Exercices: Propriétés des puissances

Dans la ludothèque du collège, les jeux de société sont rangés sur des étagères. Si l'on a une expression sous forme de puissance comme $7^{3}$, indiquer quel nombre joue le rôle de base et lequel celui d'exposant. Expliquer brièvement quelle opération il faudrait effectuer pour calculer sa valeur (sans donner le résultat final).

Un réseau social bien connu affiche les photos du profil des utilisateurs dans une grille carrée. Si le mur de photos de Lucie comporte $5$ photos en largeur et $5$ photos en hauteur, combien de photos a-t-elle en tout ? Exprimer le résultat d'abord comme une multiplication de deux facteurs égaux, puis sous forme de puissance, et enfin calculer la valeur totale.

Calculer mentalement les puissances particulières suivantes. Rappeler les règles pour les exposants $0$ et $1$ :

1. a) $15^{1} =$
2. b) $8^{0} =$
3. c) $1^{25} =$
4. d) $10^{1} =$
5. e) $2024^{0} =$

Appliquer la propriété du produit de puissances de même base pour écrire les expressions suivantes sous la forme d'une seule puissance (il n'est pas nécessaire de calculer la valeur finale) :

1. a) $3^{2} \cdot 3^{4} =$
2. b) $5^{3} \cdot 5^{3} =$
3. c) $a^{2} \cdot a^{5} =$
4. d) $10^{2} \cdot 10 \cdot 10^{3} =$ (Indice : lorsqu'un nombre n'a pas d'exposant, c'est comme s'il avait un $1$.)

Utiliser la propriété du quotient de puissances de même base pour simplifier ces opérations en une seule puissance :

1. a) $7^{5} : 7^{2} =$
2. b) $10^{8} : 10^{6} =$
3. c) $\frac{4^{9}}{4^{7}} =$
4. d) $m^{10} : m^{9} =$

Écrire sous la forme d'une seule puissance en utilisant la propriété de la puissance d'une puissance :

1. a) $(2^{3})^{2} =$
2. b) $(5^{4})^{3} =$
3. c) $(10^{2})^{5} =$
4. d) $(x^{3})^{4} =$

Dans un jeu vidéo, chaque fois que tu passes un niveau, tes points sont multipliés par $10$. Si tu as passé $4$ niveaux et que le score s'écrit $10^{4}$, combien de points as-tu en tout ? Écrire le nombre avec tous ses chiffres et expliquer combien de zéros ont été ajoutés.

Calculer les racines carrées exactes suivantes en cherchant quel nombre multiplié par lui-même donne le radicande. Observer l'exemple de la figure : $\sqrt{25} = 5$ car $5^{2} = 25$.

1. a) $\sqrt{16} =$

1. b) $\sqrt{49} =$

1. c) $\sqrt{81} =$

1. d) $\sqrt{100} =$

Lors d'un contrôle de mathématiques, Lucie doit simplifier l'opération $3^4 \cdot 3^2$ et l'écrire sous la forme d'une seule puissance. Sur sa copie, elle a écrit : « $3^4 \cdot 3^2 = 9^6$, parce que je multiplie les bases ($3 \cdot 3 = 9$) et j'additionne les exposants ($4 + 2 = 6$) ».

1. a) Identifier l'erreur commise par Lucie et la partie de son raisonnement qui est correcte.
2. b) Expliquer avec vos mots, en développant le sens des puissances comme des facteurs qui se répètent, pourquoi la base doit être conservée quand on multiplie des puissances de même base.
3. c) Écrire la solution correcte sous la forme d'une seule puissance.

On vous demande de calculer mentalement la valeur de l'expression $2^4 \cdot 5^4$.

