Exercices: Proportionnalité directe

Indiquer lesquels des couples de grandeurs suivants sont proportionnels. Justifier brièvement la réponse :

1. a) Le nombre de personnes qui entrent dans un musée et l'argent recueilli grâce aux billets.
2. b) L'âge d'une personne et sa taille.
3. c) La masse de pommes achetées et le prix total à payer.
4. d) La vitesse d'une voiture et le temps qu'elle met pour parcourir une distance fixe.

Dans un magasin de sport, tous les t-shirts d'un même modèle ont un prix proportionnel à la quantité achetée. Recopier et compléter le tableau suivant dans votre cahier, puis calculer le coefficient de proportionnalité $k$ (prix d'un t-shirt).

Si un robinet verse $15$ litres d'eau en $3$ minutes, combien de litres versera-t-il s'il reste ouvert pendant $10$ minutes ? Résoudre en utilisant la méthode du passage à l'unité (en calculant d'abord ce qu'il verse en une minute).

Pour préparer un gâteau pour $6$ personnes, il faut $300$ grammes de farine. Si nous voulons inviter $15$ personnes et que chacun mange la même part de gâteau, quelle quantité de farine faudra-t-il ?

Un jeu vidéo occupe $12$ Go d'espace et a mis $8$ minutes à se télécharger avec une connexion stable. Si le prochain jeu que vous voulez télécharger occupe $18$ Go et que la vitesse de téléchargement est la même, combien de minutes durera le téléchargement ?

Le périmètre d'un hexagone régulier est proportionnel à la longueur de son côté. Si un hexagone dont le côté mesure $4$ cm a un périmètre de $24$ cm, calculer le périmètre d'un autre hexagone régulier dont le côté mesure $7,5$ cm.

Sur le plan d'une chambre à l'échelle $1:50$, la longueur du lit mesure $4$ cm. Quelle est la longueur réelle du lit, exprimée en mètres ? (Rappel : l'échelle $1:50$ signifie que $1$ cm sur le dessin correspond à $50$ cm dans la réalité.)

Manon a payé $4,50$ € pour $3$ boîtes de feutres pour son projet de dessin. Si elle a besoin d'acheter $5$ boîtes de plus pour les autres membres de son groupe, combien lui coûteront ces $5$ boîtes supplémentaires ?

Paul achète des oranges au marché de son quartier. Il sait que $3\text{ kg}$ d'oranges coûtent $4,20\text{ €}$ et il veut savoir combien coûteront $5\text{ kg}$. Pour le savoir, Paul raisonne ainsi : « Comme $5$ est égal à $3 + 2$, au prix de $4,20\text{ €}$ je n'ai qu'à ajouter $2\text{ €}$, donc je paierai $6,20\text{ €}$. » Identifier l'erreur dans le raisonnement de Paul, expliquer pourquoi sa méthode ne respecte pas la définition de la proportionnalité et calculer le prix correct en déterminant d'abord le coefficient de proportionnalité $k$ (prix au kilogramme).

Dans une boulangerie artisanale de Tours, on vend des baguettes bio au même prix unitaire. Quatre baguettes identiques coûtent $5,40\text{ €}$ et vous voulez acheter $7$ baguettes.

1. a) Avant tout calcul écrit, faire une estimation : déterminer entre quels deux nombres entiers consécutifs d'euros se situe le prix final des $7$ baguettes et expliquer votre raisonnement intuitif.
2. b) Calculer le coût exact en utilisant la méthode du passage à l'unité (prix d'une seule baguette).
3. c) Comparer le résultat exact avec votre estimation initiale et apprécier si le résultat obtenu est cohérent avec la situation.

Une plateforme de streaming de jeux vidéo propose un abonnement premium. On sait que pour $4$ mois de service, on paie $35,20$ €.

1. a) Calculer le coefficient de proportionnalité $k$ (prix par mois).
2. b) Compléter le tableau de valeurs suivant :

1. c) Combien de mois pourriez-vous souscrire avec un budget maximal de $100$ € ?

