Exercices: Fréquence et probabilité expérimentale

On a lancé une pièce $50$ fois et face est sorti $28$ fois.

1. a) Quel est l'effectif de « face » ? Et celui de « pile » ?
2. b) Calculer la fréquence de « face » sous forme de fraction et de décimal.
3. c) Et la fréquence de « pile » ?

Une joueuse de basket a marqué $45$ de ses $60$ derniers lancers francs.

1. a) Quelle est sa fréquence de réussite aux lancers francs ?
2. b) S'il tire un lancer franc demain, quelle probabilité expérimentale lui attribueriez-vous de le réussir ? L'exprimer sous forme de fraction, de nombre décimal et de pourcentage.

Marc joue avec une pièce équilibrée de $1$ euro. Il la lance $10$ fois de suite et obtient $8$ piles et seulement $2$ faces. À la fin, Marc affirme avec conviction : « Comme la probabilité théorique d'obtenir face est $0,5$, lors des $10$ prochains lancers, il faut obligatoirement qu'au moins $8$ faces sortent pour compenser la série et que la fréquence se stabilise à la probabilité théorique ».

1. a) Identifier l'erreur dans l'affirmation de Marc et expliquer pourquoi son raisonnement est faux, en rappelant que « le hasard n'a pas de mémoire ».
2. b) Calculer la fréquence de l'événement « obtenir face » lors des $10$ premiers lancers de Marc, sous forme de fraction puis sous forme décimale. Ce résultat contredit-il le fait que la pièce soit équilibrée ?
3. c) Si Marc continuait à lancer la même pièce jusqu'à atteindre $1\,000$ lancers, expliquer comment la fréquence se stabilise réellement : la pièce a-t-elle besoin de « rendre » les faces manquantes, ou bien l'effet de ces $8$ piles initiaux se dilue-t-il simplement dans le grand nombre total de lancers ?

Dans un centre de recyclage d'emballages à Marseille, un capteur optique inspecte des bouteilles en plastique pour séparer les bouteilles défectueuses. Lors d'un test effectué le matin, le capteur a détecté exactement $18$ bouteilles défectueuses, ce qui correspond à une fréquence de défauts de $0,03$.

1. a) Poser la relation mathématique correspondante et calculer combien de bouteilles le capteur a inspectées au total lors de ce test du matin.
2. b) Combien de bouteilles non défectueuses sont passées devant le capteur lors de ce test ? Quelle a été leur fréquence exprimée en pourcentage ?
3. c) Si, l'après-midi, la machine contrôle un nouveau lot de $800$ bouteilles du même type et dans des conditions identiques, combien de bouteilles défectueuses peut-on s'attendre à trouver ? Justifier la réponse en utilisant la notion de probabilité expérimentale.

Un groupe d'élèves lance un dé $60$ fois et note les résultats : le $1$ sort $8$ fois ; le $2$, $11$ fois ; le $3$, $9$ fois ; le $4$, $10$ fois ; le $5$, $13$ fois, et le $6$, $9$ fois.

1. a) Construire le tableau des effectifs et des fréquences (ces dernières avec trois décimales).
2. b) Quelle fréquence « théorique » attendriez-vous pour chaque face si le dé est équilibré ? L'exprimer sous forme de fraction et de décimal approché.
3. c) Quel résultat s'est le plus éloigné de ce qui était attendu ? Pensez-vous que le dé est truqué ? Justifier la réponse en tenant compte du nombre de lancers.

Vous pouvez le faire sur papier et envoyer une photo avec votre réponse.

Dans la cour, on joue à lancer une punaise : elle peut tomber la pointe en l'air ou sur le côté. Après $200$ lancers, la punaise est tombée la pointe en l'air $112$ fois.

1. a) Calculer la fréquence de « pointe en l'air » et celle de « sur le côté ».
2. b) Quelle probabilité expérimentale attribueriez-vous à chaque résultat ?
3. c) Pourquoi, dans cette expérience, ne peut-on pas utiliser la situation d'équiprobabilité pour dire que chaque résultat vaut $\frac{1}{2}$ ?

Un club de jeux de société organise un tirage au sort avec une roue de $5$ secteurs identiques numérotés de $1$ à $5$. Avant le tirage, un spectateur la teste en la faisant tourner $500$ fois et obtient : le $1$ sort $97$ fois ; le $2$, $103$ fois ; le $3$, $98$ fois ; le $4$, $101$ fois, et le $5$, $101$ fois.

1. a) Calculer les fréquences de chaque numéro.
2. b) Quelle probabilité théorique a chaque numéro si la roue est équilibrée ?
3. c) La roue semble-t-elle équilibrée ? Justifier la réponse.

