Exercices: Éléments du plan

Observer l'image suivante et identifier lequel des éléments dessinés correspond à une droite, lequel à une demi-droite et lequel à un segment. Expliquer brièvement la différence entre eux en vous appuyant sur leurs extrémités.

Sur le plan de votre quartier, deux rues peuvent se croiser ou être parallèles. Observer le schéma des droites $a$, $b$ et $c$. Indiquer quel couple de droites est parallèle et quel couple est sécant. Comment s'appelle le point orange où deux d'entre elles se coupent ?

Classer les angles suivants d'après leur ouverture en aigu, droit ou obtus. Pour vous aider, rappelez-vous qu'un angle droit mesure exactement $90^\circ$.

• Angle $A = 45^\circ$

• Angle $B = 120^\circ$

• Angle $C = 90^\circ$

• Angle $D = 10^\circ$

Deux angles sont complémentaires si leur somme est $90^\circ$ et supplémentaires si leur somme est $180^\circ$. Calculer la valeur de l'angle manquant dans chaque cas :

1. a) Le complémentaire d'un angle de $35^\circ$.
2. b) Le supplémentaire d'un angle de $110^\circ$.

Lorsque deux droites se coupent, les angles opposés par le sommet sont égaux. Sur le dessin suivant, si l'on sait que l'angle orange $\hat{\alpha}$ mesure $40^\circ$, combien mesurent les angles $\hat{\beta}$, $\hat{\gamma}$ et $\hat{\delta}$ ?

Les aiguilles d'une horloge forment différents angles au cours de la journée.

1. a) Quel type d'angle forment les aiguilles lorsqu'il est 3 h 00 pile ?
2. b) Et lorsqu'il est 6 h 00 pile ?
3. c) Quel angle (en degrés) la grande aiguille parcourt-elle en 15 minutes ?

Dessiner un polygone à trois côtés (un triangle) et nommer ses éléments principaux. Indiquer où se trouvent les sommets, les côtés et les angles intérieurs. Combien un triangle en possède-t-il de chaque ?

Vous pouvez le faire sur papier et envoyer une photo de votre réponse.

Les segments suivants ont ces longueurs :

• Segment $AB = 40$ $mm$

• Segment $CD = 2,5$ $cm$

• Segment $EF = 0,5$ $dm$

Calculer la somme totale de leurs longueurs en centimètres ($cm$).

Penser à convertir toutes les mesures dans la même unité avant d'additionner.

Lucas doit calculer l'angle complémentaire de $\hat{A} = 42^\circ\ 35'$. Dans son cahier, il a écrit la résolution suivante :

« Comme deux angles complémentaires ont pour somme $90^\circ$, je soustrais : $90^\circ - 42^\circ\ 35'$. Je convertis $90^\circ$ en $89^\circ\ 100'$, donc je fais $89^\circ\ 100' - 42^\circ\ 35' = 47^\circ\ 65'$. Comme $65'$ dépasse un degré, je passe $60'$ aux degrés et j'obtiens comme résultat final $48^\circ\ 5'$ ».

1. a) Identifier l'erreur commise par Lucas et expliquer en détail pourquoi son raisonnement sur les unités est faux et comment il affecte le résultat final, en rappelant la base du système sexagésimal.
2. b) Effectuer l'opération correctement et déterminer la mesure exacte de l'angle complémentaire de $\hat{A}$.

Dans un atelier de conception géométrique, on vous demande de trouver un angle $\hat{A}$ inconnu qui vérifie une propriété mathématique très précise : la mesure de son angle supplémentaire est exactement le triple de la mesure de son angle complémentaire.

1. a) Justifier, sans calculer pour l'instant l'angle $\hat{A}$, de combien de degrés diffèrent toujours l'angle supplémentaire et l'angle complémentaire de n'importe quel angle du plan.
2. b) Utiliser cette différence et la condition « l'un est le triple de l'autre » pour en déduire la mesure que doit obligatoirement avoir l'angle complémentaire de $\hat{A}$.
3. c) Déterminer à partir de ce qui précède la mesure exacte de l'angle $\hat{A}$ et vérifier que la condition initiale est satisfaite en calculant son complémentaire et son supplémentaire.

