Exercices: Situation d'équiprobabilité

Calculer la probabilité de chaque événement en indiquant les cas favorables et les cas possibles :

1. a) Obtenir face en lançant une pièce.
2. b) Obtenir un $3$ en lançant un dé.
3. c) Obtenir pile en lançant une pièce.

On lance un dé à $6$ faces. On va calculer pas à pas la probabilité d'« obtenir un nombre supérieur à $4$ » :

1. a) Combien l'expérience a-t-elle de résultats possibles ? Les écrire.
2. b) Quels sont les résultats favorables à l'événement « supérieur à $4$ » ?
3. c) Appliquer la situation d'équiprobabilité et écrire la probabilité sous forme de fraction.

Dans un sac, il y a $4$ boules rouges et $6$ boules bleues, toutes identiques. On tire une boule au hasard.

1. a) Combien y a-t-il de boules en tout ?
2. b) Quelle est la probabilité de tirer une boule rouge ?
3. c) Et de tirer une boule bleue ?
4. d) Vérifier que la somme des deux probabilités précédentes est égale à $1$.

Dans une boîte, il y a $10$ vignettes : $4$ de joueurs et $6$ d'écussons. On tire une vignette au hasard :

1. a) Quelle est la probabilité que ce soit celle d'un joueur ?
2. b) Quelle est la probabilité que ce soit celle d'un écusson ?
3. c) Quel type de vignette a-t-on le plus de chances de tirer ? Pourquoi ?

Dans une classe de 6e, on organise un tirage au sort avec une urne contenant $5$ bulletins verts, $7$ bulletins bleus et $8$ bulletins blancs, tous de même taille et de même texture.

Hugo veut calculer la probabilité de tirer au hasard un bulletin vert et écrit au tableau :

$$P(\text{vert}) = \frac{5}{15} = \frac{1}{3}$$

Quand la professeure l'interroge, Hugo justifie son calcul ainsi : « Il y a $5$ cas favorables, qui sont les bulletins verts, et $15$ cas possibles, qui sont les $7$ bleus et les $8$ blancs qui ne sont pas verts ».

1. a) Expliquer quelle erreur commet Hugo en identifiant les « cas possibles » et pourquoi son raisonnement ne respecte pas la situation d'équiprobabilité.
2. b) Corriger sa résolution : déterminer le nombre correct de cas possibles et calculer la vraie probabilité de tirer un bulletin vert. Exprimer le résultat sous forme de fraction irréductible et de nombre décimal.
3. c) Si l'on demande la probabilité de tirer au hasard un bulletin de couleur rouge dans cette même urne, quelle est sa valeur numérique ? Comment appelle-t-on ce type d'événement ?

Pour fêter la Journée du livre, on a placé dans un sac, au CDI du collège, $40$ marque-pages identiques numérotés de $1$ à $40$. Celui qui tire au hasard un marque-page dont le numéro est un multiple de $6$ gagne un livre pour la jeunesse.

1. a) Avant tout calcul exact, faire une estimation : pensez-vous que la probabilité de gagner le livre sera supérieure, inférieure ou égale à $0,2$ (c'est-à-dire $20\%$) ? Justifier votre intuition en réfléchissant à la fréquence d'apparition d'un multiple de $6$ parmi les nombres entiers.
2. b) Écrire la liste complète de tous les cas favorables (les multiples de $6$ compris entre $1$ et $40$) et calculer, grâce à la situation d'équiprobabilité, la probabilité exacte de gagner le livre. Exprimer le résultat sous forme de fraction irréductible et de nombre décimal arrondi au centième.
3. c) Comparer votre résultat exact avec l'estimation faite à la question a). Votre prévision était-elle juste ? Expliquer pourquoi la probabilité réelle ne coïncide pas exactement avec la division de $1$ par $6$ lorsqu'on s'arrête au numéro $40$.

On tire au hasard une boule dans le sac de la figure, qui contient $10$ boules de trois couleurs.

1. a) Calculer la probabilité de tirer une boule rouge, bleue et verte.
2. b) Quelle est la probabilité que la boule ne soit pas rouge ?
3. c) Quelle est la probabilité de tirer une boule jaune ? Comment appelle-t-on ce type d'événement ?

On tire au hasard un jeton dans l'urne de la figure, qui contient $10$ jetons numérotés de $1$ à $10$.

Calculer la probabilité de ces événements :

1. a) Tirer un nombre pair.
2. b) Tirer un multiple de $3$.
3. c) Tirer un nombre supérieur à $7$.
4. d) Tirer un nombre à un seul chiffre.

