Exercices: Opérations avec les nombres décimaux

Dans une boutique d'accessoires pour téléphones, Marc veut acheter une coque qui coûte $12,45$ € et un protège-écran qui coûte $8,90$ €. Si Marc paie avec un billet de $50$ €, combien d'argent lui rendra-t-on à la caisse ?

Calculer mentalement ces opérations en utilisant l'unité suivie de zéros. Penser à déplacer la virgule dans le bon sens selon que l'on multiplie ou que l'on divise :

1. a) $34,57 \cdot 10$
2. b) $0,23 \cdot 100$
3. c) $458,2 : 10$
4. d) $12,5 : 1000$

Manon est allée chez le primeur et a acheté $2,5$ kg de pommes au prix de $1,80$ € le kilo. En rentrant chez elle, elle s'aperçoit qu'une des pommes est abîmée et décide de la rapporter. Si la pomme pesait $0,25$ kg, combien d'argent doit-on rembourser à Manon ?

Pour réaliser une recette de cuisine, on doit partager un paquet de farine de $1,5$ kg en $6$ portions exactement égales pour faire des madeleines. Combien de kilogrammes de farine pèsera chaque portion ? Exprimer aussi le résultat en grammes.

Effectuer les opérations combinées suivantes en respectant les priorités opératoires (parenthèses, multiplications/divisions, puis additions/soustractions) :

1. a) $4,5 + 2,1 \cdot 3$
2. b) $(12,8 - 3,4) : 2$
3. c) $5 \cdot 0,25 + 1,75$

Un groupe de $4$ amis va au cinéma. Le total des places et du pop-corn s'élève à $45,80$ €. S'ils ont décidé de payer tous la même somme, combien d'argent chacun doit-il verser ? Si l'un d'eux n'a qu'un billet de $10$ € et une pièce de $2$ €, aura-t-il assez d'argent ?

Recopier et compléter les égalités suivantes en plaçant le nombre décimal manquant pour que l'opération soit correcte :

1. a) $15,45 + \dots = 20$
2. b) $7,2 - \dots = 4,55$
3. c) $\dots \cdot 3 = 12,9$

Une athlète s'entraîne sur une piste circulaire. Chaque tour de piste mesure $0,45$ km. Si aujourd'hui elle a effectué $12$ tours au total, combien de kilomètres a-t-elle parcourus en tout ? Si son objectif était de parcourir $6,3$ km, combien de tours de plus aurait-elle dû faire ?

Sophie a une planche de bois de $14,2\text{ m}$ et doit couper un morceau de $3,75\text{ m}$ pour construire une étagère. Pour calculer combien de bois il lui reste, elle pose la soustraction $14,2 - 3,75$ en colonnes et affirme que le résultat est $11,55\text{ m}$, en raisonnant ainsi : « dans la colonne des centièmes, comme il n'y a rien en haut, j'abaisse directement le $5$ ; pour les dixièmes, je soustrais le plus grand chiffre moins le plus petit, $7 - 2 = 5$ ; et pour les unités, je soustrais $14 - 3 = 11$ ».

1. a) Identifier et expliquer les deux erreurs conceptuelles commises par Sophie, liées à la valeur de position des chiffres et à l'opération de soustraction.
2. b) Expliquer pourquoi il est indispensable d'ajouter des zéros à droite de la partie décimale du premier terme avant d'effectuer l'opération.
3. c) Poser correctement l'opération en colonnes et déterminer la longueur exacte de planche qui reste à Sophie.

Vous allez à l'épicerie de votre quartier avec un seul billet de $15\text{ €}$ et vous mettez dans le panier les articles suivants :

• $1$ paquet de café à $3,95\text{ €}$,

• $2$ briques de lait à $1,05\text{ €}$ chacune,

• $1$ pain artisanal à $0,98\text{ €}$, et

• $3$ paquets de biscuits à $1,99\text{ €}$ chacun.