1. a) Avant d'effectuer des calculs sur papier, faire une estimation : le résultat final aura-t-il trois, quatre ou cinq chiffres ? Expliquer brièvement sur quoi vous vous basez pour votre prévision.
2. b) Appliquer la propriété de la puissance d'un produit dans le sens inverse (c'est-à-dire en utilisant que $a^n \cdot b^n = (a \cdot b)^n$) pour calculer immédiatement la valeur exacte de l'expression.
3. c) Vérifier si votre estimation était correcte et expliquer quel lien il y a entre l'exposant commun et le nombre de zéros du résultat final.

Utiliser les propriétés des puissances pour simplifier l'expression suivante et l'écrire sous la forme d'une seule puissance de base $2$ :

Penser à indiquer les étapes suivies : d'abord calculer dans la parenthèse, puis appliquer la puissance d'une puissance et, enfin, effectuer le quotient.

En informatique, les capacités de stockage s'expriment souvent avec des puissances de base $10$. Un disque dur externe a une capacité de $10^3$ gigaoctets (Go). Si chaque gigaoctet contient $10^3$ mégaoctets (Mo), et chaque mégaoctet $10^6$ octets :

1. a) Exprimer la capacité totale du disque dur en octets à l'aide d'une seule puissance de $10$.
2. b) Combien de photos de $10^6$ octets chacune pourrait-on stocker sur le disque dur ? Exprimer le résultat sous forme de puissance.

Une entreprise de messagerie range ses colis dans de grands conteneurs cubiques. Si un conteneur contient $6$ caisses en longueur, $6$ caisses en largeur et $6$ caisses en hauteur :

1. a) Exprimer sous forme de puissance le nombre total de caisses d'un conteneur et calculer le résultat.
2. b) Si l'entreprise stocke $6^2$ conteneurs identiques, combien de caisses possède-t-elle en tout ? Exprimer le résultat sous la forme d'une seule puissance.

Calculer les expressions suivantes de deux façons différentes pour vérifier que les propriétés des puissances sont bien respectées :

• Méthode A : en calculant d'abord l'intérieur des parenthèses, puis la puissance.

• Méthode B : en appliquant la propriété de la puissance d'un produit ou d'un quotient.

1. a) $(2 \cdot 5)^3$
2. b) $(12 : 3)^2$
3. c) $(2^2 \cdot 3)^2$

Un défi solidaire du collège se diffuse en chaîne. Au début, $3$ élèves le proposent. Chacun d'eux le propose à $3$ nouvelles personnes, et ainsi de suite à différents niveaux de diffusion.

1. a) Combien de personnes auront reçu le défi au cinquième niveau ? L'exprimer sous forme de puissance et calculer la valeur.
2. b) Si, au niveau $n$, $243$ personnes l'ont reçu, quelle est la valeur de $n$ ?
3. c) Exprimer le produit du troisième niveau par le quatrième niveau sous la forme d'une seule puissance.

La cour d'un collège est carrée et a une aire totale de $225 m^2$. L'équipe d'entretien veut l'entourer d'un ruban de signalisation pour une activité sportive, en laissant un espace libre de $2$ mètres pour une porte sur l'un des côtés.

1. a) Quelle est la longueur du côté de la cour ? (Utiliser la racine carrée.)
2. b) Combien de mètres de ruban doivent-ils acheter ?

Effectuer les calculs suivants en respectant correctement les priorités opératoires et en utilisant les propriétés des puissances lorsque c'est possible :

1. a) $3^3 - \sqrt{49} + 2^2 \cdot (5 - 3)^2$
2. b) $(\sqrt{100} - 2^3)^2 + 4^0 \cdot 5$
3. c) $2^5 : 2^3 + \sqrt{81} \cdot 3 - 1^{15}$

Déterminer la valeur de la lettre $x$ dans chacune des égalités suivantes en appliquant les propriétés des puissances :

1. a) $5^x \cdot 5^4 = 5^9$
2. b) $(3^2)^x = 3^6$
3. c) $10^7 : 10^x = 10^3$
4. d) $x^3 = 64$
5. e) $x^0 = 1$ (Indiquer quelles valeurs $x$ ne pourrait pas prendre dans ce cas.)