La roue de la figure a $8$ secteurs identiques numérotés de $1$ à $8$. On la fait tourner une fois.

Calculer la probabilité de ces événements :

1. a) Obtenir le numéro $5$.
2. b) Obtenir un nombre pair.
3. c) Obtenir un nombre supérieur à $5$.
4. d) Ne pas obtenir le $8$.

On tire au hasard une carte dans un jeu de $40$ cartes ($10$ de chaque couleur : deniers, coupes, épées et bâtons). Rappel : dans chaque couleur, il y a $7$ cartes numérotées de $1$ à $7$ et $3$ figures (valet, cavalier et roi).

Calculer la probabilité de ces événements, en donnant la fraction irréductible :

1. a) Tirer un denier.
2. b) Tirer un as.
3. c) Tirer une figure.
4. d) Tirer une carte qui n'est pas une coupe.

Pour un atelier de mathématiques récréatives, vous avez une boîte vide et des jetons indiscernables au toucher de trois couleurs : verts, rouges et noirs. Vous devez placer exactement $24$ jetons dans la boîte. Votre objectif est de concevoir le contenu de la boîte pour que ces deux conditions soient remplies simultanément :

1. La probabilité de tirer au hasard un jeton vert doit être exactement $\frac{1}{3}$.

2. La probabilité que le jeton tiré au hasard ne soit pas noir doit être $\frac{3}{4}$.

1. a) Déterminer combien de jetons verts, rouges et noirs vous devez mettre dans la boîte pour remplir les deux conditions. Expliquer pas à pas comment vous obtenez chaque quantité.
2. b) La boîte étant configurée, calculer la probabilité de tirer un jeton rouge. Exprimer le résultat sous forme de fraction irréductible.
3. c) Sans retirer aucun des $24$ jetons initiaux, combien de jetons noirs faudrait-il ajouter dans la boîte pour que la probabilité de tirer un jeton noir devienne exactement $\frac{1}{2}$ ? Justifier la réponse en posant la relation entre les nouveaux cas favorables et les nouveaux cas possibles.

D'après le relevé historique de Météo-France pour une localité du nord de la France durant le mois de novembre (qui compte $30$ jours en tout), les jours se sont répartis ainsi :

• Il y a eu $12$ jours de pluie.

• Il y a eu $10$ jours couverts de nuages, mais sans précipitations.

• Les autres jours du mois ont été complètement dégagés.

Une entreprise de tourisme actif doit choisir au hasard une date de ce mois pour effectuer une randonnée pilote.

1. a) Calculer la probabilité que le jour choisi au hasard ait été un jour dégagé. Exprimer le résultat sous forme de fraction irréductible et en pourcentage arrondi au dixième.
2. b) Quelle est la probabilité qu'il n'ait pas plu à la date choisie ? Montrer comment obtenir cette valeur de deux façons différentes : en additionnant les cas favorables directs et en passant par l'événement contraire.
3. c) Le coordinateur de l'entreprise affirme : « En choisissant un jour de novembre au hasard, nous avons plus de $65\%$ de chances qu'il ne pleuve pas ». Déterminer, en justifiant, si le coordinateur a raison ou s'il se trompe, à partir de vos calculs.

Dans un sac, il y a $12$ boules rouges ou bleues. On sait que la probabilité de tirer une boule rouge au hasard est $\frac{1}{3}$.

1. a) Combien y a-t-il de boules rouges dans le sac ? Et de bleues ?
2. b) Combien de boules bleues faudrait-il ajouter dans le sac pour que la probabilité de tirer une rouge devienne $\frac{1}{4}$ ?
3. c) Sans ajouter ni retirer de boules par rapport au cas initial, qu'est-il le plus probable : tirer une boule rouge ou ne pas en tirer ? Calculer les deux probabilités.

À la fête foraine, il y a une roue avec $4$ couleurs, mais ses secteurs ne sont pas égaux, comme on le voit sur la figure.

Un élève affirme : « Comme il y a $4$ couleurs, la probabilité de chacune est $\frac{1}{4}$ ».

1. a) Expliquer pourquoi son raisonnement est incorrect. Quelle condition doit être remplie pour pouvoir appliquer la situation d'équiprobabilité ?
2. b) Estimer, en regardant les secteurs, la probabilité de chaque couleur en l'exprimant sous forme de fraction.
3. c) Vérifier que les quatre probabilités données ont pour somme $1$.

On a deux sacs. Dans le sac A, il y a $3$ boules rouges et $5$ bleues ; dans le sac B, il y a $5$ rouges et $7$ bleues. On veut tirer une boule rouge.

