Exercices: Polyèdres

Un architecte conçoit un nouveau modèle de verrière pour un centre commercial en forme de prisme droit à base pentagonale. Observer le dessin et répondre aux questions suivantes pour l'aider à faire l'inventaire des matériaux :

1. a) Combien de faces le prisme a-t-il en tout ?
2. b) Combien de sommets la figure a-t-elle ?
3. c) Combien d'arêtes y a-t-il en tout ?

En cours de technologie, les élèves construisent une structure pour une maquette. Ils ont conçu un polyèdre qui a $7$ faces et $10$ sommets. Utiliser le théorème d'Euler ($F + S = A + 2$) pour calculer combien de tiges (arêtes) il leur faudra pour monter la structure complète.

Les dés utilisés dans les jeux de rôle ont souvent la forme de polyèdres réguliers. Vous jouez avec un dé en forme d'octaèdre (observer la figure, où les arêtes cachées apparaissent en pointillés) :

1. a) Quelle est la forme de ses faces ?

1. b) Combien de faces ce dé a-t-il ?

1. c) Combien d'arêtes se rencontrent en chacun de ses sommets ?

Classer les pyramides suivantes selon le polygone de leur base et déterminer si elles sont régulières ou irrégulières en justifiant la réponse :

1. a) Une pyramide dont la base est un carré de $5\text{ cm}$ de côté et dont les faces latérales sont des triangles isocèles identiques.
2. b) Une pyramide dont la base est un rectangle de $4\text{ cm}$ sur $6\text{ cm}$.

Manon veut fabriquer une boîte en carton en forme de cube pour un cadeau. Pour cela, elle dessine différents patrons sur son cahier. Indiquer en justifiant lequel des deux patrons suivants permet de former un cube parfait et lequel ne le permet pas.

Vous pouvez le faire sur papier et envoyer une photo de votre réponse.

Observer autour de vous, en classe ou dans votre chambre, et nommer :

1. a) Un objet qui a la forme d'un pavé droit.
2. b) Combien de faces cet objet a-t-il ?
3. c) Toutes ses faces sont-elles identiques ou y a-t-il des faces différentes ? Décrire comment elles sont.

Repérer laquelle des affirmations suivantes sur les polyèdres est FAUSSE et expliquer pourquoi :

1. Un polyèdre convexe est un polyèdre qui, posé sur n'importe quelle face, ne « s'enfonce » pas.

2. Le tétraèdre régulier est le polyèdre qui a le moins de faces possible.

3. Dans un polyèdre régulier, il peut y avoir un nombre différent d'arêtes qui concourent en chaque sommet.

4. Le cube est un type particulier de prisme à base carrée.

Calculer l'aire totale d'un Rubik's Cube sachant que la longueur de chacune de ses arêtes est de $6\text{ cm}$. Rappel : le cube a $6$ faces carrées identiques.

Lucas conçoit en Technologie une maquette en forme de pyramide régulière à base octogonale. Dans son cahier, il a écrit : « Comme la base est un octogone, la pyramide a $8$ faces en tout, $8$ sommets et $8 \cdot 2 = 16$ arêtes. De plus, la formule d'Euler est vérifiée car $8 + 8 = 16$ ». Identifier les trois erreurs conceptuelles commises par Lucas, expliquer de façon argumentée comment on dénombre en réalité les éléments d'une pyramide à partir des côtés de sa base, puis déterminer les valeurs correctes du nombre de faces ($C$), de sommets ($V$) et d'arêtes ($A$), en vérifiant avec elles la relation d'Euler.

Pour une exposition de géométrie au collège, vous devez classer plusieurs pièces de bois selon leurs propriétés. Vous avez une pièce qui est un polyèdre et vous savez qu'il possède exactement $18$ arêtes et $8$ faces, mais vous hésitez entre un prisme et une pyramide. Déterminer en justifiant de quel type de solide il s'agit et quel polygone forme sa base. Ensuite, répondre en justifiant : serait-il possible de construire une pyramide ayant exactement $15$ arêtes en tout ?

Un polyèdre convexe a le même nombre de faces qu'un octaèdre régulier et le même nombre de sommets que le nombre d'arêtes d'un cube. Utiliser le théorème d'Euler pour déterminer combien d'arêtes a ce solide. Représenter schématiquement un polyèdre qui possède ces caractéristiques (par exemple, un prisme à base hexagonale).

Une célèbre marque de chocolats vend ses produits dans des boîtes en forme de prisme droit à base triangulaire régulière. Si le côté du triangle de base mesure $6 \text{ cm}$ et que la hauteur du prisme est de $20 \text{ cm}$, calculer l'aire totale de carton nécessaire pour fabriquer une boîte. (Rappel : il faut d'abord trouver la hauteur du triangle de base à l'aide du théorème de Pythagore.)

Calculer le volume d'une pyramide régulière à base carrée dont l'arête de la base mesure $10 \text{ cm}$ et dont l'arête latérale mesure $13 \text{ cm}$. Pour la résoudre, il faudra d'abord calculer l'apothème de la pyramide puis sa hauteur à l'aide du théorème de Pythagore.

