Exercices: L'ensemble des nombres rationnels

Dans une pizzeria, on a découpé une pizza familiale en $8$ parts identiques. Si Mathis a mangé $3$ parts, exprimer à l'aide d'une fraction la partie de pizza qu'il a mangée et identifier clairement le numérateur et le dénominateur. Comment lit-on cette fraction ?

Observer la figure géométrique suivante et écrire dans ton cahier la fraction qui représente la zone coloriée en orange.

Classer les fractions suivantes en fractions inférieures à 1, supérieures à 1 ou égales à 1 :

1. a) $\dfrac{4}{7}$

1. b) $\dfrac{9}{9}$

1. c) $\dfrac{11}{3}$

1. d) $\dfrac{2}{5}$

On prépare une fête et on achète des packs de boissons. Chaque pack contient $6$ canettes. Si pour la fête on doit utiliser $\dfrac{12}{6}$ de packs, combien de packs entiers faut-il acheter ? Cette fraction est-elle un entier naturel ?

Représenter dans ton cahier, à l'aide de carrés ou de rectangles, les fractions suivantes :

1. a) $\dfrac{3}{4}$

1. b) $\dfrac{5}{2}$ (Indice : il faudra dessiner plus d'une figure entière.)

Vous pouvez le faire sur papier et envoyer une photo avec votre réponse.

Indiquer quelle fraction d'heure représentent les durées suivantes (rappel : une heure compte $60$ minutes) :

1. a) $15$ minutes.

1. b) $30$ minutes.

1. c) $10$ minutes.

1. d) $60$ minutes.

Recopier dans ton cahier la droite graduée de la figure (avec 0, 1 et 2, et chaque unité divisée en 4 parties égales) et y placer les nombres rationnels suivants :

$A = \dfrac{1}{2}$

$B = \dfrac{3}{4}$

$C = \dfrac{5}{4}$

Vous pouvez le faire sur papier et envoyer une photo avec votre réponse.

Écrire les entiers naturels suivants sous forme de fraction (on peut utiliser le dénominateur de son choix, pourvu que le résultat soit correct) :

1. a) $3$

1. b) $1$

1. c) $5$

1. d) $10$

Lucie doit déterminer quel type de nombre décimal donne la fraction $\frac{21}{60}$ sans effectuer la division. Dans son devoir, elle écrit : « Je décompose le dénominateur en facteurs premiers : $60 = 2^2 \cdot 3 \cdot 5$. Comme la décomposition contient le nombre premier 3, différent de 2 et de 5, la fraction donne obligatoirement un nombre décimal périodique ». a) Expliquer en détail l'erreur commise par Lucie dans son raisonnement. b) Corriger la démarche en simplifiant d'abord la fraction et conclure, en justifiant, quel type de nombre décimal on obtient en réalité.

Concevoir deux fractions distinctes qui vérifient à la fois les trois conditions suivantes : 1) Le dénominateur de chaque fraction doit être un nombre entier compris entre $10$ et $20$. 2) La valeur des deux fractions doit être strictement comprise entre $0,4$ et $0,6$. 3) L'une des fractions doit donner un nombre décimal exact et l'autre un nombre décimal périodique. Justifier la réponse en vérifiant la factorisation des dénominateurs une fois les fractions rendues irréductibles et calculer leur écriture décimale.

Paul étudie les nombres rationnels et affirme ceci dans son cahier :

1) « Le nombre $A = \frac{-18}{-3}$ n'appartient pas à l'ensemble des nombres rationnels ($\mathbb{Q}$) parce que la division donne $+6$, et $+6$ est un nombre entier, pas une fraction ».

2) « Le nombre $B = -\frac{5}{-2}$ est négatif parce qu'il a deux signes moins ».

Identifier l'erreur de raisonnement de Paul dans chacune de ses affirmations, expliquer avec tes mots pourquoi il se trompe (en rappelant le lien entre les nombres entiers relatifs et les nombres rationnels, ainsi que la règle des signes dans les fractions) et écrire la valeur simplifiée et le signe définitif de $A$ et de $B$.

