Exercices: Tableaux

Dans un collège de Paris, on veut réaliser une étude pour savoir quel est le sport préféré des élèves de 6e. Classer les variables statistiques suivantes en qualitatives ou quantitatives :

• Le sport préféré (football, basket-ball, tennis…).

• Le nombre d'heures de sport par semaine.

• La marque des chaussures de sport utilisées.

• La taille en centimètres de chaque élève.

• Le nombre de médailles ou de trophées qu'ils ont à la maison.

La direction d'un établissement scolaire veut savoir si les élèves aiment le nouveau menu de la cantine. Pour ne pas interroger les 800 élèves, elle a choisi au hasard 25 élèves de chaque niveau pour leur faire passer une enquête. Identifier les éléments suivants de l'étude :

• Population : _____

• Échantillon : _____

• Individu : _____

Pendant la récréation, nous avons demandé à un groupe d'amis quel est leur fruit préféré pour le goûter. Les résultats sont :

Pomme, Banane, Poire, Pomme, Pomme, Poire, Banane, Pomme, Poire, Banane.

Créer dans ton cahier un tableau d'effectifs comprenant une colonne pour le Comptage (avec des barres) et une autre pour l'Effectif ($f_i$).

Dans un magasin de jeux vidéo, on a noté les ventes d'une matinée :

• Action : $12$

• Aventure : $8$

• Sports : $15$

• Stratégie : $5$

Calculer la valeur de $N$ (l'effectif total) en additionnant les effectifs de toutes les catégories.

Une enquête a été réalisée sur le nombre d'animaux de compagnie de 20 familles. L'effectif des familles ayant « 2 animaux » est $4$. Calculer la fréquence ($h_i$) de cette valeur en l'exprimant sous forme de fraction et sous forme décimale.

Dans une classe de 6e, les $20\%$ des élèves viennent au collège à pied. Si la fréquence dans le tableau est $0,25$ pour ceux qui viennent en bus, quel pourcentage d'élèves ce dernier nombre représente-t-il ?

Recopier et compléter les données manquantes de ce tableau d'effectifs sur la couleur des yeux d'un groupe de personnes. Rappel : la somme des fréquences doit être $1$.

Observer le tableau d'effectifs suivant, qui présente les notes d'un contrôle de mathématiques de $20$ élèves :

Répondre aux questions suivantes :

1. Combien d'élèves ont obtenu « Assez bien » ?

2. Quelle est la note la plus fréquente ?

3. Combien d'élèves ont réussi le contrôle (en considérant la réussite de « Passable » à « Très bien ») ?

Arthur a interrogé ses 20 camarades de classe sur le nombre de frères et sœurs qu'ils ont ($0$, $1$, $2$ ou $3$). En construisant la colonne des effectifs cumulés ($F_i$), il a obtenu les résultats suivants, notés dans son cahier :

• Pour 0 frère ou sœur ($f_1 = 5$) : il écrit $F_1 = 5$.

• Pour 1 frère ou sœur ($f_2 = 9$) : il écrit $F_2 = 1 + 9 = 10$.

• Pour 2 frères et sœurs ($f_3 = 4$) : il écrit $F_3 = 2 + 4 = 6$.

• Pour 3 frères et sœurs ($f_4 = 2$) : il écrit $F_4 = 3 + 2 = 5$.

À la fin, Arthur dit, inquiet : « Le dernier effectif cumulé me donne 5 au lieu de 20, donc je ne sais pas ce que j'ai fait de travers ».

1. a) Identifier l'erreur conceptuelle d'Arthur et expliquer quelles valeurs il additionne par erreur.
2. b) Écrire la colonne des effectifs cumulés ($F_i$) calculée correctement.
3. c) Expliquer par une phrase complète la signification réelle de la valeur de $F_2$ dans le contexte de cette classe.

Lors d'une heure de vie de classe de 6e avec $N = 40$ élèves, on réalise un vote sur le moyen de transport principal utilisé pour se rendre au collège :

• À pied : 18 élèves.

• En bus : 12 élèves.

• À vélo ou en trottinette : 6 élèves.

• En voiture familiale : 4 élèves.

1. a) Estimer sans calculer :

• Sachant que le total est 40, le pourcentage d'élèves qui vont à pied sera-t-il supérieur, inférieur ou égal à $50\,\%$ ? Justifier l'estimation par une phrase.

• Le groupe de la voiture familiale atteindra-t-il $15\,\%$ du total ? Justifier.