1. a) Calculer la probabilité de tirer une boule rouge dans chaque sac.
2. b) Dans quel sac est-il le plus probable de tirer une rouge ? Suffit-il de regarder quel sac contient le plus de boules rouges ? Justifier la réponse.
3. c) Combien de boules rouges faudrait-il ajouter dans le sac A (sans en retirer aucune) pour que la probabilité de tirer une rouge soit $\frac{1}{2}$ ?

Un dé à $12$ faces (dodécaèdre) a ses faces numérotées de $1$ à $12$. On le lance une fois.

1. a) Calculer la probabilité d'obtenir un multiple de $4$.
2. b) Calculer la probabilité d'obtenir un nombre supérieur à $8$.
3. c) Exprimer les deux probabilités précédentes sous forme de fraction irréductible, de nombre décimal et de pourcentage.
4. d) Quelle est la probabilité de ne pas obtenir un multiple de $4$ ? Quelle est la somme des probabilités de « obtenir un multiple de $4$ » et de « ne pas en obtenir » ?

On lance en l'air deux pièces équilibrées de $1$ euro. On souhaite calculer la probabilité de l'événement $A$ : « obtenir au moins un côté face ». Trois élèves de 6e proposent des méthodes différentes pour le résoudre :

• Méthode d'Alba : « Les résultats possibles selon le nombre de faces qui peuvent sortir sont au nombre de trois : $0$ face, $1$ face ou $2$ faces. Comme on cherche au moins une face, il y a deux cas favorables ($1$ face ou $2$ faces). D'après la situation d'équiprobabilité, $P(A) = \frac{2}{3}$ ».

• Méthode de Bruno : « J'écris l'univers en détaillant chaque pièce : $\{CC, CX, XC, XX\}$. Il y a $4$ cas possibles et ils ont tous la même probabilité de se réaliser. Les cas favorables avec au moins une face sont au nombre de $\{CC, CX, XC\}$, ce sont $3$. D'après la situation d'équiprobabilité, $P(A) = \frac{3}{4}$ ».

• Méthode de Clara : « Je calcule la probabilité de l'événement contraire : le contraire de “obtenir au moins une face” est “n'obtenir aucune face” (c'est-à-dire obtenir deux piles, $XX$). Comme il n'y a que $1$ cas sur les $4$ possibles, $P(\text{aucune face}) = \frac{1}{4}$. Ensuite, je soustrais à 1 : $P(A) = 1 - \frac{1}{4} = \frac{3}{4}$ ».

1. a) Analyser la proposition d'Alba : expliquer précisément pourquoi son application de la situation d'équiprobabilité est erronée et quelle condition fondamentale sur les cas possibles elle a ignorée.
2. b) Comparer les méthodes de Bruno et de Clara. Si, au lieu de lancer $2$ pièces, on lançait $6$ pièces simultanément, laquelle des deux méthodes serait beaucoup plus efficace pour calculer la probabilité d'obtenir au moins une face ? Justifier la réponse en expliquant la difficulté que présenterait l'autre méthode.
3. c) Utiliser la méthode la plus adaptée parmi les deux précédentes pour calculer la probabilité d'obtenir au moins une face en lançant $3$ pièces équilibrées.

À partir d'un échantillon de l'INSEE sur le développement durable et le recyclage, on étudie $1200$ foyers d'une ville française afin d'analyser le tri des déchets. Les données obtenues sont les suivantes :

• $720$ foyers trient habituellement les emballages en plastique.

• $600$ foyers trient le papier et le carton.

• $240$ foyers ne trient aucun de ces deux types de déchets.

La mairie va choisir au hasard un foyer de cet échantillon pour lui remettre une distinction environnementale.

1. a) Organiser les informations dans un tableau à double entrée (avec les options « trie le plastique / ne trie pas le plastique » face à « trie le papier / ne trie pas le papier ») et en déduire combien de foyers trient simultanément les deux matériaux.
2. b) On choisit un foyer au hasard. Calculer la probabilité des événements suivants en exprimant chaque résultat sous forme de fraction irréductible et de pourcentage :

1. Le foyer trie à la fois le plastique et le papier.

2. Le foyer trie au moins l'un des deux types de déchets.

3. Le foyer trie uniquement le papier et le carton, mais pas le plastique.

1. c) Un technicien municipal affirme : « La probabilité de choisir au hasard un foyer qui recycle uniquement le plastique est exactement le double de celle de choisir un foyer qui ne recycle aucun des deux matériaux ». Vérifier numériquement si l'affirmation du technicien est vraie ou fausse et justifier la conclusion.