Exercices: Quadrilatères

Nous concevons le logo d'une nouvelle équipe d'e-sport. Le logo principal a la forme du quadrilatère du dessin. Observer ses côtés et ses angles, puis répondre :

1. a) Quel est le nom précis de ce quadrilatère ?
2. b) À quelle famille appartient-il : parallélogrammes, trapèzes ou quadrilatères quelconques ? Justifier la réponse en s'appuyant sur le parallélisme de ses côtés.

En cours de dessin technique, un élève a tracé un quadrilatère et a mesuré trois de ses angles intérieurs : $110^\circ$, $70^\circ$ et $110^\circ$.

1. a) Sachant que la somme des angles de n'importe quel quadrilatère est toujours la même, quelle doit être la mesure du quatrième angle ?
2. b) Si les côtés opposés sont égaux deux à deux, de quelle figure s'agit-il ?

L'écran d'un nouveau modèle de smartphone a la forme d'un rectangle. Le fabricant indique que sa longueur mesure $7\text{ cm}$ et sa largeur $15\text{ cm}$.

1. a) Calculer le périmètre du smartphone (la longueur du cadre métallique qui entoure l'écran).
2. b) Si l'on veut poser un protège-écran qui couvre toute la surface, quelle sera l'aire de ce protège-écran en $\text{cm}^2$ ?

Observer les diagonales des quadrilatères suivants. L'une des propriétés les plus importantes est de savoir si elles sont perpendiculaires (elles forment $90^\circ$) et si elles se coupent en leur milieu.

Identifier lequel de ces dessins représente les diagonales d'un losange et lequel celles d'un rectangle. Justifier le choix.

Le plateau d'une table de classe a la forme d'un quadrilatère. Si vous observez bien, il a deux côtés parallèles de longueurs différentes et les deux autres côtés sont égaux entre eux.

1. a) Comment classe-t-on ce quadrilatère ?
2. b) Est-ce un parallélogramme ? Expliquer pourquoi.

Dessiner dans votre cahier un carré de $4\text{ cm}$ de côté, comme celui de la figure.

1. a) Tracer tous ses axes de symétrie. Combien en avez-vous trouvé en tout ?
2. b) Tous les axes se coupent-ils au même point ? Comment s'appelle ce point ?

Vous pouvez le faire sur papier et envoyer une photo avec votre réponse.

Indiquer si les affirmations suivantes sur les parallélogrammes sont vraies ou fausses, en justifiant brièvement la réponse :

1. Tout carré est aussi un rectangle car il a 4 angles droits.

2. Un losange est un carré car il a ses 4 côtés égaux.

3. Un parallélogramme quelconque n'a pas ses diagonales de même longueur.

Calculer l'aire de la zone colorée du quadrillage suivant, sachant que chaque petit carreau a $1\text{ cm}$ de côté. Pour vous aider, décomposer la figure en un rectangle et un triangle.

En cours d'arts plastiques, Alexandre construit un cadre en bois en forme de quadrilatère pour une affiche artistique. Il a mesuré au rapporteur trois des angles intérieurs du cadre : $75^\circ$, $110^\circ$ et $85^\circ$. Pour trouver la mesure du quatrième angle intérieur, Alexandre écrit dans son cahier :

$$\hat{D} = 180^\circ - (75^\circ + 110^\circ + 85^\circ) = 180^\circ - 270^\circ = -90^\circ$$

En obtenant un résultat négatif, il se rend compte que quelque chose ne va pas.

1. a) Identifier l'erreur de conceptualisation d'Alexandre : avec quelle autre figure géométrique a-t-il confondu la propriété de la somme des angles intérieurs, et quelle est la somme correcte dans un quadrilatère quelconque ?
2. b) Corriger sa démarche et calculer la mesure exacte du quatrième angle.

