Exercices: Approximation et arrondi

Dans une boutique de jeux vidéo, le prix d'un poster est de $7,82$ €. Si vous n'avez que des pièces d'un euro et que vous voulez savoir, approximativement, combien d'euros entiers il coûte :

Sur la droite de la figure, les deux grands traits sont deux nombres entiers consécutifs (ceux marqués d'un « ? ») et chaque petit trait représente un dixième.

1. a) Entre quels deux nombres entiers se situe le prix ?
2. b) De quel nombre est-il le plus proche ? Effectuer l'arrondi à l'unité.

Pour réaliser une expérience en cours de sciences, nous devons mesurer exactement $4,576$ grammes de sel. Compléter le tableau suivant en appliquant les deux méthodes d'approximation demandées :

Valeur approchée au centième	Résultat
Troncature
Arrondi

Un coureur de 100 mètres a réalisé un temps de $12,45$ secondes au chronomètre. Si l'on souhaite exprimer ce temps avec un seul chiffre après la virgule :

1. a) Effectuer l'arrondi au dixième.
2. b) L'approximation est-elle par excès ou par défaut ? Expliquer pourquoi on a regardé le chiffre des centièmes.

Sur la droite graduée, le temps du coureur est repéré par un point entre $12,4$ et $12,5$, et chaque petite graduation représente $0,01$ s.

Observer les nombres décimaux suivants et donner leur valeur approchée au dixième en utilisant la technique de l'arrondi :

1. a) $3,14$
2. b) $9,68$
3. c) $0,45$
4. d) $1,03$

Le débit de téléchargement d'une connexion internet est de $92,578$ Mbps. Le technicien nous dit que, pour simplifier, on peut tronquer le nombre au centième.

1. a) Quelle valeur obtient-on ?
2. b) Dessiner une petite droite graduée et y placer la valeur d'origine et la valeur tronquée.

Vous pouvez le faire sur papier et envoyer une photo de votre réponse.

Au supermarché, les balances pour les fruits arrondissent souvent la masse. Si l'on achète un sachet d'oranges qui pèse $2,341$ kg, indiquer quelle serait la masse affichée si la balance :

1. a) Arrondit à l'unité.
2. b) Arrondit au centième.

Donner une valeur approchée du nombre $\pi \approx 3,141592...$ des manières suivantes :

1. a) Par arrondi au millième.
2. b) Par troncature au millième.
3. c) Dans quel cas le résultat est-il le plus grand ?

Imaginer que vous payez avec un billet de $20$ € un achat qui coûte $14,23$ €. Le caissier n'a pas de petites pièces de centimes et vous propose d'arrondir le prix au dixième d'euro le plus proche (c'est-à-dire à un multiple de $10$ centimes, avec un seul chiffre après la virgule).

1. a) Quel serait le nouveau prix arrondi ?
2. b) Combien d'argent le caissier vous rendrait-il après l'arrondi ?

Mathis doit arrondir le nombre $6,378$ au centième dans un exercice de classe. Dans son cahier, il écrit : « $6,378 \approx 6,37$ parce que le $8$ des millièmes n'atteint pas dix, donc cela ne change pas le chiffre précédent ».

1. a) Expliquer quelle erreur conceptuelle commet Mathis et quelle méthode d'approximation il a en réalité appliquée sans s'en rendre compte.
2. b) Effectuer l'arrondi correct au centième et expliquer, en utilisant la distance entre nombres décimaux, pourquoi votre résultat est plus proche du nombre d'origine que la valeur écrite par Mathis.

Dans une papeterie de quartier, Sarah veut acheter un cahier qui coûte $2,85$ €, un paquet de feutres à $4,15$ € et une chemise à $1,90$ €. Elle a dans son porte-monnaie une pièce de $5$ € et deux pièces de $2$ €.

1. a) Avant de calculer le prix exact, estimer la dépense totale en arrondissant le prix de chaque article à l'euro le plus proche. D'après votre estimation, aura-t-elle assez d'argent pour payer ses achats ?
2. b) Calculer le coût exact des achats en additionnant les trois prix.
3. c) Vérifier si votre estimation était correcte en calculant la différence entre le prix exact et le prix estimé. Pensez-vous que l'estimation était utile pour prendre une décision rapide avant de passer en caisse ? Justifier la réponse.

Recopier et compléter le tableau suivant dans votre cahier, en effectuant les approximations indiquées pour le nombre décimal $n = 14,3728$.