Un nombre rationnel peut s'écrire sous la forme d'une fraction $\frac{a}{b}$, où $a$ et $b$ sont des nombres entiers relatifs avec $b \neq 0$. Trouver un nombre rationnel qui vérifie simultanément les quatre conditions suivantes :

1) C'est un nombre strictement négatif.

2) Sa valeur est comprise entre $-2$ et $-1$ sur la droite graduée.

3) Son dénominateur $b$ est un nombre premier inférieur à $6$.

4) La valeur absolue de son numérateur est égale à l'opposé de $-5$.

Écrire la fraction qui vérifie ces conditions, vérifier pas à pas qu'elle satisfait chacune d'elles et expliquer entre quelles graduations de la droite graduée elle se situerait si l'on partage chaque unité en autant de parts que l'indique son dénominateur.

En mathématiques, les nombres sont organisés en « familles » ou ensembles. Observer le diagramme de Venn suivant qui représente les ensembles des entiers naturels ($\mathbb{N}$), des entiers relatifs ($\mathbb{Z}$) et des nombres rationnels ($\mathbb{Q}$).

Placer chacun des nombres suivants à l'endroit qui lui correspond dans le diagramme :

$-5$, $\frac{12}{4}$, $\frac{3}{7}$, $0$, $-\frac{10}{2}$, $1,25$, $-\frac{1}{4}$, $8$

Trois amis terminent le « Pass de combat » de leur jeu vidéo préféré. Chacun a progressé d'une fraction différente du total :

• Marc : a terminé $\frac{12}{18}$ du total.

• Sarah : a terminé $\frac{20}{30}$ du total.

• Alex : a terminé $\frac{2}{3}$ du total.

Déterminer si les trois amis en sont au même niveau du jeu en cherchant la fraction irréductible de chacun.

Représenter sur la droite graduée suivante les points $A$, $B$, $C$ et $D$ qui correspondent à ces nombres rationnels. Chaque unité est divisée en 4 parties égales.

$A = \frac{3}{2}$

$B = -1,25$

$C = -\frac{1}{4}$

$D = \frac{11}{4}$

Dans une étude sur l'usage du téléphone, on a analysé quelle fraction du stockage total occupent différentes applications sur le téléphone de Lucie :

• Réseaux sociaux : $\frac{3}{10}$ du total.

• Jeux : $\frac{2}{5}$ du total.

• Photos et vidéos : $\frac{1}{4}$ du total.

1. a) Réduire les fractions au même dénominateur.
2. b) Classer les catégories de la plus grande à la plus petite occupation.
3. c) Reste-t-il de l'espace libre sur le téléphone ? Expliquer la réponse.

Un influenceur a $120\,000$ abonnés. Le lundi, $\frac{2}{5}$ de ses abonnés ont « liké » sa photo. Le mardi, ce sont les $\frac{3}{4}$ de ceux qui l'avaient « liké » le lundi.

1. a) Combien de personnes ont « liké » le lundi ?
2. b) Combien de personnes ont « liké » le mardi ?
3. c) Quelle fraction du total des abonnés représentent les personnes qui ont « liké » le mardi ?

Pour une fête d'anniversaire, on a acheté plusieurs pizzas de même taille. À la fin de la fête, il reste les parts suivantes :

• $\frac{3}{4}$ d'une pizza au jambon.

• $\frac{5}{4}$ de pizzas au chorizo.

• $\frac{1}{2}$ d'une pizza végétarienne.

1. a) Exprimer la fraction de pizza au chorizo sous forme de nombre mixte.
2. b) Si on rassemble tous les restes, a-t-on plus ou moins de 3 pizzas entières ? Justifier la réponse en effectuant l'addition.

Identifier lesquelles des fractions suivantes donneront un nombre décimal exact et lesquelles un nombre décimal périodique (pur ou mixte) sans effectuer la division, en observant uniquement la décomposition de leurs dénominateurs :

1. a) $\frac{7}{20}$
2. b) $\frac{5}{12}$
3. c) $\frac{11}{25}$
4. d) $\frac{2}{9}$

(Indice : se rappeler la règle des facteurs 2 et 5 au dénominateur.)

Lors d'une compétition de saut, les juges notent les distances de quatre athlètes. Certains résultats sont donnés sous forme de fraction et d'autres sous forme décimale :

• Athlète 1 : $6,4$ mètres.