Sur une carte de randonnée, un sentier rectiligne relie le point $A$ (un refuge) au point $B$ (une cascade). Si l'on prolonge le sentier au-delà de la cascade vers le sommet de la montagne (point $C$), identifier quel élément géométrique représentent les tracés suivants :

1. Le chemin qui commence au refuge et se termine à la cascade.

2. Le chemin qui commence au refuge et se poursuit indéfiniment en passant par la cascade et le sommet.

3. La ligne théorique qui contient le refuge, la cascade et le sommet, et qui s'étend sans fin dans les deux directions.

Un architecte conçoit un nouveau quartier résidentiel. Il a tracé trois rues représentées par les droites $r$, $s$ et $t$. Observer le plan et répondre en justifiant :

• Si la rue $r$ est perpendiculaire à la rue $s$ et que la rue $t$ est parallèle à la rue $r$, quelle est la position relative des rues $s$ et $t$ ?

• Si une voiture circule dans la rue $s$ et veut tourner pour entrer dans la rue $t$, de quel angle (en degrés) devra-t-elle tourner ?

Un radar routier tourne autour de son axe en balayant un angle total de $145^\circ$ $30'$. Si le radar a déjà tourné de $82^\circ$ $45' $ $20''$, de combien doit-il encore tourner pour achever son balayage total ? Exprimer le résultat en degrés, minutes et secondes.

Dans la conception d'une rampe pour skateurs, on a calculé trois angles intérieurs dont la somme doit être égale à un angle plat pour que la structure soit stable. Si les deux premiers angles mesurent $\hat{A} = 48^\circ$ $25'$ et $\hat{B} = 72^\circ$ $50'$, calculer la mesure du troisième angle $\hat{C}$. De quel type d'angle s'agit-il d'après son ouverture (aigu, droit ou obtus) ?

Deux angles sont supplémentaires. Si l'un d'eux mesure le triple de l'autre, quelle est la mesure de chacun des angles ? Aidez-vous d'un schéma pour visualiser la situation.

Deux amis, Léa et Benjamin, veulent installer une antenne relais Wi-Fi dans la cour du collège, exactement à la même distance de l'un et de l'autre. Si Léa est au point $A$ et Benjamin au point $B$ :

1. Comment s'appelle la ligne imaginaire où ils pourraient placer l'antenne ?

2. Si la distance entre Léa et Benjamin est de $12$ mètres, à quelle distance minimale de chacun se trouvera l'antenne ?

3. Dessiner un schéma représentant les points $A$ et $B$, le segment qui les relie et la ligne où l'antenne doit être placée.

Vous pouvez le faire sur papier et envoyer une photo de votre réponse.

Un jardinier veut diviser un massif de fleurs en forme de secteur circulaire en deux secteurs égaux. Pour cela, il doit tracer la bissectrice de l'angle au centre du massif d'origine, qui mesure $135^\circ$.

• Calculer la mesure de chacun des nouveaux angles après le tracé de la bissectrice.

• Si le jardinier se trompe et trace une ligne qui laisse un angle de $60^\circ$ $40'$, quelle différence (en degrés, minutes et secondes) y a-t-il par rapport à la bissectrice exacte ?

Vous pouvez le faire sur papier et envoyer une photo de votre réponse.

Observer les aiguilles d'une horloge analogique lorsqu'elle indique exactement $15:00$ (trois heures pile). La figure montre cette horloge : la petite aiguille indique les heures et la grande aiguille indique les minutes.

Répondre :

1. a) Quel type d'angle forment les deux aiguilles à $15:00$ ?

1. b) Si l'horloge avance jusqu'à $15:10$, la grande aiguille a tourné d'un certain angle. Sachant que chaque minute correspond à une rotation de $6^\circ$ de la grande aiguille, quel angle la grande aiguille a-t-elle parcouru ?