Approximation au...	Troncature	Arrondi
Dixième
Centième
Millième

Observer la droite graduée suivante où l'on a représenté un nombre décimal $x$ à l'aide d'une loupe.

Sachant que le point orange représente le nombre $x = 3,774$ :

1. a) Entre quels deux centièmes se situe le nombre $x$ ?
2. b) Si vous deviez donner une valeur approchée de $x$ au dixième par arrondi, quelle valeur choisiriez-vous ? Justifier la réponse en observant la position du point sur la droite par rapport au milieu ($3,75$).

Dans une boutique d'applications de jeux vidéo, le prix d'un nouveau pack de textures est de $12,957 €$.

1. a) Si la boutique décide de tronquer le prix au centième pour l'afficher dans le catalogue, quel prix apparaîtra ?
2. b) Si le système de paiement arrondit au centième (centimes d'euro) lors de l'encaissement final, combien l'utilisateur paiera-t-il réellement ?
3. c) Quelle est la différence d'argent entre le prix tronqué et le prix arrondi ?

Trois athlètes ont participé à une course de 60 mètres au collège. Les temps relevés par le chronomètre sont les suivants :

• Lucie : $8,429$ secondes.

• Marc : $8,421$ secondes.

• Adrien : $8,425$ secondes.

1. a) Si les résultats sont publiés sur le site du collège arrondis au centième, quel temps apparaîtra pour chacun ?
2. b) En observant les résultats arrondis, semble-t-il qu'ils ont mis le même temps ? Est-ce vrai d'après les temps d'origine ?

Un professeur de mathématiques calcule la moyenne d'un contrôle et obtient $6,4782$.

1. a) Donner une valeur approchée de la note au dixième par troncature.
2. b) Donner une valeur approchée de la note au dixième par arrondi.
3. c) Laquelle des deux approximations avantage le plus l'élève ? Pourquoi pensez-vous que, dans les bulletins de notes, on utilise généralement l'arrondi plutôt que la troncature ?

On veut poser une clôture de protection autour d'un petit jardin rectangulaire. En mesurant avec un mètre ruban numérique, on obtient des côtés de $4,56$ mètres et $3,27$ mètres.

1. a) Calculer le périmètre du jardin.
2. b) Si le propriétaire du jardin achète la clôture dans une quincaillerie qui ne vend qu'au mètre entier et qui arrondit toujours par excès (valeur approchée par excès à l'unité) pour s'assurer qu'il ne manque pas de matériel, combien de mètres de clôture achètera-t-il ?

Réfléchir et répondre à cette énigme sur les nombres décimaux :

« Je suis un nombre avec trois chiffres après la virgule. Si on me tronque au centième, je suis $7,42$. En revanche, si on m'arrondit au centième, je suis $7,43$ ».

Écrire trois nombres différents qui vérifient ces conditions. Quel est le plus petit nombre possible ? Et le plus grand ?

Une balance de précision indique qu'un sachet de pommes pèse $2,345$ kg.

1. a) Exprimer le poids en grammes (rappel : $1$ kg = $1\,000$ g).
2. b) Si le commerçant nous dit que le poids est d'environ $2,3$ kg, quel type d'approximation a-t-il effectué ?
3. c) Calculer l'erreur commise dans l'approximation du commerçant (la différence entre le poids réel et le poids approché). Exprimer le résultat en kilogrammes et en grammes.

Le club d'athlétisme d'une commune de Bourgogne va peindre une ligne blanche continue autour de sa piste d'entraînement. La longueur totale à peindre mesure exactement $345\text{ m}$. D'après les spécifications du fabricant, avec $1\text{ litre}$ de peinture spéciale on peut peindre $25\text{ m}$ de ligne. Dans le magasin local, la peinture se vend exclusivement en pots fermés de $1\text{ litre}$ (on ne vend pas de fractions de pot).

1. a) Effectuer la division avec deux chiffres après la virgule pour savoir combien de litres exacts de peinture sont théoriquement nécessaires.
2. b) Si l'on applique la règle mathématique habituelle d'arrondi à l'unité sur ce résultat décimal, combien de pots achèterait-on ? Si l'on achète cette quantité, pourrait-on peindre toute la piste ou manquerait-il de la peinture ? Le vérifier en calculant les mètres que l'on pourrait peindre avec ces pots.
3. c) Justifier quel type d'approximation volontaire il faut appliquer dans ce problème d'achat de matériel et combien de pots il faut finalement acheter pour garantir que le travail soit entièrement réalisé.