Un sculpteur veut créer une pièce en taillant un cube de bois de $10 \text{ cm}$ d'arête. Il enlève les quatre coins supérieurs en coupant par les milieux des arêtes qui concourent en chaque sommet (sur la figure, les coupes apparaissent en orange). Compter soigneusement combien de faces, de sommets et d'arêtes aura la figure obtenue. Vérifier si elle satisfait encore le théorème d'Euler.

Dans une exposition d'art moderne, il y a une vitrine en forme de pavé droit dont les dimensions sont $80 \text{ cm}$ de longueur, $60 \text{ cm}$ de largeur et $1 \text{ m}$ de hauteur. L'artiste veut placer une tige métallique qui traverse la vitrine d'un sommet inférieur au sommet supérieur opposé. Quelle doit être la longueur exacte de la tige ?

On veut peindre l'extérieur d'un chapiteau publicitaire en forme de pyramide régulière à base hexagonale. Le côté de l'hexagone de la base mesure $4 \text{ m}$ et l'apothème de la face latérale mesure $7 \text{ m}$. Si un pot de peinture couvre $10 \text{ m}^2$ et que le sol du chapiteau n'est pas peint, combien de pots de peinture faut-il acheter au minimum ?

Calculer le volume d'un prisme droit à base trapézoïdale (un réservoir d'eau). Les bases du trapèze mesurent $2 \text{ m}$ et $3 \text{ m}$, sa hauteur est de $1,5 \text{ m}$ et la longueur totale du réservoir (hauteur du prisme) est de $5 \text{ m}$. Si le réservoir est rempli à moitié, combien de litres d'eau contient-il ?

Est-il possible de construire un polyèdre régulier dont les faces sont des hexagones réguliers ? Justifier la réponse en analysant combien de degrés totalisent les angles des faces qui concourent en un même sommet. Reprendre le raisonnement pour expliquer pourquoi il n'existe que cinq polyèdres réguliers convexes.

Pour les fêtes patronales d'une commune du Centre-Val de Loire, la mairie va commander un chapiteau pour des stands d'artisanat en forme de prisme droit à base décagonale régulière (base à $10$ côtés). La structure se monte avec des barres d'aluminium pour les arêtes et des pièces d'ancrage sphériques aux sommets. Avant de consulter le catalogue technique, le conseiller municipal affirme à vue d'œil : « Pour ce chapiteau, il nous faudra environ $40$ ancrages et près de $50$ barres d'aluminium ». D'abord, faire une estimation mentale rapide et expliquer si les chiffres du conseiller vous semblent cohérents ou disproportionnés. Ensuite, calculer exactement combien de faces ($C$), de sommets ($V$) et d'arêtes ($A$) a ce prisme, vérifier que le théorème d'Euler est satisfait et évaluer l'erreur de l'estimation initiale du conseiller.

Un cabinet d'architecture de Marseille conçoit un pavillon bioclimatique pour un parc public. Le bâtiment a la forme d'un prisme droit à base hexagonale surmonté d'un toit en forme de pyramide à base hexagonale, dont la base coïncide exactement avec la base supérieure du prisme (de sorte que cette surface est à l'intérieur et ne compte pas comme face extérieure). Modéliser mathématiquement ce bâtiment comme un unique polyèdre et répondre :

1. a) Combien de faces extérieures a-t-il en tout et quelle est la forme géométrique de chacune ?
2. b) Combien de sommets et combien d'arêtes composent la structure extérieure complète ?
3. c) Vérifier si ce polyèdre composé satisfait le théorème d'Euler ($F + S = A + 2$) et expliquer pourquoi.

Un studio de conception de jeux vidéo crée un nouveau « power-up » en forme de polyèdre convexe. Les artistes ont décidé que l'objet ait exactement $14$ faces et $24$ arêtes.

1. a) D'après le théorème d'Euler ($C + V = A + 2$), combien de sommets le modèle 3D doit-il avoir pour être géométriquement possible ?

1. b) Si le polyèdre final est un cuboctaèdre (un polyèdre formé de carrés et de triangles équilatéraux) et que l'on sait qu'en chacun de ses sommets concourent exactement $4$ arêtes, vérifier si le résultat de la question a) correspond à la structure réelle de ce solide. Pour cela, compter les arêtes à partir du nombre de sommets et des arêtes qui arrivent en chacun.

Vous montez un ordinateur pièce par pièce et vous voulez installer une carte graphique de dernière génération. Le boîtier de l'ordinateur (la tour) est un pavé droit de dimensions $45\text{ cm}$ de hauteur, $20\text{ cm}$ de largeur et $40\text{ cm}$ de longueur. La carte graphique est très longue et vous voulez savoir si elle pourrait être placée en diagonale, en reliant un sommet inférieur de l'avant à son sommet supérieur opposé à l'arrière. Calculer la longueur de la diagonale du pavé droit et déterminer si une carte de $62\text{ cm}$ de longueur y tiendrait.

