Exercices: Structures résistantes, stables et rigides

Une étagère peut céder de trois manières : la planche se casse, l'étagère entière bascule vers l'avant ou la structure se tord et prend une forme de losange. Relier chaque défaillance à la condition qui n'est pas remplie — résistance, stabilité ou rigidité — et expliquer avec vos propres mots ce que signifie chacune des trois conditions.

La figure montre la structure d'un pont formée de triangles assemblés, avec une charge au centre.

Expliquer pourquoi cette structure est formée de triangles et non de rectangles : que arrive-t-il aux barres d'un rectangle articulé lorsqu'on le pousse de côté, et pourquoi le triangle, lui, ne peut pas se déformer sans qu'une barre se rompe ?

Il existe quatre types de structures de base : à ossature (poutres et poteaux), triangulée (à base de triangles), suspendue (câbles tendus) et en coque (une coque courbe qui se soutient seule). Classer ces exemples : le squelette d'un bâtiment en construction, une grue de port, un pont suspendu et le capot d'une voiture.

Construire avec quatre bâtonnets et des gommettes un carré articulé, et avec trois bâtonnets un triangle. Pousser chacun de côté et répondre :

1. a) Décrire ce qui se passe : lequel se déforme sans se rompre et lequel ne se déforme pas ?
2. b) Quelle pièce ajouteriez-vous au carré pour l'immobiliser ?

Le centre de gravité est le point où le poids d'un objet est « concentré » : si on le soutient juste à cet endroit, l'objet reste en équilibre. Expliquer l'idée avec un exemple simple (équilibrer une règle sur un doigt) et justifier pourquoi ce point est plus haut dans un verre à pied plein que dans le même verre vide.

Un objet est d'autant plus stable que sa base est large et que son centre de gravité est bas. Appliquer cette règle en classant du moins stable au plus stable : un crayon debout sur la table, une bouteille d'eau pleine et une pyramide d'Égypte, et expliquer dans chaque cas quel rôle jouent la base et la hauteur du poids.

Classer ces structures en ossature, triangulée, suspendue ou coque, en justifiant la réponse : une étagère de cubes empilés, la structure d'une grande roue, l'étendoir avec des cordes tendues entre deux murs et une bouteille en plastique qui supporte le poids d'un livre posé dessus.

Observer la prochaine grue de chantier que vous verrez (ou chercher une photo) : vous verrez que sa flèche et sa tour sont pleines de triangles. Expliquer à quoi servent ces triangles, ce qui se passerait si la flèche était un simple cadre rectangulaire de barres et pourquoi cette solution, en plus d'être rigide, utilise peu de matière.

La figure montre deux objets avec leur centre de gravité repéré et la verticale qui descend depuis ce point : l'un à base large et l'autre étroit et incliné.

Expliquer, en observant où tombe la verticale du centre de gravité par rapport à la base d'appui pour chaque objet, pourquoi le premier tient et le second bascule, et énoncer avec vos propres mots la règle générale de la stabilité.

La tour penchée de Pise ne tombe pas parce que, même inclinée, la verticale de son centre de gravité continue de tomber à l'intérieur de sa base. Expliquer cette règle avec vos propres mots et l'appliquer : justifier jusqu'où une tour pourrait s'incliner avant de basculer et pourquoi les contrepoids ou les fondations élargies aident.

Relier chaque situation à l'idée de stabilité qui l'explique : (a) un vélo posé sur ses deux roues tombe au moindre souffle mais pas avec la béquille, (b) les lampadaires d'intérieur ont une base lourde et large et (c) un camion chargé très haut est plus dangereux dans les virages qu'un camion chargé bas. Expliquer ce qui change dans chaque cas : la base d'appui ou la hauteur du centre de gravité.

Une bouteille en plastique vide supporte le poids d'une personne sans s'écraser, bien que la paroi de plastique soit très fine.

1. a) Expliquer à quel type de structure elle appartient selon sa morphologie.
2. b) Justifier pourquoi sa forme courbe et fermée lui donne une résistance que la même feuille plane n'aurait pas.
3. c) Donner un autre exemple de ce type de structure que l'on peut trouver chez vous.

Dans un pont suspendu, le tablier est suspendu à des câbles tendus entre deux pylônes. Analyser comment travaillent ses éléments : quelle sollicitation supportent les câbles, quelle sollicitation supportent les pylônes et où vont finalement toutes les charges. Expliquer pourquoi ce type de structure permet de franchir de très grandes portées (distances) sans appuis intermédiaires.

Le squelette d'un bâtiment est une ossature de poteaux verticaux et de poutres horizontales. Expliquer quelles charges reprennent les poutres (les planchers et ce qui se trouve dessus) et vers où elles les transmettent, quelle sollicitation supportent les poteaux et pourquoi, si l'on retire un poteau, la poutre qui s'appuyait dessus travaille beaucoup moins bien.