• Athlète 2 : $\frac{13}{2}$ mètres.

• Athlète 3 : $6,35$ mètres.

• Athlète 4 : $\frac{32}{5}$ mètres.

1. a) Écrire toutes les mesures sous forme décimale.

1. b) Quels deux athlètes ont sauté exactement la même distance ?

1. c) Classer les athlètes de celui qui a sauté le moins à celui qui a sauté le plus (en cas d'égalité, l'indiquer).

Dans une station météorologique des Alpes (Météo-France), on a relevé les écarts de température suivants sur quatre jours consécutifs : $-\frac{9}{4}$ °C, $-\frac{8}{3}$ °C, $0,75$ °C et $\frac{7}{5}$ °C. a) Sans effectuer de divisions avec des décimaux, estimer en justifiant entre quels entiers consécutifs se situe chacun des deux écarts négatifs et en déduire lequel correspond à la température la plus basse (plus petite valeur). b) Écrire toutes les fractions sous forme décimale exacte ou périodique pour vérifier précisément ton estimation. c) Ranger les quatre relevés dans l'ordre croissant à l'aide du symbole $<$ et indiquer à quel ensemble de nombres le plus précis (entiers naturels $\mathbb{N}$, entiers relatifs $\mathbb{Z}$ ou rationnels $\mathbb{Q}$) appartiendrait le résultat si on additionnait les deux écarts positifs.

Pour ranger dans l'ordre croissant les nombres rationnels $-\frac{3}{4}$, $-0,8$, $-\frac{5}{6}$ et $-\frac{7}{10}$, deux élèves proposent des stratégies différentes : - Xavier dit : « Il vaut mieux calculer l'écriture décimale de chaque fraction en faisant la division et comparer tous les nombres sous forme décimale ». - Sarah dit : « Il est préférable d'écrire $-0,8$ sous forme de fraction irréductible, de réduire les quatre fractions au même dénominateur positif et de comparer leurs numérateurs ». a) Appliquer la méthode de Xavier et écrire l'ordre obtenu. b) Appliquer la méthode de Sarah pour vérifier le résultat. c) Quelle méthode juges-tu la plus adaptée et la plus précise dans ce cas particulier ? Justifier la réponse en analysant le type de nombre décimal que donne la fraction $-\frac{5}{6}$ et le risque d'arrondi.

Dans une station de jaugeage du bassin de la Loire, on enregistre la baisse du débit d'un canal d'irrigation pendant un épisode de sécheresse. Le rapport technique indique que la variation cumulée du niveau est de $-\frac{37}{8}$ mètres.

1. a) Avant de calculer la moindre décimale, estimer en justifiant entre quels deux nombres entiers consécutifs se situe ce nombre rationnel sur la droite graduée et justifier duquel de ces deux entiers il est le plus proche.
2. b) Effectuer la division pour obtenir son écriture décimale exacte et vérifier si votre estimation était correcte.
3. c) Dessiner mentalement ou décrire comment placer exactement ce point sur la droite graduée : expliquer en combien de parts égales vous partageriez le segment entre les deux entiers et combien de ces parts vous compteriez à partir de l'entier correspondant.

Météo-France a relevé pendant quatre jours consécutifs à Langres (Haute-Marne) les anomalies thermiques suivantes (écarts par rapport à la température moyenne habituelle) :

• Lundi : $-\frac{7}{2}$ °C

• Mardi : $+\frac{5}{4}$ °C

• Mercredi : $-\frac{11}{4}$ °C

• Jeudi : $-\frac{8}{5}$ °C

1. a) Modéliser l'évolution thermique en rangeant les quatre jours du plus petit au plus grand écart (du jour dont l'écart est le plus froid au jour dont l'écart est le plus chaud) à l'aide du symbole $<$.
2. b) Le vendredi, on a mesuré une anomalie thermique dont la valeur absolue était exactement la moitié de celle du lundi, mais de signe opposé à celle du mercredi. Exprimer l'anomalie du vendredi sous la forme d'une fraction irréductible et déterminer, en justifiant, lequel des quatre jours précédents était le plus proche de la valeur relevée le vendredi.