1. b) Calculer : construire le tableau complet avec les colonnes : moyen de transport ($x_i$), effectif ($f_i$), fréquence ($h_i$) et pourcentage ($\%$).
2. c) Vérifier : comparer les pourcentages exacts obtenus avec les estimations de la question a) et vérifier les sommes de contrôle : $\sum f_i$ et $\sum h_i$.

Dans un collège de Paris, on veut réaliser une étude sur les loisirs des élèves. Pour cela, on interroge les $30$ élèves de la 6e C sur leur réseau social préféré. Identifier en justifiant les éléments suivants de l'étude statistique :

• Population.

• Échantillon.

• Individu.

• Type de variable (qualitative ou quantitative).

Un groupe d'amis a noté le nombre de fois où ils sont allés au cinéma au cours des six derniers mois. Les données obtenues sont :

$2, 1, 0, 3, 2, 1, 1, 0, 2, 4, 1, 2, 3, 1, 0, 2, 1, 2, 0, 1$.

Organiser ces données dans un tableau d'effectifs comprenant : la valeur de la variable ($x_i$), l'effectif ($f_i$) et l'effectif cumulé ($F_i$).

Une enquête a été menée auprès de $40$ adolescents sur leur sport préféré à pratiquer au gymnase municipal. Compléter les valeurs manquantes du tableau suivant sachant que la taille de l'échantillon est $N = 40$.

Dans une classe de musique, on a demandé aux élèves combien d'instruments ils savent jouer. Les résultats des effectifs cumulés ($F_i$) sont :

• $0$ instruments : $F_1 = 4$

• $1$ instrument : $F_2 = 15$

• $2$ instruments : $F_3 = 22$

• $3$ instruments : $F_4 = 25$

Calculer l'effectif ($f_i$) de chaque valeur et déterminer combien il y a d'élèves au total dans la classe. Quel pourcentage d'élèves sait jouer exactement $2$ instruments ?

Un centre de recyclage a analysé le contenu d'un conteneur jaune. $45\%$ des objets étaient des bouteilles en plastique, $30\%$ des canettes de soda, $15\%$ des briques de lait et le reste d'autres emballages métalliques. Si $200$ objets ont été analysés au total, construire un tableau montrant l'effectif de chaque type de déchet.

Vous pouvez le faire sur papier et envoyer une photo de votre réponse.

À partir du diagramme en barres suivant, qui représente les notes obtenues par les élèves d'une classe à un contrôle de rattrapage, reconstituer le tableau complet des effectifs et fréquences ($x_i, f_i, h_i, \%$).

Vous pouvez le faire sur papier et envoyer une photo de votre réponse.

Une étude a été réalisée sur le nombre de frères et sœurs des élèves d'une école. Le chercheur a commis quelques erreurs en calculant les fréquences. Indiquer lesquelles et les corriger pour que le tableau soit valide.

Pendant une semaine, un nutritionniste a demandé à $50$ personnes de noter combien de fruits elles mangent par jour. Les données résumées sont :

• Les $20\%$ ne mangent aucun fruit.

• $15$ personnes mangent $1$ fruit.

• La fréquence des personnes qui mangent $2$ fruits est $0,3$.

• Les autres mangent $3$ fruits.

Construire le tableau complet des effectifs et des fréquences et répondre : quel(s) nombre(s) de fruits est (sont) le mode de cette étude ?

Lors d'une épreuve de calcul mental de 6e notée de 1 à 5, un groupe de $N = 25$ élèves a obtenu diverses notes. La liste des notes individuelles est égarée, mais on conserve ces indices du rapport statistique :

1. Le premier effectif cumulé est $F_1 = 3$.

2. L'effectif cumulé jusqu'à la note 2 est $F_2 = 8$.

3. La fréquence de la note 3 est exactement $h_3 = 0,24$.

4. L'effectif cumulé jusqu'à la note 4 est $F_4 = 22$.

5. Tous les élèves évalués ont obtenu une note comprise entre 1 et 5.

1. a) Déduire pas à pas l'effectif ($f_i$) de chacune des 5 notes possibles, en indiquant l'opération ou la propriété utilisée à chaque fois.
2. b) Combien d'élèves ont réussi l'épreuve (note supérieure ou égale à 3) ? Répondre par deux méthodes différentes : l'une en additionnant des effectifs, l'autre en utilisant les effectifs cumulés.
3. c) Quel pourcentage d'élèves a obtenu la note maximale (5) ?