Nous cherchons un nombre décimal mystérieux $N$ qui a trois chiffres après la virgule. Pour le découvrir, nous disposons de quatre indices :

1. Sa partie entière est le nombre $7$.

2. Si l'on tronque $N$ au dixième, on obtient $7,4$.

3. Si l'on arrondit $N$ au centième, on obtient $7,46$.

4. Son chiffre des millièmes est un nombre impair supérieur à $3$.

1. a) Trouver tous les nombres décimaux possibles qui vérifient simultanément ces quatre conditions.
2. b) Prendre le plus petit des nombres trouvés et le tronquer au centième. Cette troncature coïncide-t-elle avec l'arrondi au centième de l'indice 3 ? Expliquer pourquoi cette coïncidence se produit ou non.

Nous cherchons un nombre décimal « mystérieux », que nous appellerons $N$, qui a trois chiffres après la virgule. Nous connaissons les indices suivants :

1. Sa partie entière est le premier nombre premier à deux chiffres.

2. Si on l'arrondit au centième, on obtient $11,38$.

3. Si on le tronque au dixième, on obtient $11,3$.

4. La somme de ses trois chiffres après la virgule est $19$.

De quel nombre s'agit-il ? Justifier la réponse en écartant les possibilités qui ne vérifient pas les conditions.

Dans une station-service « low cost », le prix du litre de Sans plomb 95 est de $1,419$ €. Un groupe d'amis fait le plein de sa camionnette pour un voyage avec $52,6$ litres.

La caisse de la station-service est programmée pour calculer le total puis arrondir le résultat final au centime d'euro (deux chiffres après la virgule). Cependant, l'un des amis insiste : il faudrait d'abord tronquer le prix du litre au centime, puis multiplier par le nombre de litres.

Calculer la différence de prix entre les deux méthodes. Laquelle des deux avantage le client et laquelle avantage la station-service ?

Dans un laboratoire de biologie, on mesure la croissance d'une bactérie. La longueur actuelle est de $0,03478$ millimètres.

• Le scientifique A décide d'utiliser une valeur approchée par arrondi au millième.

• Le scientifique B préfère utiliser une valeur approchée par troncature au dix-millième.

Indiquer laquelle des deux valeurs est la plus grande et calculer la différence exacte entre les deux valeurs approchées. Laquelle des deux vous semble la plus « fidèle » à la valeur réelle de la bactérie ?

Trouver un nombre décimal qui vérifie simultanément ces trois conditions « aux bornes » :

• Il est supérieur à $7,45$ et inférieur à $7,46$.

• Lorsqu'on l'arrondit au millième, le résultat est $7,458$.

• La somme de ses quatre chiffres après la virgule est égale à $25$.

Ce nombre est-il unique ou existe-t-il plusieurs possibilités ? Justifier la réponse.

Un groupe de 6e conçoit une pièce pour une imprimante 3D. Le logiciel leur donne une mesure de $12,666...$ (périodique) millimètres pour l'épaisseur d'un emboîtement. L'imprimante dispose de trois modes de précision :

• Mode Éco : tronque au dixième.

• Mode Standard : arrondit au centième.

• Mode Pro : arrondit au millième.

Calculer la valeur que l'imprimante utiliserait dans chaque mode. Si l'espace où la pièce doit entrer mesure exactement $12,67$ mm, dans quels modes la pièce entrera-t-elle et dans lesquels n'entrera-t-elle pas ? (On considère que, pour entrer, la pièce doit être inférieure ou égale à l'espace.)

Observer la droite graduée suivante où l'on a représenté deux valeurs approchées du nombre $X$.

Sachant que la troncature au centième est $3,14$ et que l'arrondi au centième est $3,15$, indiquer si les affirmations suivantes sont vraies ou fausses, en justifiant chacune :

• a) Le chiffre des millièmes de $X$ doit être supérieur ou égal à $5$.

• b) Le nombre $X$ pourrait être $3,1449$.

• c) Si l'on ajoute $0,001$ au nombre $X$, sa troncature au centième sera toujours $3,14$.

Un chef de cuisine moderne doit peser trois ingrédients avec une balance de haute précision qui donne les milligrammes :

• Sel : $2,341$ g

• Poivre : $1,256$ g

• Safran : $0,897$ g

Le chef veut connaître le poids total du mélange d'épices. Comparer ces deux procédés :

1. Procédé 1 : additionner les trois poids exacts puis arrondir le résultat final au dixième.

2. Procédé 2 : arrondir chaque ingrédient au dixième puis les additionner.

Calculer les deux résultats. Sont-ils égaux ? Expliquer pourquoi l'arrondi de chaque terme peut conduire à une erreur plus grande que l'arrondi à la fin du calcul.

