangle où l'antenne doit être placée ?

1. b) Si le triangle formé par les villages est obtusangle, expliquer en justifiant si l'antenne sera à l'intérieur ou à l'extérieur de la zone délimitée par les trois villages.

1. c) Dessiner un schéma approximatif de la situation : le triangle obtusangle avec les trois villages, les droites utilisées pour trouver le point et la position de l'antenne.

Vous pouvez le faire sur papier et envoyer une photo avec votre réponse.

Un architecte conçoit une rampe pour un skatepark. Il a calculé que le support principal doit former un triangle de côtés $x + 2$ mètres, $2x - 1$ mètres et $10$ mètres.

1. Si le triangle doit être isocèle, avec les côtés $x + 2$ et $2x - 1$ égaux, quelle doit être la valeur de $x$ ?

2. Si $x = 3$, est-il possible de construire ce triangle ? Justifier la réponse en utilisant l'inégalité triangulaire.

Dans le logo d'une nouvelle marque de vêtements de sport, deux rectangles se croisent en formant plusieurs triangles. Dans le triangle central $ABC$, on sait que l'angle en $A$ mesure $45^\circ$ et que l'angle extérieur au sommet $B$ mesure $115^\circ$.

1. Calculer les trois angles intérieurs du triangle $ABC$.

2. Donner la nature du triangle selon ses côtés et selon ses angles.

Un jardin a la forme d'un rectangle de $12 \times 8$ mètres. Pour installer un système d'arrosage, le jardin a été partagé par une diagonale. Dans l'un des deux triangles obtenus, on veut placer un arroseur circulaire au centre du cercle inscrit.

1. Expliquer ce que sont les bissectrices et pourquoi placer l'arroseur au centre du cercle inscrit est le meilleur choix pour qu'il soit à la même distance des trois côtés du triangle (les deux bords du jardin et la diagonale).

2. Dessiner de façon schématique le rectangle, la diagonale et le centre du cercle inscrit de l'un des triangles.

Vous pouvez le faire sur papier et envoyer une photo avec votre réponse.

Observer la figure ci-contre, qui représente une pièce métallique. Elle est formée d'un grand triangle rectangle et d'un autre plus petit à l'intérieur. On sait que le côté horizontal de l'angle droit du grand triangle mesure $15 \text{ cm}$ et que son aire est de $60 \text{ cm}^2$. Le petit triangle est semblable et a une base de $5 \text{ cm}$.

1. Calculer la hauteur du grand triangle.

2. En utilisant la proportionnalité, calculer l'aire du petit triangle. (Indice : si la base est divisée par 3, que se passe-t-il pour la hauteur ?)

Un explorateur a tendu une corde de $24$ mètres autour d'un terrain triangulaire pour installer son campement.

1. Si le terrain est un triangle isocèle et que l'un des côtés égaux mesure $9 \text{ mètres}$, combien mesure le dernier côté ?

2. Si l'explorateur voulait que le triangle soit rectangle avec des côtés de $6 \text{ m}$, $8 \text{ m}$ et $10 \text{ m}$, la même corde lui suffirait-elle ? Vérifier aussi si l'égalité de Pythagore est vérifiée dans ce dernier cas.

Dans un sujet de géométrie avancée, on présente un triangle dont les trois médianes se coupent en un point $G$ (centre de gravité). Si la médiane issue du sommet $A$ mesure $12 \text{ cm}$ au total, calculer les longueurs des deux segments en lesquels le point $G$ partage cette médiane. (Rappel de la propriété : le centre de gravité partage la médiane en deux parties, l'une étant le double de l'autre.)

Pour savoir si trois tiges rigides de longueurs $a = 8\text{ cm}$, $b = 15\text{ cm}$ et $c = 25\text{ cm}$ peuvent être assemblées par leurs extrémités pour construire une structure triangulaire, on propose en classe deux méthodes :\n- Méthode 1 (vérification complète) : écrire et vérifier une à une les trois inégalités triangulaires : $a < b + c$, $b < a + c$ et $c < a + b$.\n- Méthode 2 (vérification réduite) : repérer la tige la plus longue ($c$) et vérifier seulement si cette tige est inférieure à la somme des deux autres ($c < a + b$).\na) Appliquer les deux méthodes au cas des tiges de $8\text{ cm}$, $15\text{ cm}$ et $25\text{ cm}$ et écrire la conclusion obtenue pour chacune.\nb) Justifier mathématiquement pourquoi la méthode 2 est toujours suffisante : pourquoi, si le plus grand côté est inférieur à la somme des deux autres, peut-on affirmer avec certitude que les deux autres inégalités sont toujours vérifiées sans avoir à les calculer ?\nc) Si l'on décide de retirer la tige de $25\text{ cm}$ et de la remplacer par une nouvelle tige de longueur entière $x$ pour former un triangle avec celles de $8\text{ cm}$ et $15\text{ cm}$ :\n1) Calculer quelle longueur entière exacte doit avoir $x$ pour que le triangle soit rectangle et que cette tige soit l'hypoténuse, en le vérifiant avec le théorème de Pythagore.\n2) Indiquer quelles valeurs entières $x$ pourrait prendre pour que le triangle obtenu soit isocèle et géométriquement possible.

Lors d'une traversée de haute montagne dans le parc national des Picos de Europa, trois refuges ($A$, $B$ et $C$) sont reliés par des sentiers rectilignes formant un triangle. Le guide de montagne consulte les fiches techniques :

• L'angle au refuge $A$ mesure le triple de l'angle au refuge $B$.

• L'angle au refuge $C$ mesure exactement $20^\circ$.

• La distance à vol d'oiseau entre le refuge $A$ et le refuge $B$ est de $7\text{ km}$.

• La distance à vol d'oiseau entre le refuge $B$ et le refuge $C$ est de $18\text{ km}$.

1. a) Modéliser la situation en écrivant une équation avec les angles intérieurs du triangle et déterminer la mesure exacte des angles aux refuges $A$ et $B$.
2. b) Donner la nature du triangle formé par les trois refuges, à la fois selon ses angles (acutangle, rectangle ou obtusangle) et selon ses côtés (équilatéral, isocèle ou scalène).
3. c) Un randonneur affirme : « Pour aller directement du refuge $C$ au refuge $A$ en ligne droite, il faudra marcher plus de $25\text{ km}$. » Démontrer, grâce à l'inégalité triangulaire, pourquoi l'affirmation du randonneur est impossible.
4. d) Le service du 112 doit installer une antenne d'urgence située exactement à la même distance des trois refuges. Nommer le point remarquable du triangle que les techniciens doivent déterminer et expliquer quelles droites ils doivent tracer sur la carte pour le trouver.