Un drone de surveillance forestière vole à vitesse constante. Le centre de contrôle enregistre que le drone a parcouru $10,5$ kilomètres pendant les $15$ premières minutes de vol.

1. a) Quelle distance le drone parcourra-t-il s'il garde la même vitesse pendant une heure entière ?
2. b) Si le drone doit couvrir une distance totale de $63$ km, combien de minutes mettra-t-il pour accomplir sa mission ?

Indiquer, en justifiant, lesquels des couples de grandeurs suivants sont liés par une relation de proportionnalité :

1. a) Le nombre de billets pour un concert et le prix total à payer (sans frais de dossier fixes).
2. b) L'âge d'une personne et sa taille en centimètres.
3. c) La masse de pommes achetées en vrac et le coût de l'achat.
4. d) La vitesse d'une voiture et le temps qu'elle met pour parcourir une distance fixe.
5. e) Le nombre de pages d'un livre et le temps nécessaire pour le lire (en supposant une vitesse de lecture constante).

Pour préparer une peinture d'un orange précis, un artiste mélange $150$ mL de peinture rouge avec $225$ mL de peinture jaune.

1. a) Combien de millilitres de peinture rouge lui faudra-t-il s'il veut utiliser $600$ mL de peinture jaune pour obtenir la même teinte ?
2. b) Si l'artiste décide de créer un mélange total de $1$ litre ($1000$ mL), quelle quantité de chaque couleur doit-il ajouter en conservant la proportion initiale ?

Sur le plan d'un logement réalisé à l'échelle $1:250$, le salon a une longueur de $3,2$ cm et une largeur de $2,4$ cm.

1. a) Calculer les dimensions réelles du salon en mètres.
2. b) Calculer l'aire réelle du salon en mètres carrés.

Trois frères et sœurs décident de se partager les $144$ € offerts par leurs grands-parents, de façon proportionnelle à leurs âges, qui sont respectivement $10$, $12$ et $14$ ans. Quelle somme revient à chacun ?

Un chargeur rapide de smartphone peut charger $18\%$ de la batterie en seulement $12$ minutes. Si la vitesse de charge reste constante :

1. a) Quel pourcentage de batterie aura été chargé au bout d'une demi-heure ($30$ minutes) ?
2. b) Combien de temps au total (en minutes et secondes) le téléphone mettra-t-il pour passer de $0\%$ à $100\%$ de charge ?

Une entreprise de recyclage paie $0,65$ € par kilogramme de canettes en aluminium livré. Un groupe d'élèves a ramassé des canettes pendant le mois et les a pesées par lots :

1. a) Quelle somme recevront-ils pour un lot de $8,4$ kg ?
2. b) Si, à la fin de la campagne, ils ont obtenu un total de $27,30$ €, combien de kilogrammes d'aluminium ont-ils recyclés en tout ?

Un groupe de scouts des Vosges prépare une randonnée. D'après les relevés de leur chef, le groupe consomme $15\text{ litres}$ d'eau potable pour $6\text{ km}$ parcourus à allure constante. Ils veulent prévoir la consommation pour deux journées différentes : une étape de plaine de $18\text{ km}$ et une étape de montagne de $7\text{ km}$.

Deux méthodes sont envisagées : la méthode A (passage à l'unité, en calculant combien de litres ils consomment par kilomètre) et la méthode B (multiplier ou diviser directement par le coefficient entre les kilomètres connus et ceux à parcourir).

1. a) Pour l'étape de $18\text{ km}$, justifier laquelle des deux méthodes permet de calculer l'eau nécessaire le plus rapidement, de tête. Déterminer le résultat avec cette méthode.
2. b) Pour l'étape de $7\text{ km}$, justifier quelle méthode est la plus claire et la plus pratique. Calculer avec elle le nombre de litres d'eau nécessaires.
3. c) Quelle signification concrète a le coefficient de proportionnalité $k = \frac{15}{6}$ dans ce contexte, et dans quelles unités s'exprime-t-il ?