1. a) Avant de faire un calcul écrit avec des décimaux, effectuer une estimation mentale en arrondissant le prix de chaque article à l'euro le plus proche. Grâce à cette estimation, expliquer si le billet de $15\text{ €}$ suffira pour payer les achats.
2. b) Effectuer maintenant les opérations exactes en colonnes, étape par étape, pour calculer le montant total affiché par la caisse enregistreuse.
3. c) Vérifier si votre estimation initiale était correcte, calculer combien d'argent il vous reste ou il vous manque exactement, et réfléchir aux situations de la vie quotidienne où il est utile d'estimer avant de calculer.

Trois amis décident de prendre un goûter ensemble. Ils achètent un pack de boissons gazeuses pour $4,85$ €, un grand sachet de chips qui coûte $2,30$ € et une boîte de petits gâteaux pour $5,45$ €. S'ils paient avec un billet de $20$ €, combien d'argent leur restera-t-il pour acheter des bonbons à la sortie ?

Une bobine de filament pour imprimante 3D pèse exactement $1,25$ kg. Si l'on utilise $0,015$ kg de plastique pour fabriquer une petite pièce, combien de pièces complètes peut-on fabriquer avec une seule bobine ? Quelle quantité de filament restera-t-il à la fin ?

Valentine veut télécharger trois fichiers de jeux vidéo sur sa console. Le premier occupe $4,35$ Go, le deuxième le double du premier, et le troisième $1,2$ Go de moins que le deuxième. Si sa connexion télécharge à une vitesse constante de $0,05$ Go par seconde, combien de secondes faudra-t-il pour terminer le téléchargement des trois fichiers ?

Calculer le résultat des opérations suivantes en respectant les priorités opératoires :

1. a) $12,5 + 3,8 \cdot (6,4 - 2,15)$

1. b) $(15,4 + 8,6) : 2,5 - 1,02 \cdot 4$

Une mairie veut clôturer un parc rectangulaire qui mesure $25,4$ mètres de long et $12,75$ mètres de large. Le prix de la clôture est de $15,20$ € par mètre linéaire. Si le budget total disponible est de $1\,200$ €, la mairie a-t-elle assez d'argent pour entourer tout le parc ? Justifier votre réponse avec les calculs nécessaires.

Lors d'une offre « Rentrée des classes », un paquet de $5$ cahiers coûte $8,25$ €, alors que, si on les achète à l'unité, chacun coûte $1,80$ €.

Quelle est l'économie totale réalisée si l'on décide d'acheter $15$ cahiers en profitant de l'offre des paquets plutôt que de les acheter séparément ?

Un coureur de marathon a effectué une étape de $15,6$ km en une heure et demie ($1,5$ heures).

1. a) Quelle a été sa vitesse moyenne en km/h ?
2. b) S'il garde la même vitesse, combien de kilomètres parcourra-t-il en $2,25$ heures ?

Une entreprise de messagerie facture un tarif fixe de $4,50$ € par envoi, plus $0,85$ € par kilogramme de colis. Si l'on veut envoyer un colis de $3,4$ kg et que l'on applique un bon de réduction de $1,25$ € sur le prix final, combien coûtera l'envoi ? Écrire l'expression avec des opérations combinées et la calculer.

Sur le ticket de caisse d'un primeur, une partie a été effacée à cause d'une tache d'humidité. Les seules données lisibles clairement sont les suivantes :

• Pommes : $3,5\text{ kg}$ à un prix inconnu au kilogramme.

• Bananes : $1,2\text{ kg}$ à $1,85\text{ €/kg}$.

• Somme versée à la caisse : un billet de $20\text{ €}$.

• Monnaie exacte rendue : $11,48\text{ €}$.

1. a) Utiliser la méthode des opérations inverses : calculer d'abord la dépense totale de l'achat puis, en retranchant le montant correspondant aux bananes, déterminer combien ont coûté au total les pommes.
2. b) À partir du coût total des pommes, poser et effectuer la division avec des nombres décimaux nécessaire pour trouver le prix exact d'un kilogramme de pommes.
3. c) Reconstituer le calcul complet dans le sens direct pour vérifier que toutes les opérations et la monnaie rendue sont correctes.

Dans une station météorologique de Météo-France située dans la région des Alpes (Isère), on a relevé les données de précipitations suivantes pendant quatre jours consécutifs :

• Lundi : on a recueilli $16,5\text{ l/m}^2$.

