Exercices: Représentation dans le repère orthonormé

Dans le repère suivant, on a marqué les positions de quatre objets dans une pièce. Écrire les coordonnées $(x\,;\,y)$ de chacun des points représentés : la télécommande ($A$), le livre ($B$), les clés ($C$) et le sac à dos ($D$).

Tracer un repère dans votre cahier et identifier dans quel quadrant (premier, deuxième, troisième ou quatrième) se trouvent les points suivants, sans avoir besoin de les représenter :

• $P(4 ; 7)$

• $Q(-3 ; 5)$

• $R(-2 ; -8)$

• $S(6 ; -1)$

Vous pouvez le faire sur papier et envoyer une photo avec votre réponse.

On conçoit un niveau de jeu vidéo sur un quadrillage. Trois des sommets d'une pièce rectangulaire sont les points $A(1 ; 2)$, $B(6 ; 2)$ et $C(6 ; 5)$.

1. a) Représenter les points dans un repère.

1. b) Quelles doivent être les coordonnées du quatrième sommet $D$ pour que la pièce soit un rectangle parfait ?

1. c) Relier les points dans l'ordre ($A$, $B$, $C$ et $D$) et vérifier votre réponse.

Vous pouvez le faire sur papier et envoyer une photo avec votre réponse.

Compléter les phrases suivantes sur le repère orthonormé :

1. a) L'axe horizontal s'appelle l'axe des ________ et se note avec la lettre $X$.
2. b) L'axe vertical s'appelle l'axe des ________ et se note avec la lettre $Y$.
3. c) Le point d'intersection des deux axes s'appelle ________ et ses coordonnées sont $(0 ; 0)$.

Un drone de livraison part du centre logistique, situé au point $(0\,;\,0)$. Il effectue deux livraisons : la première au point $A(0\,;\,4)$ et la seconde au point $B(5\,;\,0)$.

1. a) Indiquer sur quel axe se trouve chacun des points de livraison.

1. b) Si le drone vole en ligne droite du point $A$ au point $B$, représenter la trajectoire dans un repère (sur papier quadrillé, avec une unité par carreau). Placer aussi les points $A$ et $B$.

Représenter sur un quadrillage les points suivants et les relier dans l'ordre alphabétique. Pour finir, relier le dernier point au premier. Quelle figure géométrique obtient-on ?

• $A(-2 ; 2)$

• $B(2 ; 2)$

• $C(2 ; -2)$

• $D(-2 ; -2)$

On donne les points $M(3 ; 2)$ et $N(3 ; -4)$ :

1. a) Les représenter dans le repère.

1. b) Qu'ont-ils en commun dans leurs coordonnées ?

1. c) Si l'on trace la droite qui passe par les deux points, est-elle horizontale ou verticale ?

Tracer le point $A(-4 ; 3)$ dans votre cahier.

1. a) Écrire les coordonnées d'un point $B$ qui a la même abscisse que $A$, mais dont l'ordonnée est l'opposée.
2. b) Écrire les coordonnées d'un point $C$ qui a la même ordonnée que $A$, mais dont l'abscisse est l'opposée.
3. c) Représenter les trois points et observer la symétrie par rapport aux axes.

Vous pouvez le faire sur papier et envoyer une photo avec votre réponse.

Un groupe d'archéologues cartographie les ruines d'une ancienne ville romaine. Ils ont placé le centre d'un amphithéâtre à l'origine du repère $O(0\,;\,0)$. Représenter dans un repère (dans votre cahier, sur papier quadrillé) les points d'intérêt suivants et déterminer dans quel quadrant se trouve chacun :

• Temple de Jupiter : $A(-4\,;\,3)$

• Thermes publics : $B(5\,;\,-2)$

• Porte Nord : $C(0\,;\,6)$

• Forum : $D(-3\,;\,-5)$

• Marché : $E(6\,;\,4)$

Si l'on décidait de construire une clôture reliant les points $E$, $B$ et $A$, quel type de figure géométrique obtiendrait-on ?

Observer les points représentés sur le radar de navigation maritime suivant. Écrire les coordonnées des bateaux repérés par les lettres $P$, $Q$, $R$ et $S$. Indiquer en outre quels bateaux ont la même abscisse et lesquels sont situés sur l'un des axes du repère.

Tracer un repère et représenter les points $A(2 ; 1)$ et $B(2 ; 5)$.

• Trouver les coordonnées d'un point $C$ tel que le triangle $ABC$ soit rectangle et isocèle (qu'il ait deux côtés égaux et un angle de $90^\circ$).

• Existe-t-il plusieurs solutions possibles ? Écrire les coordonnées de toutes celles que vous trouvez.

Vous pouvez le faire sur papier et envoyer une photo avec votre réponse.