Dans un tournoi scolaire régional de basket 3x3 organisé à Bordeaux, $2^6$ équipes participent. Le championnat se joue par élimination directe : à chaque tour, les équipes jouent par paires, de sorte que seuls les vainqueurs passent à la phase suivante (à chaque tour, le nombre d'équipes est divisé par $2$).

1. a) Exprimer, à l'aide d'un quotient de puissances de même base, combien d'équipes resteront en compétition après $4$ tours d'élimination. Appliquer les propriétés des puissances pour simplifier l'expression en une seule puissance de base $2$ et calculer combien d'équipes restent.
2. b) Pour désigner l'équipe championne, il doit rester exactement $1$ équipe. Utiliser la propriété du quotient de puissances de même base et la définition de l'exposant zéro ($2^0 = 1$) pour en déduire combien de tours d'élimination seront disputés au total jusqu'à la fin du tournoi.

Pour simplifier l'expression $(18^3 : 6^3) \cdot 3^5$ et l'écrire sous la forme d'une seule puissance, deux élèves proposent des chemins différents :

• Méthode 1 (Mathis) : Il remarque que la parenthèse contient un quotient avec le même exposant ($3$), donc il effectue d'abord $(18 : 6)^3$ puis multiplie le résultat par $3^5$.

• Méthode 2 (Hélène) : Elle préfère d'abord décomposer les bases en facteurs premiers ($18 = 2 \cdot 3^2$ et $6 = 2 \cdot 3$), applique les propriétés des puissances à tous les facteurs et simplifie enfin.

1. a) Appliquer la Méthode 1 de Mathis étape par étape, en indiquant à chaque ligne quelle propriété des puissances est utilisée, et déterminer le résultat sous la forme d'une seule puissance.
2. b) Expliquer en justifiant pourquoi la méthode de Mathis est plus rapide et réduit le risque d'erreurs de calcul dans ce cas.
3. c) Donner un exemple d'opération pour laquelle la méthode de Mathis ne peut pas s'appliquer directement et où il faut utiliser la décomposition en facteurs d'Hélène (par exemple, si les bases n'étaient pas divisibles).

Appliquer les propriétés des puissances et effectuer les changements de base nécessaires pour exprimer le résultat sous la forme d'une seule puissance :

$\frac{2^5 \cdot (4^2)^3 \cdot 8}{2^8 \cdot 16}$

Rappel : pour utiliser les propriétés des puissances de même base, il faut d'abord décomposer les nombres $4$, $8$ et $16$ en puissances de base $2$.

En informatique, les unités de mesure croissent selon des puissances de base $2$. On sait que $1 \text{ kilooctet (Ko)} = 2^{10} \text{ octets}$. Si le serveur d'un établissement scolaire a une capacité de stockage de $64 \text{ KB}$ et que l'on veut l'agrandir en installant $4$ cartes mémoire supplémentaires, chacune d'une capacité de $16 \text{ KB}$ :

1. a) Exprimer la capacité totale finale du serveur sous la forme d'une seule puissance de base $2$.
2. b) Combien de fois la capacité finale est-elle plus grande que la capacité initiale ? (Exprimer le résultat sous forme de puissance.)

Calculer la valeur de l'expression suivante en respectant les priorités opératoires et en appliquant les propriétés des puissances chaque fois que c'est possible :

$10^2 : [5^2 \cdot (2^5 : 2^3)] + \sqrt{144} \cdot (3^2 - 2^3)$

Un astronome observe deux galaxies. La galaxie A est à une distance de $3^8 \text{ km}$ de la Terre et la galaxie B est à une distance de $27^3 \text{ km}$.

1. a) Laquelle des deux galaxies est la plus éloignée de nous ? Justifier la réponse en utilisant des puissances de même base.
2. b) Si la lumière parcourt environ $3 \cdot 10^5 \text{ km}$ en une seconde, combien de secondes la lumière de la galaxie A mettrait-elle pour arriver à la Terre ? (Laisser le résultat sous forme d'une opération sur des puissances.)

