Exercices: Droites

Sur le dessin suivant d'une route droite, identifier le nom de chacun des éléments marqués.

Indiquer lequel est un segment, lequel est une demi-droite et lequel représente une droite entière.

Observer le plan de ces rues. Indiquer la position relative (parallèles, sécantes ou perpendiculaires) des couples de rues suivants :

• Rue A et rue B.

• Rue B et rue C.

• Rue A et rue C.

Classer les angles suivants selon leur ouverture. Indiquer s'ils sont aigus, droits ou obtus :

• $\alpha = 45^\circ$

• $\beta = 120^\circ$

• $\gamma = 90^\circ$

Deux angles sont complémentaires si leur somme est égale à $90^\circ$. Si l'angle $\alpha$ mesure $35^\circ$, combien doit mesurer l'angle $\beta$ pour qu'ils soient complémentaires ?

Un radar de navigation tourne d'un total de $5^\circ$ par seconde. Exprimer ce mouvement en minutes d'angle ($'$). Rappel : $1^\circ = 60'$.

Déterminer la valeur de l'angle $\hat{X}$ sur la figure suivante, sachant que les deux angles sont supplémentaires (leur somme est égale à $180^\circ$).

Dessiner dans le cahier une droite $r$ et un point $P$ qui ne lui appartient pas. À l'aide de l'équerre et de la règle, tracer une droite $s$ qui passe par $P$ et qui est parallèle à $r$. Combien de droites parallèles à $r$ peuvent passer par ce point $P$ ?

Vous pouvez le faire sur papier et envoyer une photo de votre réponse.

Lorsque deux droites se coupent, les angles opposés par le sommet sont égaux. Observer la figure et, sans utiliser le rapporteur, indiquer combien mesure l'angle $\hat{A}$ et combien mesure l'angle $\hat{B}$.

Un groupe d'amis conçoit un nouveau circuit de skate sur un terrain vague. Pour cela, ils ont tracé sur le sol plusieurs lignes qui représentent les bords des rampes. Observer le plan qu'ils ont dessiné et répondre aux questions sur la position relative des lignes :

1. a) Indiquer un couple de lignes parallèles entre elles.
2. b) Trouver deux lignes sécantes mais non perpendiculaires.
3. c) Identifier une ligne perpendiculaire à la ligne $s$.
4. d) Si la ligne $t$ et la ligne $u$ ne se croisent jamais, même en les prolongeant, quelle relation géométrique ont-elles ?

Une caméra de sécurité d'un centre commercial a un angle de vision total de $110^\circ$. Le technicien de maintenance décide de partager cet angle en deux zones : la zone A, qui couvre les boutiques, et la zone B, qui couvre les allées.

Si la zone A mesure $64^\circ 35' 50''$, calculer la mesure exacte (en degrés, minutes et secondes) que doit avoir la zone B pour couvrir le reste du champ de vision.

Dans un jeu vidéo de stratégie, un rayon laser rebondit sur une surface métallique. On sait que l'angle d'incidence $\alpha$ et l'angle de réflexion $\beta$ sont égaux.

Si l'angle total formé par le rayon d'entrée et le rayon de sortie est de $115^\circ 20'$, calculer la mesure de l'angle $\alpha$. Ensuite, indiquer si l'angle supplémentaire de $\alpha$ est aigu, droit ou obtus.

On analyse la structure d'une étagère moderne. Les tablettes horizontales sont parallèles entre elles et traversées par un support incliné.

Sachant que l'angle $\hat{1}$ mesure $124^\circ$, utiliser les propriétés des angles formés par des droites parallèles coupées par une sécante pour calculer, sans rapporteur, la mesure des angles $\hat{2}, \hat{3}$ et $\hat{4}$. Justifier chaque réponse (angles opposés par le sommet, correspondants, alternes-internes, etc.).

Une horloge murale indique 15 h 40.

1. a) Calculer l'angle que forment l'aiguille des heures et celle des minutes. Tenir compte du fait que l'aiguille des heures se déplace un peu quand les minutes avancent.
2. b) Comment classer cet angle selon son ouverture (aigu, droit, obtus ou plat) ?

Sur le plan d'un parc de jeux pour enfants, on veut placer un lampadaire qui soit exactement à la même distance du toboggan ($T$) et des balançoires ($C$). La figure montre la position des deux et la distance qui les sépare.

1. a) Quel nom porte la droite imaginaire sur laquelle devraient se trouver tous les points qui vérifient cette condition ?

1. b) Si la distance entre le toboggan et les balançoires est de $12$ mètres et que l'on place le lampadaire au milieu du segment $TC$, à quelle distance sera-t-il de chacun d'eux ?

1. c) Dessiner dans le cahier un schéma du segment $TC$ et de sa médiatrice.

Vous pouvez le faire sur papier et envoyer une photo de votre réponse.

Deux avenues principales d'une ville se croisent en formant un angle de $72^\circ 15'$. On veut construire une rue piétonne qui partage cet angle exactement en deux.