1. c) À $15:10$, l'angle formé par les deux aiguilles est-il plus grand ou plus petit que celui qu'elles formaient à $15:00$ ? Tenir compte du fait que la petite aiguille se déplace aussi un peu : elle tourne de $0,5^\circ$ chaque minute.

Le bras pivotant d'une machine de tri dans un centre logistique de Bordeaux part d'une position de référence et tourne d'un angle de $58^\circ\ 48'$. Pour achever un étalonnage qui exige d'atteindre exactement un angle droit ($90^\circ$), l'opérateur doit programmer une seconde rotation complémentaire à la suite de la première.

1. a) Avant de calculer avec papier et crayon, estimer en justifiant entre quelles deux dizaines entières de degrés (par exemple entre $20^\circ$ et $30^\circ$, ou entre $30^\circ$ et $40^\circ$) se situera la valeur de la rotation restante. Expliquer sur quoi vous vous appuyez pour estimer sans calculer la valeur exacte.
2. b) Calculer avec précision sexagésimale (en degrés et minutes) la mesure de la rotation qu'il reste à effectuer à la machine pour atteindre $90^\circ$.
3. c) Comparer la valeur exacte obtenue avec votre estimation précédente et dire, en justifiant, si elle est cohérente d'un point de vue géométrique.

Lors du réaménagement urbain d'un quartier de Nantes, deux avenues rectilignes, l'avenue du Nord et l'avenue Centrale, se croisent en un point $P$. L'un des quatre angles formés à ce carrefour mesure $68^\circ\ 40'$.

1. a) Modéliser la situation en classant la position relative des deux avenues dans le plan, puis déterminer en justifiant la mesure des trois autres angles formés au carrefour $P$, en précisant lesquels sont opposés par le sommet et lesquels sont supplémentaires.
2. b) Pour faciliter les virages des bus urbains, on prévoit une plateforme dont l'axe central coïncide exactement avec la bissectrice de l'angle de $68^\circ\ 40'$. Calculer la mesure exacte de l'angle (en degrés et minutes) que forme cette plateforme avec l'avenue Centrale.
3. c) Si l'on ouvre plus tard une nouvelle rue entièrement parallèle à l'avenue du Nord et coupant aussi l'avenue Centrale en un autre point, justifier quels angles cette nouvelle rue formera avec l'avenue Centrale sans avoir à les mesurer sur le terrain.

Trois villages, Alcedo ($A$), Berzosa ($B$) et Cañotal ($C$), sont situés de telle sorte que l'angle de sommet $A$ formé par les routes qui vont vers $B$ et $C$ mesure $74^\circ \ 12'$. On veut construire une antenne de téléphonie située exactement à la même distance de la route $AB$ que de la route $AC$. De plus, l'antenne doit être située à la même distance des villages $B$ et $C$. Décrire en justifiant quels éléments géométriques du plan (droites remarquables) il faut tracer pour trouver l'emplacement exact de l'antenne et quel nom porte le point d'intersection.

Dans la conception d'une pièce métallique, deux angles sont supplémentaires. Si l'un d'eux est le triple de l'autre diminué de $20^\circ$, quelle est la mesure de chacun des angles ? Proposer une stratégie logique ou mathématique pour trouver leurs mesures en degrés, minutes et secondes.

Calculer de façon exacte le plus petit angle formé par les aiguilles d'une horloge analogique lorsqu'elle indique 10 h 20 du matin. Tenir compte du fait que l'aiguille des heures se déplace proportionnellement au mouvement de l'aiguille des minutes. (Indice : chaque minute, l'aiguille des heures avance de $0,5^\circ$.)

Deux droites parallèles, $r$ et $s$, sont coupées par une sécante $t$. On sait que deux angles alternes-internes ont pour mesures $2x + 15^\circ$ et $3x - 10^\circ$.

1. a) Déterminer la valeur de $x$.
2. b) Calculer la mesure des huit angles formés aux points d'intersection.