Dans un jeu vidéo de stratégie, la base d'opérations se trouve au point $M(-3\,;\,2)$. Le programmeur veut placer trois postes de guet en des positions symétriques :

• Le poste $P_1$ est le symétrique de $M$ par rapport à l'axe des abscisses.

• Le poste $P_2$ est le symétrique de $M$ par rapport à l'axe des ordonnées.

• Le poste $P_3$ est le symétrique de $M$ par rapport à l'origine du repère.

Représenter les quatre points dans le repère et écrire leurs coordonnées.

Un drone de livraison suit un itinéraire rectiligne. Il décolle de l'entrepôt au point $S(-5 ; -2)$ et doit passer par les points $T(-2 ; 1)$ et $U(1 ; 4)$ avant d'arriver à destination.

1. a) Représenter les points $S$, $T$ et $U$ dans un repère (sur papier quadrillé). Sont-ils alignés ?

1. b) Si le drone poursuit sa trajectoire dans la même direction, passera-t-il par le point $V(4 ; 7)$ ? Justifier votre réponse graphiquement : représenter aussi $V$ et la droite qui passe par les points.

Vous pouvez le faire sur papier et envoyer une photo avec votre réponse.

Tracer un repère et placer les points suivants, qui forment trois sommets d'un rectangle : $A(-4 ; -1)$, $B(3 ; -1)$ et $C(3 ; 4)$.

• Déterminer les coordonnées du quatrième sommet $D$ pour fermer le rectangle.

• Calculer le périmètre et l'aire de ce rectangle en comptant les unités du quadrillage.

• Dans quel quadrant se trouve la plus grande partie de la surface du rectangle ?

Vous pouvez le faire sur papier et envoyer une photo avec votre réponse.

Identifier lesquels des points suivants vérifient la condition « leur ordonnée est le double de leur abscisse » ($y = 2x$) :

• $A(1 ; 2)$

• $B(-2 ; -4)$

• $C(3 ; 1,5)$

• $D(-1 ; 2)$

• $E(0 ; 0)$

Les représenter dans un repère. Que remarque-t-on en reliant ces points ?

Dans une station météorologique, on a relevé l'évolution de la température au cours d'une matinée. Les données obtenues sont :

• À $0$ heures (minuit) : $-2\,^\circ C$

• À $2$ heures : $-1\,^\circ C$

• À $4$ heures : $2\,^\circ C$

• À $6$ heures : $4\,^\circ C$

Sur la figure, les axes sont gradués (sur l'axe $X$, chaque unité vaut $1$ heure ; sur l'axe $Y$, chaque unité vaut $1\,^\circ C$). La recopier dans votre cahier, de préférence sur papier quadrillé, et répondre :

1. a) Représenter ces données par des points $(x ; y)$ dans le repère, où l'axe $X$ représente le temps et l'axe $Y$ la température.

1. b) Relier les points par des segments pour tracer la courbe.

1. c) Quelle est la signification du point où la courbe coupe l'axe des abscisses ? Indiquer ses coordonnées de façon approchée.

1. d) Quelle est la signification du point où la courbe coupe l'axe des ordonnées ? Indiquer ses coordonnées.

La conception d'un nouveau logo pour une marque de vêtements de sport repose sur un losange $ABCD$ (dont les sommets sont dans cet ordre). On connaît trois de ses sommets : $A(-2 ; 1)$, $B(1 ; 4)$ et $C(4 ; 1)$, qui figurent sur la figure.

a) Déterminer les coordonnées du quatrième sommet, $D$, pour que la figure $ABCD$ soit un losange, et le représenter dans le repère.

b) Calculer les coordonnées du centre du losange (le point où se coupent ses diagonales).

c) Si l'on voulait doubler la taille du logo en gardant le sommet $A$ fixe (c'est-à-dire en multipliant par 2 les distances de $A$ à chaque sommet), quelles seraient les nouvelles coordonnées des points $B$ et $C$ ?

Une entreprise de location de trottinettes électriques utilise un tarif « par paliers » pour éviter les trajets trop courts. Le coût $y$ (en euros) dépend de la durée $x$ (en minutes) selon les règles suivantes :

• Si le trajet dure entre $0$ et $10$ minutes (inclus), le coût est de $2$ €.

• S'il dure plus de $10$ et jusqu'à $20$ minutes, le coût est de $4$ €.

• À partir de $20$ minutes, le coût est de $4$ € fixes plus $0,10$ € par minute supplémentaire au-delà de $20$.

a) Représenter graphiquement cette fonction dans le repère pour une durée de $0$ à $40$ minutes.

b) Indiquer si la fonction est continue ou discontinue. Si elle est discontinue, préciser les points de saut.

c) Combien paiera une personne qui utilise la trottinette pendant $25$ minutes ? Et une qui l'utilise pendant $10$ minutes et une seconde ?