Choisir vous-même les mesures des quatre angles intérieurs d'un quadrilatère qui vérifie toutes les conditions suivantes à la fois :

1. La somme de ses quatre angles intérieurs doit être celle de n'importe quel quadrilatère convexe.

2. Aucun de ses quatre angles ne peut être droit (aucun ne peut mesurer exactement $90^\circ$).

3. Ce ne peut pas être un parallélogramme (c'est-à-dire que ses angles opposés ne peuvent pas être égaux deux à deux).

Écrire les quatre valeurs en degrés que vous avez choisies, vérifier numériquement que leur somme est correcte et justifier pourquoi, avec ces angles, la figure ne peut pas être un parallélogramme.

Dans un atelier de graphisme, Marcos crée un logo en forme de parallélogramme (non particulier). Si l'un des angles intérieurs du parallélogramme mesure $65^\circ$, calculer, en justifiant, la mesure des trois autres angles du logo.

La section transversale d'une nouvelle rampe de skate a la forme d'un trapèze isocèle. On sait que la petite base mesure $3\text{ m}$, la grande base mesure $7\text{ m}$ et que les angles formés par la grande base avec les côtés non parallèles sont de $72^\circ$. Indiquer la mesure des deux angles de la partie supérieure et justifier la réponse à l'aide des propriétés des trapèzes.

Classer les quadrilatères suivants en se basant uniquement sur la description de leurs diagonales :

• Figure A : ses diagonales ont des longueurs différentes, sont perpendiculaires et se coupent en leur milieu.

• Figure B : ses diagonales ont la même longueur, ne sont pas perpendiculaires et se coupent en leur milieu.

• Figure C : ses diagonales ont la même longueur, sont perpendiculaires et se coupent en leur milieu.

Une entreprise de téléphonie veut concevoir l'écran d'un nouveau modèle de smartphone en forme de rectangle. Le concepteur a établi que la longueur doit mesurer le double de la largeur. Si le périmètre total de l'écran doit être de $36\text{ cm}$, quelles seront les dimensions (longueur et largeur) de l'écran ?

Un architecte dessine une fenêtre en forme de losange. Pour que la structure soit stable, il a placé deux baguettes de bois qui coïncident avec les diagonales du losange. La grande diagonale mesure $160\text{ cm}$ et la petite diagonale mesure $120\text{ cm}$. En se croisant, les diagonales divisent le losange en quatre triangles identiques.

1. Quel type de triangles obtient-on ? (selon leurs angles).

2. Si le côté du losange mesure $100\text{ cm}$, calculer le périmètre total de la fenêtre.

Dessiner dans votre cahier un quadrilatère quelconque n'ayant aucun côté parallèle à un autre. Placer le milieu de chacun de ses quatre côtés et les relier dans l'ordre du contour.

1. Quelle figure géométrique particulière obtient-on toujours à l'intérieur ?

2. Si les côtés du quadrilatère initial mesurent $8\text{ cm}$, $10\text{ cm}$, $12\text{ cm}$ et $14\text{ cm}$, quel est le périmètre du quadrilatère initial ?

Vous pouvez le faire sur papier et envoyer une photo avec votre réponse.

Lors d'un contrôle de géométrie, on demande à Lucie de calculer l'angle manquant d'un cerf-volant en papier qui a la forme d'un quadrilatère à axe de symétrie (cerf-volant). Les angles différents mesurent $110^\circ$ (celui du haut) et $40^\circ$ (celui du bas). Si les deux autres angles sont égaux, quelle est la mesure de chacun d'eux ? Pensez à utiliser la propriété de la somme des angles intérieurs d'un quadrilatère.

Observer les affirmations suivantes sur les quadrilatères et dire si elles sont vraies ou fausses, en justifiant la réponse :

1. « Un carré est à la fois un rectangle et un losange ».

2. « Un trapèze rectangle a exactement quatre angles droits ».

3. « Dans un parallélogramme, les diagonales sont de même longueur et perpendiculaires ».

4. « Tout parallélogramme a deux paires de côtés parallèles ».

Le toit d'un hangar industriel situé dans une zone d'activités de Bordeaux a la forme d'un trapèze isocèle vu de face. Les deux côtés inclinés ont exactement la même longueur et la poutre inférieure (grande base) est horizontale et plus large que la poutre supérieure (petite base). On sait que les deux angles formés par les côtés inclinés avec la base inférieure mesurent $35^\circ$ chacun.