Dans le cadre d'une initiative sur la consommation responsable des écrans, une classe de 6e interroge 50 familles de son quartier pour savoir combien d'appareils à grand écran (ordinateurs, tablettes et téléviseurs connectés, sans compter les téléphones portables) elles ont chez elles. Les données obtenues sont :

• 1 appareil : 6 familles.

• 2 appareils : 14 familles.

• 3 appareils : 18 familles.

• 4 appareils : 8 familles.

• 5 appareils : 4 familles.

1. a) Modéliser ces données en élaborant un tableau complet comprenant : le nombre d'appareils ($x_i$), l'effectif ($f_i$), la fréquence ($h_i$), le pourcentage ($\%$) et l'effectif cumulé ($F_i$).
2. b) On considère qu'un « équipement modéré » correspond à 3 appareils au maximum à la maison. Quelle colonne et quelle valeur du tableau indiquent directement combien de familles remplissent cette condition, sans additionner ligne par ligne ? Quel pourcentage du total cela représente-t-il ?
3. c) Si la mairie propose un programme de prêt d'ordinateurs aux familles ayant 2 appareils ou moins, combien de familles de l'échantillon en bénéficieraient ? Exprimer le résultat sous forme de fraction irréductible et de pourcentage.

Lors d'une enquête sur le nombre d'animaux de compagnie dans 50 foyers d'un quartier, le tableau des effectifs a été taché et plusieurs données ont été perdues. Ta mission est de reconstituer le tableau complet à l'aide des indices restants :

1. L'effectif total de l'échantillon est $N = 50$.

2. La fréquence d'avoir 1 animal est exactement $0,32$.

3. Le nombre de foyers ayant 3 animaux est le double de celui des foyers ayant 4 animaux.

4. Il n'y a qu'un seul foyer avec 5 animaux.

5. Le pourcentage de foyers sans animal (0) est de $12\%$.

Compléter le tableau en calculant l'effectif ($f_i$), la fréquence ($h_i$) et le pourcentage ($\%$) pour chaque valeur.

Une plateforme de streaming a analysé le nombre d'heures que 40 adolescents passent à regarder des séries pendant le week-end. On ne nous a fourni que la colonne des effectifs cumulés ($F_i$) :

• 1 heure : $F_1 = 6$

• 2 heures : $F_2 = 15$

• 3 heures : $h_3 = 0,25$ (fréquence, non cumulée)

• 4 heures : $F_4 = 34$

• 5 heures : $F_5 = 40$

À partir de ces données, obtenir le tableau complet, en incluant l'effectif ($f_i$) de chaque valeur, la fréquence cumulée ($H_i$) et le pourcentage ($\%$) de chacune.

Lors d'un tournoi d'e-sport, on relève le nombre de victoires de 80 participants. On sait que le diagramme circulaire représentant ces données a les angles suivants pour chaque catégorie :

• 0 victoire : $72^\circ$

• 1 victoire : $108^\circ$

• 2 victoires : $144^\circ$

• 3 victoires : le reste du disque.

Construire le tableau complet ($f_i$, $h_i$, $\%$) sachant que l'effectif total est $N = 80$. Combien de joueurs ont obtenu le plus grand nombre de victoires ?

Vous pouvez le faire sur papier et envoyer une photo de votre réponse.

Un contrôle de mathématiques de 5e est noté de 1 à 10. Le professeur donne les informations suivantes sur les résultats des 30 élèves :

1. $20\%$ de la classe a obtenu 5.

2. Les notes 1, 2, 3 et 10 ont un effectif de 0.

3. Il y a autant d'élèves avec 6 qu'avec 7.

4. La fréquence des élèves qui ont eu 9 est $0,1$.

5. Il y a 4 élèves avec 4 et 3 élèves avec 8.

Calculer combien d'élèves ont eu 6 et 7, puis dresser le tableau complet avec toutes les colonnes étudiées ($f_i, F_i, h_i, H_i, \%$).

La mairie a relevé le nombre d'occupants des véhicules entrés hier dans le centre-ville. Des erreurs se sont glissées dans le rapport final. Identifier quelles données sont impossibles ou erronées dans le tableau suivant, portant sur 200 véhicules, et le corriger en supposant que, dans la ligne « 3 personnes », la donnée erronée est celle de la colonne $f_i$ (et non celles de $h_i$ ni du pourcentage) :

Une étude a été réalisée sur la consommation quotidienne de fruits dans un échantillon de personnes. On sait que :

• $H_2$ (fréquence cumulée de consommer 2 fruits) est $0,75$.