D'après les données de l'Agencia Estatal de Meteorología (AEMET), lors d'un orage d'intensité régulière dans la comarque de la Vega Baja (Alicante), un pluviomètre a recueilli $14\text{ litres}$ d'eau par mètre carré en $40\text{ minutes}$.

1. a) En supposant que la pluie tombe de façon uniforme, vérifier que le temps et la quantité d'eau accumulée sont proportionnels et écrire la formule qui relie les litres par mètre carré recueillis ($y$) au temps en minutes ($x$).
2. b) Combien de litres par mètre carré s'accumuleront après $2\text{ heures et demie}$ de pluie continue ?
3. c) La Protection civile déclenche une alerte orange dans cette zone si l'on dépasse $40\text{ litres}$ par mètre carré en une heure. Avec l'intensité enregistrée lors de cet épisode, le seuil d'alerte orange serait-il atteint au bout de $60\text{ minutes}$ ? Justifier la réponse par des calculs.

Trois amis décident de lancer une chaîne de streaming de jeux vidéo. À la fin du premier mois, ils ont obtenu des revenus de $1\,260\text{ €}$ grâce à la publicité. Ils conviennent de partager l'argent de façon proportionnelle au nombre d'heures que chacun a consacrées à enregistrer et à monter les contenus.

Mathis a consacré $12$ heures, Lucie a consacré le double de Mathis, et Hugo a consacré autant d'heures que la moitié de ce que Mathis et Lucie ont consacré ensemble. Calculer la somme qui revient à chacun et déterminer le coefficient de proportionnalité $k$ (argent par heure travaillée).

Une entreprise qui fabrique du filament pour imprimantes 3D sait que la longueur du fil extrait est proportionnelle à la durée de fonctionnement de la machine d'extrusion. Si en $15$ minutes on produit $45$ mètres de fil d'une épaisseur donnée :

• a) Combien de kilomètres de fil seront fabriqués si la machine fonctionne sans interruption pendant une journée de travail complète de $8$ heures ?

• b) Si le coût de production est de $0,12\text{ €}$ par décamètre ($10\text{ m}$) de fil, quelle sera la valeur totale de la production après ces $8$ heures ?

Sur une carte de randonnée du massif des Vosges, la distance entre deux refuges est de $12,5\text{ cm}$. On sait que l'échelle de la carte est $1:50\,000$. Deux randonneurs décident d'effectuer ce trajet. Si leur vitesse moyenne est de $4\text{ km/h}$, calculer le temps qu'ils mettront pour aller d'un refuge à l'autre, en exprimant le résultat en heures et minutes.

Une mairie souhaite encourager l'usage des énergies propres et répartit une subvention de $15\,000\text{ €}$ entre trois copropriétés qui ont installé des panneaux solaires. Le partage se fait de façon proportionnelle à la surface de panneaux installée.

La copropriété A a installé $120\text{ m}^2$. La copropriété B a installé $25\%$ de plus que la copropriété A. La copropriété C a installé $60\%$ de la somme des surfaces des copropriétés A et B réunies. Calculer la somme que reçoit chaque copropriété.

Le graphique suivant représente la relation entre la masse d'un métal précieux et sa valeur sur le marché. Observer qu'il s'agit d'une fonction linéaire :

• a) Déterminer le coefficient de proportionnalité $k$, qui représente le prix par gramme.

• b) Si un bijou contient $15\%$ d'impuretés (masse sans valeur) et pèse $24\text{ g}$ au total, quelle est la valeur du métal pur qu'il contient, d'après le graphique ?

Pour teindre un lot de t-shirts en coton, un atelier utilise un mélange de teinture concentrée et d'eau. La recette indique que pour $2,5\text{ litres}$ d'eau, il faut ajouter $150\text{ ml}$ de teinture.