1. a) Avant tout calcul exact, estimer en justifiant si les deux autres angles (ceux formés avec la base supérieure) sont aigus ou obtus, et expliquer si chacun d'eux devrait mesurer plus ou moins que $120^\circ$.
2. b) Calculer la valeur exacte des deux angles supérieurs en s'appuyant sur la propriété de la somme des angles d'un quadrilatère et sur la symétrie du trapèze isocèle.
3. c) Comparer le calcul exact avec l'estimation faite à la question a) et dire si le raisonnement visuel préalable était juste.

Une entreprise de carreaux de faïence de Salernes (Var) conçoit des carreaux en forme de parallélogramme quelconque (un parallélogramme à côtés consécutifs inégaux et sans angle droit). Le catalogue technique précise que le plus petit de ses angles intérieurs mesure $50^\circ$. Pour déterminer la mesure des trois autres angles, deux concepteurs suivent des chemins différents :

• Méthode de Laura : elle sait que les quatre angles intérieurs ont pour somme $360^\circ$ et que les angles opposés sont égaux ; elle pose donc l'équation $2 \cdot 50^\circ + 2 \cdot \hat{B} = 360^\circ$ et en déduit $\hat{B}$.

• Méthode de Mathis : il utilise le fait que les côtés opposés sont parallèles, donc que deux angles consécutifs sont supplémentaires ; il calcule directement $\hat{B} = 180^\circ - 50^\circ$.

1. a) Appliquer les deux méthodes séparément pour calculer la valeur de l'angle $\hat{B}$ et vérifier si elles donnent le même résultat.
2. b) Comparer les deux méthodes : laquelle demande le moins d'étapes de calcul et s'appuie le plus directement sur la définition du parallélogramme ? Justifier la réponse en expliquant pourquoi deux angles consécutifs ont pour somme $180^\circ$.

Dans un parc d'attractions, on a conçu une nouvelle zone de jeux en forme de cerf-volant (quadrilatère possédant un axe de symétrie). On sait que l'angle supérieur mesure $\hat{A} = 110^\circ$ et que l'angle inférieur mesure $\hat{C} = 40^\circ$. Les deux autres angles latéraux sont égaux entre eux. Calculer la mesure de ces deux angles latéraux et expliquer en justifiant pourquoi ils doivent être égaux dans ce type de figure.

Une entreprise de design graphique crée un logo. Elle a dessiné un quadrilatère quelconque et a marqué les milieux de chacun de ses côtés. En reliant ces milieux dans l'ordre, on obtient un nouveau quadrilatère à l'intérieur.

1. Quel type de quadrilatère obtient-on toujours à l'intérieur, quelle que soit la forme du quadrilatère initial ?

2. Si l'aire du quadrilatère extérieur est de $120 \text{ cm}^2$, quelle sera l'aire de la figure obtenue en reliant les milieux ?

L'écran d'un nouveau modèle de smartphone est rectangulaire. Le fabricant indique que le périmètre total de l'écran est de $48 \text{ cm}$ et que la longueur mesure exactement le double de la largeur.

1. Calculer les dimensions (longueur et largeur) de l'écran.

2. Si l'on veut poser un protecteur qui coûte $0,50 \text{ €}$ par $\text{cm}^2$ de surface, combien coûtera la protection de l'écran entier ?

Pour la construction d'une rampe de skatepark, on utilise une structure en forme de trapèze rectangle. L'angle obtus de la structure mesure $125^\circ$. Calculer la mesure de tous les angles intérieurs de ce trapèze et justifier la réponse en s'appuyant sur les propriétés des droites parallèles coupées par une sécante.

Un artiste conçoit une mosaïque avec des pièces en forme de losange. Il sait que les deux diagonales du losange ont une somme de $28 \text{ cm}$ et que la grande diagonale mesure $4 \text{ cm}$ de plus que la petite.

1. Calculer la mesure des deux diagonales.

2. Calculer l'aire d'une seule pièce de la mosaïque.

3. Si la mosaïque complète utilise $50$ pièces identiques, combien de décimètres carrés ($\text{dm}^2$) de surface couvrira-t-elle au total ?