Vous pouvez le faire sur papier et envoyer une photo avec votre réponse.

Un drone de surveillance effectue un aller-retour depuis sa base. Sa distance à la base (en mètres) en fonction du temps (en secondes) est donnée par le graphique suivant :

a) Déterminer l'ensemble de définition et l'ensemble image de cette fonction d'après le graphique.

b) Identifier les intervalles de temps pendant lesquels le drone s'éloigne de la base, s'en rapproche ou reste immobile.

c) Quelle est la vitesse du drone (en m/s) pendant les $10$ premières secondes ? Rappel : $v = \frac{\text{distance}}{\text{temps}}$.

Dans un jeu vidéo de stratégie, la zone d'influence d'une tour de défense est limitée par les points $(x\,;\,y)$ qui vérifient la condition suivante : la valeur absolue de leur abscisse plus la valeur absolue de leur ordonnée doit être inférieure ou égale à $4$, c'est-à-dire $|x| + |y| \leq 4$.

a) Représenter dans le repère tous les points qui forment la frontière de cette région (où $|x| + |y| = 4$). Quelle figure géométrique obtient-on ?

b) Vérifier si les points $P(2\,;\,2)$, $Q(-3\,;\,2)$ et $R(0\,;\,-4)$ sont à l'intérieur, à l'extérieur ou sur le bord de la zone d'influence.

c) Calculer l'aire de cette région en unités d'aire.

Vous pouvez le faire sur papier et envoyer une photo avec votre réponse.

Un biologiste mesure la profondeur d'un lac en différents points le long d'une ligne droite qui traverse d'une rive à l'autre. La rive de départ est en $x=0$ et la rive d'arrivée en $x=10$. La profondeur $y$ (en mètres, exprimée par des valeurs négatives pour indiquer la profondeur) suit la fonction $y = x^2 - 10x$.

a) Dresser un tableau de valeurs pour $x \in \{0, 2, 4, 5, 6, 8, 10\}$.

b) Représenter les points dans le repère et les relier par une courbe régulière.

c) En quel point la profondeur maximale du lac est-elle atteinte et quelle est cette valeur ?

d) Que représente le fait qu'en $x=0$ et $x=10$ la valeur de $y$ soit $0$ ?

Vous pouvez le faire sur papier et envoyer une photo avec votre réponse.

Dans un cours de design artistique, les élèves doivent créer des figures à l'aide de symétries. On dessine un triangle dont les sommets sont $A(1 ; 2)$, $B(4 ; 2)$ et $C(2 ; 5)$.

a) Représenter le triangle initial.

b) Dessiner le triangle symétrique par rapport à l'axe $Y$. Écrire les coordonnées des nouveaux sommets $A'$, $B'$ et $C'$.

c) Dessiner le triangle symétrique du triangle initial par rapport à l'origine du repère $O(0 ; 0)$. Écrire les coordonnées de ces nouveaux sommets $A''$, $B''$ et $C''$.

d) Comment les signes des coordonnées ont-ils changé dans chaque cas ?

Vous pouvez le faire sur papier et envoyer une photo avec votre réponse.

Deux bateaux, l'Alfa et le Beta, se déplacent sur l'océan. Leurs positions dans le repère (où chaque unité de l'axe vertical représente $1$ mille marin) sont données par les fonctions suivantes du temps $t$ (en heures) :

• Bateau Alfa : $y = 2t - 4$

• Bateau Beta : $y = -t + 5$

Utiliser les axes de la figure (les recopier dans votre cahier) pour résoudre les questions.

a) Représenter les deux trajectoires dans le même repère pour des valeurs de $t$ comprises entre $0$ et $6$.

b) En quel point de la carte les deux bateaux se croiseront-ils ? Déterminer graphiquement les coordonnées $(t, y)$ de ce point.

c) À quelle heure ($t$) cette rencontre aura-t-elle lieu ?

Analyser les deux courbes suivantes, $G_1$ et $G_2$, représentées dans un même repère, et répondre en justifiant. La courbe $G_1$ est la droite $y=0{,}5x+4$ et la courbe $G_2$ est un cercle de centre l'origine et de rayon $3$.

a) Lesquelles représentent une fonction ? Justifier votre réponse en utilisant le concept d'« unicité de l'image ».

b) Pour celles qui sont des fonctions, indiquer si elles sont croissantes ou décroissantes sur tout leur ensemble de définition.

c) Observer les points de $G_2$ avec $x=0$ : quelles valeurs de $y$ leur correspondent ? Que peut-on conclure sur le respect de l'unicité de l'image par $G_2$ ? Donner aussi une autre valeur de $x$ différente de $0$ pour laquelle il se passe la même chose.