Lors d'une fouille archéologique sur le site d'Atapuerca, différentes trouvailles ont été classées à l'aide d'étiquettes numériques. Vous devez aider les chercheurs à ranger ces pièces dans leurs boîtes correspondantes (ensembles de nombres).

Voici la liste des étiquettes :

$A = \frac{-24}{6}$, $B = \frac{15}{3}$, $C = \frac{7}{4}$, $D = \frac{0}{5}$, $E = \frac{-11}{2}$ et $F = \sqrt{144}$

Indiquer en justifiant lesquels de ces nombres appartiennent à chacun des ensembles suivants, sachant qu'un nombre peut appartenir à plusieurs ensembles :

1. Entiers naturels ($\mathbb{N}$)

2. Entiers relatifs ($\mathbb{Z}$)

3. Nombres rationnels ($\mathbb{Q}$)

Dans la conception d'une nouvelle puce mémoire, un ingénieur doit placer trois capteurs sur une ligne logique. Le capteur A est à la position $\frac{2}{5}$ et le capteur B à la position $\frac{3}{5}$.

L'ingénieur doit placer un troisième capteur C exactement au milieu de A et B. Il doit aussi placer un capteur D situé au milieu de A et C.

Calculer les fractions qui représentent les positions de C et D et les représenter sur une droite graduée convenablement divisée.

Observer la figure géométrique suivante. Si le grand carré représente l'unité ($1$), déterminer quelle fraction représente la partie coloriée en orange. Pour cela, identifier d'abord quelle fraction du total représente chacune des pièces qui composent la figure.

Trois amis, Ioana, Marc et Rayan, téléchargent un jeu vidéo. Au bout d'une heure, Ioana a téléchargé $\frac{13}{20}$ du total, Marc $\frac{19}{30}$ et Rayan en a terminé les $\frac{5}{8}$.

1. Classer les amis du plus grand au plus petit téléchargement en utilisant la méthode du PPCM pour comparer les fractions.

2. Si le jeu vidéo occupe $120$ Go, combien de Go reste-t-il à télécharger à chacun ? Exprimer les résultats sous forme de fractions et de nombres entiers.

Trouver les valeurs des inconnues $x$, $y$ et $z$ pour que toutes les fractions de la chaîne suivante soient égales entre elles :

Une fois les valeurs trouvées, expliquer quel entier naturel a servi de facteur de multiplication ou de simplification à chaque étape par rapport à la fraction irréductible de l'ensemble.

Un tailleur a une pièce de tissu de $15$ mètres. Il coupe un premier morceau qui mesure $3$ mètres et $\frac{3}{4}$ de mètre. Puis il coupe un second morceau qui mesure la moitié du premier.

1. Exprimer la longueur de chaque coupe sous forme de fraction supérieure à 1 et de nombre mixte.

2. Quelle fraction du tissu initial reste-t-il sur le rouleau ?

On dit que l'ensemble des nombres rationnels est dense parce qu'on peut toujours trouver une fraction entre deux autres, aussi proches soient-elles.

Trouver trois fractions comprises entre $\frac{4}{7}$ et $\frac{5}{7}$ ayant pour dénominateur $28$. Ranger les cinq fractions obtenues dans l'ordre croissant.

Lors d'un concours de robotique, les prototypes doivent parcourir une piste de $10$ mètres. Le robot « Zeta » s'est arrêté alors qu'il lui restait $\frac{1}{5}$ de la piste à parcourir. Le robot « Sigma » s'est arrêté après avoir parcouru $\frac{7}{9}$ de la piste.

1. a) Représenter sur une même droite graduée les positions des deux robots, en prenant $0$ comme départ et $1$ comme arrivée (la piste entière). Diviser l'unité de la droite de façon à pouvoir placer exactement les deux points.

1. b) Quel robot s'est arrêté le plus près de l'arrivée ? Justifier la réponse en comparant les fractions à l'aide du produit en croix.