Trouver de quel quadrilatère on parle dans chaque cas, à partir de ses diagonales :

1. « Mes diagonales sont égales et se coupent perpendiculairement en leur milieu. »

2. « Mes diagonales sont égales, se coupent en leur milieu, mais ne sont pas perpendiculaires. »

3. « Mes diagonales ne sont pas égales, mais elles sont perpendiculaires et se coupent en leur milieu. »

4. « J'ai deux côtés parallèles et deux diagonales égales, mais elles ne se coupent pas en leur milieu. »

Justifier la réponse en faisant un petit schéma des diagonales pour chaque cas.

Un jardin carré de $20 \text{ mètres}$ de côté a en son centre un bassin également carré. On sait que la distance entre n'importe quel côté du jardin et le côté parallèle du bassin est de $6 \text{ mètres}$.

1. Quelle est la longueur du côté du bassin central ?

2. Calculer l'aire de la zone de promenade (la région du jardin qui n'est pas occupée par le bassin).

Dans un parallélogramme, la somme de deux de ses angles opposés est $130^\circ$.

1. Quelle est la mesure de chacun de ces deux angles ?

2. Quelle est la mesure des deux autres angles du parallélogramme ?

3. Si le plus grand côté du parallélogramme mesure $12 \text{ cm}$ et que le périmètre est de $38 \text{ cm}$, quelle est la longueur du plus petit côté ?

Une association d'irrigants de la Crau (Bouches-du-Rhône) gère un bassin d'irrigation dont la surface a la forme d'un quadrilatère, de sommets consécutifs $A$, $B$, $C$ et $D$. Un relevé topographique fournit les données suivantes sur ses berges :

• La berge $AB$ est parallèle à la berge $CD$.

• Les berges $BC$ et $DA$ ne sont pas parallèles entre elles.

• Au coin $A$, le canal d'arrivée forme un angle droit avec la berge $AB$, de sorte que $\hat{A} = 90^\circ$.

• Au coin $C$, le capteur de niveau indique un angle intérieur de $\hat{C} = 130^\circ$.

1. a) Classer la forme géométrique du bassin avec la plus grande précision possible (famille générale, type et sous-type de quadrilatère), en justifiant chaque terme à partir des données.
2. b) Calculer, en justifiant, la mesure des angles intérieurs aux sommets $B$ et $D$. Expliquer sur quelles propriétés géométriques vous vous appuyez (parallélisme des côtés et somme des angles intérieurs).
3. c) Un ouvrier affirme : « Comme la berge $AB$ est parallèle à $CD$ et que l'angle en $A$ est de $90^\circ$, l'angle en $D$ doit obligatoirement être lui aussi de $90^\circ$ ». Démontrer si son affirmation est vraie ou fausse en utilisant les propriétés des droites parallèles coupées par une sécante.

Lors d'un débat en classe sur la façon de classer les quadrilatères à partir de leurs diagonales, Sergio affirme avec assurance :

1. « Tout quadrilatère dont les deux diagonales sont perpendiculaires est obligatoirement un losange ».

2. « Si, en plus d'être perpendiculaires, les deux diagonales ont exactement la même longueur, la figure est à coup sûr un carré ».

Votre tâche est d'analyser ces deux affirmations avec rigueur géométrique :

1. a) Démontrer que la première affirmation est fausse en nommant et en décrivant un quadrilatère connu dont les diagonales sont perpendiculaires mais qui n'est pas un losange. Expliquer quelle condition supplémentaire les diagonales doivent vérifier par rapport à leur point d'intersection pour garantir que le quadrilatère est un losange.
2. b) Démontrer que la seconde affirmation est également fausse en décrivant comment construire un quadrilatère dont les diagonales sont perpendiculaires et de même longueur mais qui n'est pas un carré (pensez à ce qui se passe si les diagonales ne se coupent pas en leur milieu, comme dans un cerf-volant).
3. c) Rédiger, de façon claire et complète, la liste des conditions que les diagonales d'un quadrilatère doivent vérifier simultanément pour garantir que la figure est un carré.