• $f_1 = 12$

• $f_0$ (0 fruit) est la moitié de $f_1$.

• L'effectif total de l'échantillon est $N = 40$.

Calculer l'effectif de la valeur « 2 fruits » ($f_2$) et compléter le tableau pour les valeurs 0, 1, 2 et 3 (sachant que 3 est la valeur maximale de l'étude).

Lors d'un contrôle de qualité dans une fabrique d'ampoules, on teste 120 unités pour voir combien d'heures elles durent avant de tomber en panne (arrondi au millier d'heures). Les données recueillies sont :

• $35\%$ ont duré 1000 h.

• L'effectif de celles de 2000 h est 30.

• La fréquence de celles de 3000 h est $0,15$.

• Les autres ampoules ont duré 4000 h.

Organiser ces données dans un tableau comportant les effectifs, les fréquences, les pourcentages et les effectifs cumulés. Quel pourcentage d'ampoules a duré 3000 heures ou plus ?

On demande à un groupe d'élèves le nombre de livres lus l'année dernière. On ne nous donne pas le nombre total d'élèves, mais on sait que :

• Effectif de 1 livre : $f_1 = 8$.

• Fréquence de 1 livre : $h_1 = 0,16$.

• Fréquence cumulée jusqu'à 2 livres : $H_2 = 0,5$.

• Effectif de 3 livres : $f_3 = 15$.

• Les autres élèves ont lu 4 livres (tous ont lu au moins 1 livre et personne n'en a lu plus de 4).

Calculer d'abord la taille de la population ($N$). Compléter ensuite le tableau et déterminer combien d'élèves ont lu 4 livres.

Deux classes de 6e participent à une campagne scolaire de recyclage d'emballages pendant une semaine :

• En 6e A, il y a 25 élèves, dont 15 ont recyclé plus de 5 emballages.

• En 6e B, il y a 30 élèves, dont 17 ont recyclé plus de 5 emballages.

Pour attribuer le prix à la classe la plus engagée, deux critères sont proposés :

• Critère de Serge : « 6e B doit gagner car son effectif est plus grand ($17 > 15$). Plus d'élèves ont recyclé. »

• Critère de Laura : « Il n'est pas juste de comparer des effectifs car les groupes n'ont pas la même taille ; il faut comparer les fréquences ou les pourcentages. »

1. a) Appliquer les deux méthodes : calculer l'effectif et la fréquence (en pourcentage) des élèves engagés dans chaque classe. Quel groupe gagne selon chaque critère ?
2. b) Justifier de façon argumentée laquelle des deux méthodes est statistiquement valable pour comparer deux échantillons de tailles différentes ($N_A \ne N_B$) et pourquoi l'autre peut conduire à des conclusions erronées.
3. c) Proposer un exemple numérique avec deux groupes de tailles différentes ($N_1 = 20$ et $N_2 = 40$) où les deux critères (effectif et fréquence) désignent le même groupe gagnant, et expliquer pourquoi.

Dans un club de lecture pour jeunes, on analyse combien de livres ses membres ont lus pendant le dernier trimestre. La variable ne prend que des valeurs entières de 0 à 4. À cause d'un problème informatique, une partie du rapport a été effacée, mais on connaît les relations suivantes :

1. La fréquence cumulée pour 2 livres ou moins est $H_2 = 0,70$ (c'est-à-dire que $70\,\%$ des membres ont lu au plus 2 livres).

2. Exactement $20\,\%$ des membres ont lu 3 livres ($h_3 = 0,20$).

3. Seuls 4 membres ont lu 4 livres ($f_4 = 4$).

4. Le nombre de membres n'ayant lu aucun livre ($x_0 = 0$) est exactement égal au nombre de membres ayant lu 2 livres ($x_2 = 2$).

5. Le nombre de membres ayant lu 1 livre ($x_1 = 1$) est le double de celui des membres n'en ayant lu aucun.

1. a) À partir des proportions de membres ayant lu 3 et 4 livres, déduire en raisonnant la taille totale de l'échantillon ($N$).
2. b) En utilisant le total $N$ et les conditions sur 0, 1 et 2 livres, calculer l'effectif ($f_i$) de chacune de ces trois valeurs.
3. c) Construire le tableau complet ($x_i$, $f_i$, $h_i$, $\%$, $F_i$) et vérifier que toutes les conditions de l'énoncé et les sommes de contrôle sont satisfaites.