D'après les données du ministère de la Transition écologique sur les réserves en eau en France, deux retenues présentent la situation suivante au début du printemps : - La retenue A contient $175\text{ hm}^3$ pour une capacité totale de $250\text{ hm}^3$. - La retenue B contient $210\text{ hm}^3$ pour une capacité totale de $336\text{ hm}^3$. a) Modéliser la proportion d'eau stockée par rapport au total dans chaque cas à l'aide d'une fraction irréductible. b) Sans effectuer la division complète, démontrer, grâce à la factorisation des dénominateurs irréductibles, si le pourcentage de remplissage de chaque retenue s'écrit sous forme d'un nombre décimal exact ou périodique. c) Après un épisode pluvieux, la retenue A augmente son volume de $25\text{ hm}^3$ et la retenue B de $42\text{ hm}^3$. Exprimer les nouvelles fractions de remplissage, les comparer en justifiant et déterminer laquelle des deux retenues est maintenant proportionnellement la plus remplie.

Lors d'un débat en classe sur les propriétés de l'ensemble $\mathbb{Q}$, deux élèves avancent les affirmations suivantes : - Marc affirme : « Toute fraction irréductible dont le dénominateur se termine par un chiffre pair donne toujours un nombre décimal exact, parce que 2 est un diviseur de la base décimale ». - Hélène affirme : « Si on additionne deux nombres rationnels périodiques purs, le résultat ne peut jamais être un nombre entier ». a) Montrer que l'affirmation de Marc est fausse en proposant un contre-exemple précis et expliquer quelle condition il a oublié d'exiger sur les facteurs premiers du dénominateur. b) Montrer que l'affirmation d'Hélène est aussi fausse en trouvant deux fractions au développement décimal périodique pur dont la somme est exactement égale à l'entier $2$. c) Construire une fraction $\frac{p}{q}$ de dénominateur $q = 60$ dont la valeur est strictement comprise entre $1$ et $2$, et qui donne un nombre décimal exact. Expliquer quelle condition mathématique le numérateur $p$ a nécessairement dû vérifier par rapport à la décomposition en facteurs premiers de $60$.

Lors d'une séance de travaux pratiques, on analyse les pertes de charge de deux circuits électriques, exprimées par des nombres rationnels négatifs : $V_1 = -\frac{17}{24}\text{ V}$ et $V_2 = -\frac{11}{16}\text{ V}$. Pour déterminer lequel des deux circuits subit la plus grande perte (c'est-à-dire lequel des deux nombres rationnels est le plus petit), deux membres de l'équipe proposent des stratégies différentes :

• Méthode d'Alba : diviser le numérateur par le dénominateur dans chaque fraction pour obtenir leurs écritures décimales et comparer chiffre à chiffre.

• Méthode de Bruno : réduire les deux fractions au même dénominateur à l'aide du plus petit commun multiple et comparer directement leurs numérateurs entiers.

1. a) Appliquer les deux méthodes pas à pas pour déterminer lequel des deux voltages est le plus petit.
2. b) Réfléchir aux deux procédés : quelle difficulté supplémentaire la division d'Alba présente-t-elle à cause des périodes décimales ? Justifier pourquoi la méthode de Bruno est plus sûre, plus exacte et plus représentative des propriétés algébriques de l'ensemble des nombres rationnels $\mathbb{Q}$.

Une des propriétés fondamentales de l'ensemble des nombres rationnels $\mathbb{Q}$ par rapport à celui des entiers relatifs $\mathbb{Z}$ est la densité : entre deux nombres rationnels distincts, il est toujours possible de trouver un autre nombre rationnel, alors qu'entre deux entiers consécutifs il n'existe aucun autre entier.

1. a) Écrire les nombres entiers $-3$ et $-2$ sous la forme de deux fractions ayant le même dénominateur positif, de manière à pouvoir trouver immédiatement au moins trois nombres rationnels distincts situés strictement entre eux. Écrire ces trois nombres rationnels sous la forme de fractions irréductibles.
2. b) Résoudre le problème inverse suivant : trouver une fraction irréductible $x = \frac{p}{q}$ strictement comprise entre $-\frac{4}{5}$ et $-\frac{3}{5}$ sachant que :

1. Son dénominateur $q$ est un nombre premier compris entre $10$ et $15$.

2. La somme de son numérateur entier et de son dénominateur est exactement $3$ (c'est-à-dire $p + q = 3$).

3. La valeur absolue de son numérateur est strictement inférieure à $10$.

Démontrer en détail que le nombre rationnel trouvé vérifie chacune des conditions.