• Mardi : il est tombé $4,2\text{ l/m}^2$ de moins que le lundi.

• Mercredi : la pluie a été égale à $1,2$ fois la quantité relevée le mardi, plus un apport d'orage de $0,84\text{ l/m}^2$.

• Jeudi : on a relevé exactement la moyenne arithmétique de ce qui est tombé les trois jours précédents.

1. a) Modéliser la situation en exprimant et en calculant pas à pas la quantité exacte de pluie recueillie chacun des quatre jours (montrer clairement la position de la virgule dans chaque calcul).
2. b) Calculer les précipitations totales cumulées sur les quatre jours.
3. c) Si chaque litre par mètre carré relevé dans ce bassin apporte directement un volume de $10\,000\text{ m}^3$ d'eau à un barrage voisin, calculer combien de mètres cubes d'eau sont entrés au total dans le barrage pendant ces quatre jours, en appliquant la règle pour multiplier par des puissances de $10$.

Calculer le résultat de l'opération suivante, en respectant strictement les priorités opératoires et en travaillant avec toutes les décimales obtenues :

Une fois le résultat final obtenu, en donner une valeur approchée par arrondi au centième et par troncature au dixième.

Dans un magasin de technologie, un jeu vidéo coûte $59,95 €$. Pendant la semaine du « Black Friday », une réduction du quart de son prix est proposée. Un adolescent décide de l'acheter et donne un billet de $50 €$. Calculer :

1. a) Le prix final du jeu vidéo après la réduction (arrondir au centime d'euro si nécessaire).
2. b) A-t-il assez d'argent ? S'il lui en manque, indiquer combien. S'il lui en reste, indiquer la monnaie exacte qu'il recevra.

Un agriculteur possède une cuve d'eau d'une capacité totale de $1\,250,5$ litres. À cause d'une petite fissure, la cuve perd $0,75$ litres par heure. En même temps, une pompe verse dans la cuve $12,4$ litres toutes les $15$ minutes. Si, en ce moment, la cuve contient $840,25$ litres :

Combien de litres y aura-t-il exactement dans la cuve au bout de $4$ heures et demie ? Exprimer le résultat avec deux décimales.

Observer le rectangle de la figure, de base $b = 12,45 \text{ cm}$ et de hauteur $h = 8,2 \text{ cm}$.

Calculer son aire et son périmètre. Ensuite, imaginer que l'on réduise de moitié la base et la hauteur. Quelle sera la nouvelle aire ? L'aire obtenue est-elle la moitié de l'aire initiale ou a-t-elle varié autrement ? Justifier votre réponse en effectuant les calculs nécessaires.

Trois amis veulent acheter un abonnement à une plateforme de streaming qui coûte $17,99 €$ par mois. Ils décident de répartir la dépense ainsi : Jean paiera la moitié, Manon paiera un tiers du reste et Lucie paiera ce qui manque.

Calculer la somme exacte (avec toutes ses décimales) que doit verser chacun. Si la banque n'autorise que les paiements à deux décimales, qui devrait, selon vous, prendre en charge l'arrondi du centime restant pour que la somme soit exactement $17,99 €$ ?

Une voiture de Formule 1 a mis $1 \text{ minute}$ et $24,352 \text{ secondes}$ pour faire un tour de circuit. Si son principal rival a mis $84,12 \text{ secondes}$ pour effectuer le même parcours :

1. a) Lequel des deux a été le plus rapide ?
2. b) Calculer la différence de temps entre les deux, exprimée en secondes.
3. c) Si la première voiture maintient son rythme, combien de temps mettra-t-elle pour effectuer $15$ tours complets ? Exprimer le résultat en minutes et secondes.

Nous préparons une recette qui demande $0,250 \text{ kg}$ de farine pour faire $6$ muffins. Si nous voulons inviter toute la classe ($28$ élèves) et que chacun mange $2$ muffins :

1. a) De combien de farine aurons-nous besoin au total ? Exprimer le résultat en kilogrammes.
2. b) Si nous achetons des paquets de farine de $0,75 \text{ kg}$, combien de paquets devrons-nous acheter au minimum ? Quelle quantité de farine nous restera-t-il exactement ?