Si l'atelier dispose d'une cuve d'une capacité de $60\text{ litres}$ et souhaite la remplir en conservant exactement les mêmes proportions, quelle quantité de teinture concentrée et quelle quantité d'eau doit-il mélanger ? (Attention : le volume final de la cuve est la somme des deux liquides.)

Un phare projette une ombre de $18\text{ mètres}$ sur le sol. Au même instant, un poteau vertical de $2,5\text{ mètres}$ de hauteur, situé près du phare, projette une ombre de $150\text{ cm}$.

• a) Calculer la hauteur du phare.

• b) Si le soleil baisse et que l'ombre du poteau augmente de $30\text{ cm}$, quelle sera la longueur de la nouvelle ombre du phare ?

Une chaîne de montage produit chaque heure un nombre constant de composants électroniques. On sait qu'en travaillant $5$ jours à raison de $8$ heures par jour, elle a fabriqué un total de $14\,000$ composants.

Si, à cause d'une commande urgente, il faut fabriquer $25\,200$ composants dans les $6$ jours qui viennent, combien d'heures par jour les machines devront-elles fonctionner pour respecter le délai, en supposant que la cadence de production horaire ne change pas ?

Dans le laboratoire de sciences, on étudie la relation entre la masse ($M$, en grammes) et le volume ($V$, en centimètres cubes) d'un liquide inconnu à l'aide d'éprouvettes graduées. On sait avec certitude que ces deux grandeurs sont proportionnelles. Après l'expérience, une partie du cahier de notes a été tachée d'encre, mais trois indices subsistent :

1. Lorsque le volume augmente de $15\text{ cm}^3$, la masse augmente exactement de $12\text{ g}$.

2. Le coefficient de proportionnalité $k = \frac{M}{V}$ est un nombre décimal exact inférieur à $1$.

3. La somme de la masse de $20\text{ cm}^3$ de ce liquide et du volume occupé par $32\text{ g}$ du même liquide est égale à $56$.

1. a) Déduire la valeur exacte du coefficient $k$ (masse volumique du liquide en $\text{g/cm}^3$) à partir des données conservées et démontrer que les indices 1 et 3 sont cohérents entre eux.
2. b) Écrire l'expression qui permet d'obtenir la masse en fonction du volume.
3. c) Si vous disposez d'un récipient qui supporte une charge maximale de $140\text{ g}$, quel est le volume maximal de liquide que vous pouvez y verser sans dépasser cette masse ?

Le service municipal de location de vélos électriques d'une ville française applique le tarif suivant : $1,20\text{ €}$ fixes pour déverrouiller le vélo, plus $0,15\text{ €}$ par minute de trajet.

Hélène affirme : « Si je paie $1,20 + 10 \cdot 0,15 = 2,70\text{ €}$ pour un trajet de $10\text{ minutes}$, quand je pédalerai deux fois plus longtemps ($20\text{ minutes}$), je devrai payer le double ($5,40\text{ €}$). Comme le coût double quand la durée double, les deux grandeurs sont proportionnelles. »

1. a) Calculer le coût réel d'un trajet de $20\text{ minutes}$ et déterminer si l'affirmation d'Hélène sur le prix est correcte.
2. b) Utiliser le quotient $\frac{\text{prix}}{\text{temps}}$ pour $10$ et pour $20\text{ minutes}$ et expliquer en détail pourquoi la durée d'utilisation et le prix final ne sont PAS des grandeurs proportionnelles, en indiquant quel élément du tarif empêche la proportionnalité et comment cela se verrait sur le graphique, par comparaison avec une droite de proportionnalité.
3. c) Modifier l'énoncé initial en supprimant ou en changeant un seul élément du tarif pour que le prix total devienne proportionnel à la durée d'utilisation. Indiquer quel serait le nouveau coefficient de proportionnalité $k$ et quelle serait sa signification dans la vie réelle.