Déterminer la valeur de l'exposant inconnu $x$ dans les égalités suivantes en appliquant les propriétés des puissances :

1. a) $3^x \cdot 9^2 = 3^7$
2. b) $(5^3)^x : 125 = 5^9$
3. c) $2^4 \cdot 4^x \cdot 8 = 2^{11}$

Une vidéo TikTok devient virale. Au départ, $2$ personnes la partagent. Chaque heure, le nombre de personnes qui l'ont partagée double.

1. a) Combien de personnes auront partagé la vidéo au bout de $10$ heures ? Exprimer le résultat sous forme de puissance et sous forme d'entier naturel.
2. b) Si l'on veut représenter le nombre total de personnes en écriture scientifique au bout de $20$ heures, quelle serait la valeur approchée si $2^{10} \approx 10^3$ ?

Une cour carrée est pavée de dalles également carrées. Le nombre total de dalles est le résultat de l'expression :

$N = \sqrt{5^2 - 3^2} \cdot \sqrt{25 \cdot 4 \cdot 10^2}$

1. a) Calculer la valeur de $N$ (nombre total de dalles).
2. b) Combien y a-t-il de dalles sur chaque côté de la cour ?
3. c) Si chaque dalle mesure $40 \text{ cm}$ de côté, quelle est l'aire totale de la cour en mètres carrés ?

Utiliser la décomposition en produit de facteurs premiers pour calculer, sous forme simplifiée, la racine carrée exacte des nombres suivants :

1. a) $\sqrt{2^4 \cdot 3^6 \cdot 5^2}$
2. b) $\sqrt{1296}$ (Indice : décomposer d'abord le nombre en facteurs.)
3. c) $\sqrt{\frac{10^4 \cdot 2^2}{25}}$

Dans un centre de recherche marine, on étudie la reproduction cellulaire d'une algue microscopique. L'équipe modélise le processus et obtient l'égalité suivante avec deux exposants inconnus, $a$ et $b$ :

1. a) Décomposer les nombres $4$ et $8$ en puissances de base $2$ et appliquer les propriétés de la puissance d'une puissance, du produit et du quotient de puissances de même base pour réduire tout le membre de gauche à une seule puissance de base $2$.
2. b) Déduire la relation que doivent vérifier les exposants $a$ et $b$ pour que l'égalité soit conservée.
3. c) Trouver deux couples distincts d'entiers naturels $(a, b)$, tous deux strictement positifs, qui vérifient cette condition. Choisir l'un des deux couples et vérifier l'égalité étape par étape.

On souhaite savoir lequel de ces deux nombres est le plus grand sans calculer leurs gigantesques écritures décimales : $A = 2^{60}$ et $B = 3^{40}$.

En classe, deux avis différents apparaissent :

• David affirme : « $A$ est plus grand que $B$ parce que son exposant est $60$ et que celui de $B$ n'est que $40$. Plus l'exposant est grand, plus le résultat est grand, toujours. »

• Sarah lui répond : « Ce n'est pas toujours vrai quand les bases sont différentes. Mais on peut transformer les deux puissances avec la propriété de la puissance d'une puissance pour qu'elles aient le même exposant et les comparer sans risque. »

1. a) Montrer que l'affirmation de David est fausse en proposant un contre-exemple simple avec de petits nombres (écrire deux puissances telles que celle dont l'exposant est le plus petit ait une valeur supérieure à celle dont l'exposant est le plus grand).
2. b) Aider Sarah : calculer le PGCD des exposants $60$ et $40$ et exprimer $2^{60}$ et $3^{40}$ sous la forme $(a^m)^k$, de sorte que les deux soient élevés au même exposant commun $k$.
3. c) Calculer les puissances intérieures des bases obtenues à la question précédente et justifier rigoureusement lequel des deux nombres d'origine, $A$ ou $B$, est le plus grand.