Une entreprise de bijouterie artisanale veut fabriquer un pendentif en argent en forme d'octaèdre régulier. Si chaque arête de l'octaèdre mesure $12\text{ mm}$, calculer la surface totale d'argent nécessaire pour recouvrir le pendentif (l'aire totale). Indice : rappelez-vous qu'un octaèdre régulier est formé de huit triangles équilatéraux identiques. Il faudra d'abord calculer la hauteur de l'un de ces triangles à l'aide du théorème de Pythagore.

Un architecte a conçu une verrière pour un centre commercial en forme de pyramide régulière à base carrée. La base est un carré de $6\text{ m}$ de côté. Si l'aire de la surface de verre (l'aire latérale de la pyramide) est de $60\text{ m}^2$, calculer la hauteur réelle de la pyramide, du centre de la base jusqu'au sommet. Remarque : attention, il faut d'abord trouver l'apothème de la pyramide à partir de l'aire latérale, puis appliquer Pythagore pour trouver la hauteur.

Imaginer un tétraèdre régulier et un octaèdre régulier, tous deux de même longueur d'arête $a$. Un scientifique affirme que si l'on accole deux de ces polyèdres par une de leurs faces, le nombre de faces visibles à l'extérieur du nouveau solide sera toujours la somme des faces des deux moins deux.

1. a) Calculer le nombre de faces, de sommets et d'arêtes du solide obtenu en accolant deux tétraèdres par une face.
2. b) La formule d'Euler est-elle encore vérifiée pour ce nouveau polyèdre ? Justifier la réponse.

Pour un projet de technologie, vous devez construire une enceinte en forme de prisme droit à base hexagonale régulière. Le périmètre de la base hexagonale est de $42\text{ cm}$ et la hauteur de l'enceinte est de $30\text{ cm}$. Pour que le son soit optimal, il faut recouvrir les parois latérales d'un tissu spécial qui coûte $15\text{ €/m}^2$. Calculer le coût total du tissu nécessaire pour recouvrir la surface latérale de cinq enceintes identiques. (Penser à effectuer les changements d'unités de $\text{cm}^2$ en $\text{m}^2$.)

Un cristallographe étudie une pierre précieuse en forme de tronc de pyramide régulière à base carrée. La base inférieure est un carré de $10\text{ cm}$ de côté, la base supérieure est un carré de $4\text{ cm}$ de côté, et la hauteur du tronc (distance entre les bases) est de $4\text{ cm}$.

1. a) Calculer la longueur de l'apothème des faces latérales (qui sont des trapèzes).
2. b) Calculer l'aire totale de la pierre précieuse.

On veut fabriquer une boîte métallique sans couvercle en forme de cube dont la diagonale mesure exactement $10\sqrt{3}\text{ cm}$.

1. a) Calculer la longueur de l'arête de cette boîte.
2. b) Si le métal utilisé pèse $2,5\text{ grammes}$ pour chaque $\text{cm}^2$, quelle sera la masse totale de la boîte une fois fabriquée ? (La boîte n'a pas de couvercle.)

Le musée des Sciences de Grenade commande une sculpture polyédrique creuse formée de $32$ faces : $12$ pentagones réguliers et $20$ hexagones réguliers. En chaque sommet du polyèdre concourent exactement $3$ arêtes. Pour calculer la quantité de barres (arêtes) et de connecteurs (sommets) à commander à l'usine, deux élèves proposent des méthodes différentes :

• Méthode A (Sophie) : calculer d'abord les arêtes en multipliant le nombre de faces par leur nombre de côtés et en divisant par $2$ car chaque arête appartient à deux faces : $A = (12 \cdot 5 + 20 \cdot 6) : 2$. Puis en déduire les sommets grâce à la relation d'Euler ($C + V = A + 2$).

• Méthode B (Marc) : calculer d'abord les sommets en tenant compte du fait que chaque pentagone apporte $5$ coins et chaque hexagone $6$, mais que chaque sommet est partagé entre $3$ faces : $V = (12 \cdot 5 + 20 \cdot 6) : 3$. Puis calculer les arêtes en multipliant $V$ par $3$ et en divisant par $2$.

Évaluer la validité des deux méthodes et expliquer laquelle vous semble la plus sûre si l'on ne se souvenait pas de la formule d'Euler. Enfin, calculer le nombre exact de faces, d'arêtes et de sommets de la sculpture et vérifier que les deux procédés conduisent au même résultat.

Lors d'un concours scolaire de robotique à Paris, une équipe présente le dossier technique d'une coque protectrice. Elle assure avoir conçu un polyèdre convexe fermé composé exclusivement de $7$ faces triangulaires.

1. a) Sachant que chaque triangle a $3$ côtés et que chaque arête du polyèdre est partagée par exactement deux faces contiguës, calculer combien d'arêtes devrait avoir ce prétendu solide. Quel problème mathématique observe-t-on avec le résultat obtenu ?
2. b) Si la coque est reconçue avec $8$ faces triangulaires, combien d'arêtes aura-t-elle ? Calculer combien de sommets elle doit obligatoirement avoir en appliquant le théorème d'Euler.
3. c) Généraliser le raisonnement : démontrer pourquoi il est géométriquement impossible de construire un polyèdre fermé dont les faces sont exclusivement en nombre impair de triangles.