Inventer un problème de la vie quotidienne (achats, sport, sciences…) où les deux conditions suivantes sont réunies :

1. Il est nécessaire d'utiliser un nombre ayant au moins quatre chiffres après la virgule.

2. La différence entre la troncature de ce nombre au centième et son arrondi au centième est exactement de $0,01$.

Écrire l'énoncé complet et expliquer comment on le résoudrait en appliquant les règles d'approximation.

Une petite coopérative agricole de la région de Nîmes prépare l'envoi de quatre commandes de fruits à un supermarché. Le poids exact relevé par la balance de précision pour chaque commande est :

• Commande 1 : $142,38\text{ kg}$

• Commande 2 : $85,36\text{ kg}$

• Commande 3 : $64,39\text{ kg}$

• Commande 4 : $107,37\text{ kg}$

Pour établir le bon de transport, deux employées proposent d'arrondir les poids au dixième de kilogramme :

• Méthode de Laura : arrondir d'abord chaque commande individuellement au dixième, puis additionner les quatre valeurs arrondies.

• Méthode de Camille : additionner d'abord les quatre poids exacts et arrondir uniquement le résultat final au dixième.

1. a) Calculer pas à pas le résultat total obtenu avec la méthode de Laura et celui obtenu avec la méthode de Camille.
2. b) Calculer la somme exacte sans approximation et déterminer l'erreur commise par chaque méthode (la différence positive entre le résultat de la méthode et la valeur exacte).
3. c) Au vu des résultats, laquelle des deux méthodes est la plus fiable ? Justifier pourquoi arrondir à chaque étape intermédiaire accumule en général une erreur plus grande que n'arrondir qu'à la fin.

Dans une station de Météo-France, des capteurs numériques mesurent la température avec plusieurs chiffres après la virgule, mais l'écran public du panneau extérieur affiche la température arrondie au dixième. Un jour de forte chaleur, l'écran affiche exactement $38,4\text{ }^\circ\text{C}$.

1. a) Entre quelles deux valeurs possibles se situe la température réelle $T$ relevée par le capteur pour que cette valeur s'affiche ? Écrire la réponse sous la forme d'une inégalité du type $A \le T < B$, en utilisant deux chiffres après la virgule pour $A$ et pour $B$.
2. b) Quelle est la plus grande différence possible (l'erreur maximale) entre la température que l'on voit sur l'écran ($38,4\text{ }^\circ\text{C}$) et la température réelle du capteur ?
3. c) Si le panneau extérieur était programmé pour tronquer au dixième au lieu d'arrondir, quel serait le nouvel intervalle $C \le T < D$ de la température réelle ? Expliquer en raisonnant pourquoi l'arrondi minimise l'erreur maximale par rapport à la troncature et quel rôle fondamental joue le chiffre $5$ dans cet avantage.

Défi du thème. Combien coûte l'énergie que vous consommez chez vous ? Réaliser un mini-audit énergétique dans un tableur en suivant ces étapes :

1. Recueil de données : Accéder au site officiel de RTE (Réseau de transport d'électricité) ou à celui de la Commission de régulation de l'énergie et noter le prix de l'électricité pour le petit consommateur ($€/kWh$) d'hier à 3 moments différents : nuit, midi et soir.

2. Approximation et calcul : Les prix officiels ont jusqu'à cinq chiffres après la virgule (par exemple, $0,14823$ €). Arrondir chacun au centième (centimes). Ensuite, calculer le coût d'utilisation d'un four de $2$ kW pendant $1,25$ heures dans chaque tranche en multipliant puissance, durée et prix arrondi.

3. Partage et écriture fractionnaire : Additionner les trois coûts et diviser le montant total entre les $3$ personnes du logement. Identifier quel type de nombre décimal on obtient (décimal exact, périodique pur ou mixte) et déterminer son écriture fractionnaire irréductible pour exprimer la part exacte sans erreur d'arrondi.

4. Proposition : Rédiger une brève proposition argumentée pour votre famille avec un tableau comparatif, en conseillant l'horaire le plus économique pour cuisiner et en calculant l'économie hebdomadaire.

Seront évalués :

• L'obtention de données réelles et la précision de l'arrondi au centième.

• La justesse des opérations combinées avec des nombres décimaux.

• L'identification du type de décimal et le calcul exact de l'écriture fractionnaire.

• Une justification économique claire et cohérente dans la proposition finale.