Au laboratoire de sciences, deux élèves étudient la probabilité expérimentale qu'une capsule métallique de bouteille tombe avec la partie creuse vers le haut ou avec la face plate vers le haut. Après avoir lancé la capsule $250$ fois sur une table lisse dans des conditions identiques, ils observent que la face plate est vers le haut $165$ fois.

1. a) Avant toute division avec des décimales, estimer mentalement entre quelles valeurs rondes de pourcentage se situe la fréquence de « face plate vers le haut » (par exemple, est-elle plus proche de $50\,\%$, de $65\,\%$ ou de $80\,\%$ ?). Expliquer quel raisonnement mental rapide vous avez utilisé pour vous repérer.
2. b) Vérifier votre estimation en calculant la fréquence exacte de « face plate vers le haut » et de « creux vers le haut », en les exprimant sous forme de nombre décimal et de pourcentage avec une décimale.
3. c) Si un camarade lance cette même capsule seulement $5$ fois dans un jeu rapide, est-il certain qu'elle tombera face plate vers le haut exactement dans la proportion calculée à la question précédente ? Justifier pourquoi la probabilité expérimentale n'offre des garanties fiables que lorsque le nombre de répétitions est grand.

Dans une classe de mathématiques, on veut déterminer la probabilité qu'une pyramide pleine en bois, de base carrée et à quatre faces triangulaires identiques, s'immobilise sur sa base carrée lorsqu'on la lance en l'air. Pour l'étudier, deux propositions apparaissent :

• Méthode de Clara : Appliquer directement la situation d'équiprobabilité en raisonnant que, comme le solide a $5$ faces au total et que l'une d'elles est la base, la probabilité théorique est $\dfrac{1}{5} = 0,2$ (soit $20\,\%$).

• Méthode de Mathis : Lancer la pyramide $400$ fois sur une surface rembourrée, noter combien de fois elle reste posée sur la base et calculer la fréquence de cet événement.

1. a) Comparer les deux méthodes et justifier laquelle convient pour cette expérience. Quelle condition indispensable exigée par la situation d'équiprobabilité n'est pas remplie pour cet objet géométrique ?
2. b) En appliquant la méthode correcte et en lançant la pyramide $400$ fois, la base reste posée $144$ fois. Attribuer la probabilité expérimentale aux événements « reposer sur la base » et « reposer sur une face triangulaire », en les exprimant sous forme de fractions irréductibles, de décimaux et de pourcentages.
3. c) Si un troisième élève proposait de lancer la pyramide seulement $10$ fois pour finir plus vite, expliquer pourquoi son estimation ne serait pas scientifiquement fiable par rapport à celle de $400$ lancers.

Le graphique montre l'évolution de la fréquence de l'événement « obtenir face » lorsqu'on lance une pièce de plus en plus de fois.

1. a) Vers quelle valeur se rapproche la fréquence lorsque le nombre de lancers est très grand ?
2. b) Pourquoi pensez-vous que les oscillations sont grandes au début et petites à la fin ?
3. c) Si l'on lançait la pièce $100\,000$ fois, quelle fréquence pourrait-on s'attendre à obtenir, approximativement ? Et combien de faces ?
4. d) Ce graphique contredit-il l'affirmation « en $10$ lancers, il doit sortir $5$ faces » ? Justifier la réponse.

Deux joueuses de basket se vantent de leur adresse :

• Lara a marqué $12$ de ses $20$ derniers lancers francs.

• Miriam a marqué $45$ de ses $100$ derniers lancers francs.

1. a) Calculer la fréquence de réussite de chacune.
2. b) Laquelle des deux a le meilleur pourcentage de réussite ?
3. c) L'entraîneur doit choisir l'une des deux pour tirer le lancer décisif et dit : « Je me fie davantage à la donnée de Miriam, parce qu'elle vient de beaucoup plus de lancers ». Que veut-il dire ? Êtes-vous d'accord avec son raisonnement ? Argumenter en utilisant ce que vous savez de la fréquence.

Une application de mathématiques simule le lancer d'un dé $11\,000$ fois et obtient ces résultats : le $1$ sort $1\,660$ fois ; le $2$, $1\,668$ fois ; le $3$, $1\,655$ fois ; le $4$, $1\,670$ fois ; le $5$, $1\,647$ fois, et le $6$ sort $2\,700$ fois.

1. a) Calculer la fréquence de chaque résultat, avec quatre décimales.
2. b) Si le dé virtuel était équilibré, quelle fréquence pourrait-on attendre pour chaque face, approximativement ?
3. c) Quelle face soupçonnez-vous d'être « truquée » ? Justifier la réponse en comparant les fréquences obtenues avec celles attendues.