Le forfait mobile d'Alex comporte un abonnement fixe de $22,50 €$ par mois. S'il dépasse les gigas inclus, chaque Go supplémentaire coûte $0,50 €$, et chaque minute d'appel international coûte $0,12 €$. Ce mois-ci, il a passé $45$ minutes d'appels internationaux et le coût des Go supplémentaires a été exactement le cinquième de l'abonnement fixe :

1. a) Combien de Go supplémentaires a-t-il consommés ?
2. b) Quel est le montant total de la facture avant taxes ?
3. c) Si l'on doit ajouter au total $21\%$ de TVA (multiplier par $0,21$ et ajouter au total), quel sera le prix final de la facture ? (Arrondir le résultat final au centime d'euro.)

Pour une installation de télécommunications dans un établissement scolaire, on dispose d'une bobine de câble réseau de $45\text{ m}$ de longueur. On doit couper des tronçons identiques de $0,75\text{ m}$ et chaque tronçon sera facturé au prix de $2,40\text{ €}$. Deux élèves proposent des méthodes différentes pour calculer la somme totale obtenue :

• Méthode d'Alba : Elle travaille directement en mètres et en euros avec des décimaux. Elle divise d'abord $45 : 0,75$ en appliquant la règle qui consiste à multiplier le dividende et le diviseur par $100$ ($4500 : 75$) pour que le diviseur soit entier, puis elle multiplie le quotient par $2,40$.

• Méthode de Bruno : Il convertit au préalable toutes les quantités en nombres entiers en changeant d'unité : il convertit les $45\text{ m}$ en centimètres ($4500\text{ cm}$), les $0,75\text{ m}$ en centimètres ($75\text{ cm}$) et le prix unitaire en centimes ($240\text{ centimes}$). Il effectue les opérations avec des entiers et convertit à la fin le résultat en euros en divisant par $100$.

1. a) Développer entièrement les deux méthodes et vérifier qu'elles aboutissent exactement au même montant total.
2. b) Justifier mathématiquement pourquoi la règle « supprimer les décimales du diviseur en multipliant par des puissances de $10$ » équivaut au fond au changement d'unité effectué par Bruno.
3. c) Supposer maintenant que les tronçons nécessaires devaient mesurer $0,7\text{ m}$. En effectuant la division euclidienne équivalente $450 : 7$, on obtient un quotient $64$ et un reste $2$. Expliquer en justifiant quelle est la longueur réelle de câble qui reste sur la bobine ($2\text{ m}$, $0,2\text{ m}$ ou $0,02\text{ m}$) et quelle précaution il faut toujours prendre pour interpréter le reste d'une division avec des décimaux.

Sur la facture mensuelle d'électricité d'un logement en France, les éléments réglementés suivants sont détaillés :

• Part fixe liée à la puissance : on facture $0,115\text{ €}$ par jour et par kilowatt ($\text{kW}$) souscrit. Le logement a souscrit $4,6\text{ kW}$ et la période facturée est de $30\text{ jours}$.

• Part liée à la consommation d'énergie : elle est facturée au prix de $0,148\text{ €}$ par kilowattheure ($\text{kWh}$) consommé.

• Taxe sur l'électricité : elle se calcule en multipliant le sous-total (la somme de la part puissance et de la part consommation) par le facteur décimal $0,0511$.

1. a) Modéliser la facture en calculant le coût exact de la part fixe liée à la puissance pour les $30$ jours, en effectuant les multiplications avec toutes leurs décimales.
2. b) Si le sous-total de la facture de ce mois (avant application de la taxe sur l'électricité) était exactement de $60,27\text{ €}$, poser et résoudre les opérations inverses nécessaires pour déduire combien de $\text{kWh}$ la famille a consommés sur cette période.
3. c) Calculer le montant de la taxe sur l'électricité en arrondissant le résultat final au centime d'euro (deux décimales). Justifier ensuite pourquoi les fournisseurs d'électricité fixent les prix unitaires avec trois décimales ou plus (millièmes d'euro, comme $0,148\text{ €}$) plutôt que de les arrondir dès le départ au centime ($0,15\text{ €}$).