1. a) Comment s'appelle, en termes techniques, la ligne qui représente cette rue piétonne ?
2. b) Calculer la valeur de l'angle que formera la nouvelle rue avec chacune des avenues.
3. c) Quel type d'angle obtient-on (aigu, droit ou obtus) ?

Observer la figure suivante où apparaissent plusieurs angles liés entre eux. On sait que les droites $m$ et $n$ sont parallèles. Si l'angle $\hat{A} = 48^\circ$, calculer en justifiant la valeur des angles $\hat{B}$ et $\hat{C}$.

Un satellite de communication orbite autour de la Terre et effectue trois mesures de rotation angulaire pour corriger sa trajectoire. La première rotation est de $42^\circ \ 35' \ 48''$. La deuxième rotation est le double de la première. Si, à la fin de la journée, le satellite doit avoir tourné d'un angle total égal à un angle plat pour être aligné avec la base terrestre, combien doit mesurer la troisième rotation ? Exprimer le résultat sous forme complexe (degrés, minutes et secondes).

Dans la conception d'une structure métallique pour un toit, on a deux poutres principales parallèles, $r$ et $s$. Une troisième poutre transversale $t$ les coupe en formant un angle obtus de $135^\circ \ 20'$. On décide d'installer un renfort qui coïncide exactement avec la bissectrice de l'angle aigu formé par le croisement des poutres $s$ et $t$. Quel angle ce renfort formera-t-il avec la poutre $r$ à l'intérieur de la structure ? Justifier si les angles seront alternes-internes ou correspondants.

Quatre droites sécantes ont été tracées dans un plan de sorte que chacune coupe toutes les autres, mais que trois droites ne passent jamais par le même point.

1. a) Quel est le nombre maximal de points d'intersection qui peuvent se former ?
2. b) En combien de régions le plan est-il partagé ?

Dessiner un schéma qui le représente et justifier la réponse en comptant les régions.

Vous pouvez le faire sur papier et envoyer une photo de votre réponse.

L'angle $\alpha$ est tel que son supplémentaire mesure le triple de son complémentaire.

1. a) Poser une égalité en utilisant les notions d'angle complémentaire ($90^\circ - \alpha$) et supplémentaire ($180^\circ - \alpha$).
2. b) Calculer la valeur de l'angle $\alpha$.
3. c) Comment classer l'angle $\alpha$ selon son ouverture ?

Un architecte conçoit une place en forme de triangle scalène dont les sommets sont trois fontaines situées aux points $A$, $B$ et $C$ (la figure montre un schéma de la place). Il veut placer un lampadaire en un point $P$ qui vérifie deux conditions :

1. Être à la même distance de la fontaine $A$ que de la fontaine $B$.

2. Être à la même distance de la rue qui relie $A$ à $C$ que de la rue qui relie $B$ à $C$.

Quelles constructions géométriques (médiatrice, bissectrice, etc.) l'architecte doit-il réaliser pour trouver le point exact du lampadaire ? Expliquer la propriété des points de ces droites qui justifie la réponse.

Calculer l'angle exact que forment les aiguilles d'une horloge analogique lorsqu'elle indique 3 h 40.

Indice : tenir compte du fait que l'aiguille des heures ne reste pas fixée sur le 3, mais avance proportionnellement pendant que l'aiguille des minutes se déplace.

1. a) De combien de degrés l'aiguille des heures avance-t-elle à chaque minute qui passe ?

1. b) Calculer la position en degrés des deux aiguilles par rapport à 12 h 00 et déterminer la différence.

On considère deux angles adjacents, $\widehat{AOB}$ et $\widehat{BOC}$, qui ont en commun le côté $OB$ et dont les autres côtés $OA$ et $OC$ forment une ligne droite (c'est-à-dire que $A$, $O$ et $C$ sont alignés et que les deux angles ont pour somme $180°$). On trace les bissectrices $OX$ de l'angle $\widehat{AOB}$ et $OY$ de l'angle $\widehat{BOC}$.

Démontrer, en détaillant le calcul pas à pas, combien mesure l'angle $\widehat{XOY}$ formé par les deux bissectrices. Ce résultat dépend-il de la mesure de chacun des angles de départ ? Justifier la réponse.

Étant données une droite $r$ et un point extérieur $P$, on sait qu'il n'existe qu'une seule droite parallèle à $r$ passant par $P$.

Imaginons maintenant trois droites parallèles entre elles ($r, s, t$) et deux droites transversales ($m, n$) qui ne sont pas parallèles entre elles.

1. a) Quel est le nombre total d'angles formés aux points d'intersection ?
2. b) Si tous les angles aigus formés par la droite $m$ avec les parallèles mesurent $70^\circ$, et que les angles aigus formés par la droite $n$ avec les parallèles mesurent $55^\circ$, calculer l'angle que forment entre elles les droites $m$ et $n$.