Météo-France dispose du relevé historique des $50$ dernières années sur les précipitations dans la ville de Bordeaux durant le mois de mai (qui compte $31$ jours). Sur cette période historique de $1\,550$ jours de mai observés, des précipitations ont été enregistrées pendant $310$ d'entre eux.

1. a) Modéliser cette situation en calculant la probabilité expérimentale qu'il pleuve un jour quelconque de mai à Bordeaux, exprimée sous forme de fraction irréductible, de nombre décimal et de pourcentage.
2. b) Cette année, durant les $10$ premiers jours de mai, il a plu pendant $5$ d'entre eux. Calculer la fréquence de pluie sur cette première décade. Cette donnée permet-elle d'affirmer que le modèle historique de Météo-France est incorrect ? Argumenter en analysant la différence entre le comportement aléatoire à court terme et la stabilisation des fréquences à long terme.
3. c) Si, durant les $21$ jours restants de ce mois de mai, il ne pleuvait aucun jour, quelle serait la fréquence des jours de pluie sur l'ensemble du mois de mai de cette année ? Comparer cette valeur finale avec la probabilité historique et expliquer quel principe probabiliste illustre ce changement par rapport à la donnée des $10$ premiers jours.

Deux groupes d'élèves veulent vérifier si une vieille pièce est truquée en faveur de face ou si c'est une pièce équilibrée. Pour l'étudier, ils disposent de $100$ lancers déjà effectués, répartis en $5$ séries consécutives de $20$ lancers chacune, avec les décomptes suivants de « face » :

• Série 1 : $13$ faces sur $20$

• Série 2 : $8$ faces sur $20$

• Série 3 : $14$ faces sur $20$

• Série 4 : $9$ faces sur $20$

• Série 5 : $12$ faces sur $20$

Le groupe A analyse les séries séparément et conclut : « Dans $3$ séries sur $5$, la fréquence a dépassé $0,55$ ($65\,\%$, $70\,\%$ et $60\,\%$). Comme la majorité des séries favorisent face, il est démontré que la pièce est truquée ».

Le groupe B soutient que cette analyse est défectueuse et propose de regrouper tous les lancers et d'étendre l'expérience jusqu'à atteindre au moins $1\,000$ lancers avant de tirer des conclusions.

1. a) Relever l'erreur méthodologique du groupe A. Pourquoi classer isolément des séries courtes peut-il conduire à une conclusion fausse dans un phénomène aléatoire ?
2. b) Calculer la fréquence globale de l'événement « obtenir face » sur l'ensemble des $100$ lancers effectués (sous forme décimale et en pourcentage). Si la pièce était équilibrée, ce résultat sur $100$ lancers est-il une preuve concluante qu'elle est truquée, ou peut-il être attribué à la fluctuation naturelle du hasard ? Justifier la réponse.
3. c) Justifier pourquoi la proposition du groupe B d'étendre à $1\,000$ lancers est meilleure : décrire quelle tendance mathématique montrerait la fréquence cumulée si la pièce était bien équilibrée, par opposition à celle qu'elle montrerait si elle était réellement truquée avec une probabilité théorique de face égale à $0,60$.

Défi du thème. Peut-on prédire le climat avec les mathématiques ? Devenez analyste météorologique avec ce défi.

1. Univers et données : Rendez-vous sur le site de Météo-France et notez dans un tableur s'il a plu ou non dans votre localité durant les $30$ derniers jours. Définir l'univers $E$ du temps quotidien.

2. Équiprobabilité et réalité : Calculer la fréquence de l'événement « jour de pluie » ($f$). Se demander s'il a du sens d'appliquer la situation d'équiprobabilité en attribuant $P = 1/2 = 0,5$ à la pluie. Justifier si les deux issues sont équiprobables dans votre commune.

3. Simulation expérimentale : Lancer une pièce $50$ fois (face = pluie, pile = pas de pluie) pour simuler un modèle équiprobable. Noter les fréquences cumulées tous les $10$ lancers et observer leur tendance vers la probabilité théorique.

4. Production finale : Rédiger un bref compte rendu (une page) avec un graphique comparatif entre vos lancers et les relevés réels de Météo-France, en expliquant les différences entre probabilité expérimentale et théorique.

Seront évalués :

• L'identification correcte de l'univers et la justification rigoureuse sur l'usage de l'équiprobabilité.

• La maîtrise du tableur pour organiser les données et calculer des fréquences avec précision.

• La comparaison réfléchie entre l'expérience aléatoire et les données climatiques réelles.

• La clarté de l'exposé des conclusions du compte rendu final.