Dessiner un angle obtus $\widehat{AOB} = 150^\circ$. Tracer sa bissectrice $OC$. Tracer ensuite la bissectrice $OD$ de l'angle $\widehat{AOC}$. Sans utiliser le rapporteur pour la mesure finale, calculer arithmétiquement la mesure de l'angle supplémentaire de l'angle $\widehat{DOB}$. Montrer toutes les étapes de l'opération dans le système sexagésimal.

Vous pouvez le faire sur papier et envoyer une photo avec votre réponse.

Une pizzeria veut partager une pizza circulaire de $30 \text{ cm}$ de diamètre en 7 parts égales.

1. a) Quelle est la mesure exacte de l'angle au centre de chaque part en degrés, minutes et secondes ?
2. b) Si, par erreur, la première coupe est faite à $52^\circ$, de combien de minutes et de secondes cette part est-elle supérieure à la mesure correcte ?

Deux élèves de 6e, Irène et Marc, veulent déterminer la mesure de l'angle formé par les bissectrices de deux angles adjacents et supplémentaires quelconques, $\hat{A}$ et $\hat{B}$ (dont la somme vaut $180^\circ$ et qui ont le même sommet et un côté commun).

• Méthode d'Irène (vérification numérique) : elle choisit un cas concret, par exemple $\hat{A} = 120^\circ$ et $\hat{B} = 60^\circ$. Elle divise chacun par deux pour trouver leurs bissectrices ($60^\circ$ et $30^\circ$), les additionne ($60^\circ + 30^\circ = 90^\circ$) et conclut qu'elles formeront toujours $90^\circ$.

• Méthode de Marc (déduction générale) : il pose que si $\hat{A} + \hat{B} = 180^\circ$, l'angle formé par les deux bissectrices est la somme de leurs moitiés : $\frac{\hat{A}}{2} + \frac{\hat{B}}{2} = \frac{\hat{A} + \hat{B}}{2} = \frac{180^\circ}{2} = 90^\circ$.

1. a) Comparer de façon critique les deux démarches : pourquoi la méthode d'Irène constitue-t-elle un indice mais ne démontre-t-elle pas formellement que la propriété est vraie pour tous les couples d'angles supplémentaires possibles ? Quel avantage apporte la méthode de Marc ?
2. b) Appliquer la méthode déductive générale de Marc pour calculer et démontrer quelle sera toujours la mesure de l'angle formé par les bissectrices de deux angles adjacents complémentaires.
3. c) À partir de votre déduction, expliquer s'il est possible que les bissectrices de deux angles adjacents et complémentaires forment un angle obtus dans certains cas.

Au centre de sauvetage maritime de Marseille, les contrôleurs tracent sur un écran plan la navigation de plusieurs embarcations :

• Le navire Alfa suit une trajectoire rectiligne représentée par la droite $r$.

• Le navire Bravo suit une autre route rectiligne représentée par la droite $s$. Les deux routes sont sécantes et se coupent en un point $P$, formant un angle aigu de $41^\circ\ 35'$.

• Une vedette de sauvetage part de l'intersection $P$ en navigant en ligne droite exactement selon la bissectrice de l'angle obtus formé par les routes d'Alfa et de Bravo en ce point.

• Un navire ravitailleur Charlie se déplace le long d'une trajectoire rectiligne $t$ perpendiculaire à la trajectoire du navire Alfa ($r \perp t$) en un point situé à plusieurs milles de $P$.

1. a) Déterminer en justifiant la mesure exacte de l'angle obtus formé par les trajectoires d'Alfa et de Bravo au point $P$.
2. b) Calculer la mesure exacte (en degrés, minutes et secondes sexagésimales) de l'angle que forme le cap de la vedette de sauvetage avec la trajectoire du navire Bravo.
3. c) Démontrer de façon purement géométrique si les trajectoires du navire Charlie ($t$) et du navire Bravo ($s$) vont se couper en un point du plan ou s'il est possible qu'elles soient parallèles. Pour le justifier, déduire quelle condition angulaire devraient vérifier $r$ et $s$ pour que $t$ puisse être parallèle à $s$.