Une étagère de cubes sans panneau arrière se déforme sur le côté et prend une forme de losange lorsqu'on la pousse latéralement. En revanche, si l'on visse un panneau arrière (ou si l'on place deux tirants en croix derrière), la structure ne se déforme pas.

À partir de cette situation, répondre aux questions suivantes :

1. a) Parmi les trois conditions de base que doit remplir une structure (résistance, stabilité et rigidité), laquelle faisait défaut dans l'étagère initiale ? Justifier la réponse.
2. b) Pourquoi le panneau arrière résout-il ce problème, bien qu'il soit en matériau très fin ?
3. c) Quel rapport y a-t-il entre cette solution et la technique de triangulation employée dans les structures ?

Choisir le type de structure (ossature, triangulée, suspendue ou coque) le plus adapté à chaque cas et le justifier : (a) l'abribus d'un arrêt de bus, (b) une passerelle piétonne de $60\ \text{m}$ au-dessus d'une rivière sans appuis au milieu, (c) une tente de camping avec des arceaux tendus et (d) le château d'eau du village.

La figure montre quatre types de structures schématisés (de a à d) :

1. On projette un pont pour franchir une gorge de 300 m de large sans appuis intermédiaires, ainsi que la toiture d'un grand gymnase dégagé. Justifier laquelle des quatre structures vous choisiriez pour chaque cas et pourquoi vous écarteriez le schéma a) dans les deux situations.

2. Dans le schéma b), un ouvrier retire les barres diagonales intérieures pour ménager l'ouverture d'une fenêtre. Prévoir ce qui se passera lorsque la structure supportera une charge horizontale et justifier quelle condition de base (résistance, stabilité ou rigidité) sera compromise.

3. Dans le schéma d), justifier pourquoi cette forme courbe résiste mieux aux charges qu'une plaque plane du même matériau et de la même épaisseur.

Sur un chantier, on monte une grue à tour pour hisser des charges allant jusqu'à 2,5 tonnes :

1. Analyser les sollicitations mécaniques qui apparaissent dans ses principaux composants lorsqu'elle soutient une charge suspendue à l'extrémité de la flèche : déterminer lequel travaille en flexion, lequel en compression et lesquels en traction, en justifiant chaque cas selon la façon dont l'élément tend à se déformer.

2. Un ouvrier débutant propose de retirer le contrepoids en béton à la fin de la journée en arguant que « sans charge à soulever, enlever ce poids évitera de fatiguer la tour pendant la nuit ». Réfuter techniquement sa proposition en expliquant la fonction du contrepoids et ce qui arriverait à la grue si on l'enlevait.

3. Justifier pourquoi la base est fixée à une grande semelle en béton enterrée et quelles conditions de base des structures (résistance, rigidité ou stabilité) cet ancrage garantit face au vent latéral.

Deux camions identiques transportent la même charge, mais l'un l'a empilée très haut et l'autre l'a répartie dans la partie basse de la remorque. Expliquer, à l'aide du centre de gravité, lequel est le plus dangereux dans les virages et pourquoi, et en déduire la règle de chargement que devraient suivre les camions (et les sacs à dos de randonnée).

On doit construire une passerelle piétonne de 20 m de longueur pour traverser une rivière et on compare deux options : une poutre pleine en béton ou une poutre treillis (ferme triangulée) en acier :

1. Lorsque le treillis fléchit sous le poids des piétons, déduire en justifiant quelle membrure (la supérieure ou l'inférieure) travaille en traction et laquelle en compression.

2. Sachant que les éléments minces et longs peuvent subir un flambage lorsqu'ils sont comprimés, prévoir dans quelle partie du treillis ce danger existera et quelle solution de conception vous proposeriez pour l'éviter sans ajouter un poids excessif.

3. Justifier pourquoi la ferme obtient une résistance et une rigidité comparables à celles de la poutre pleine en consommant beaucoup moins de matière, en expliquant quelles zones de l'intérieur d'une poutre pleine supportent à peine des efforts.

Dans un bureau, un classeur vertical à quatre tiroirs reste parfaitement posé sur le sol. Pourtant, lorsqu'on ouvre simultanément les deux tiroirs supérieurs remplis de dossiers, le classeur bascule brusquement vers l'avant :

1. Expliquer techniquement la cause du basculement en analysant la position du centre de gravité par rapport à la base de sustentation et identifier quelle condition de base de la structure n'a pas été respectée.

2. Concevoir trois solutions techniques indépendantes pour éviter cet accident : l'une qui modifie la base ou la répartition des masses du meuble lui-même, une autre fondée sur un mécanisme de sécurité dans les glissières des tiroirs et une autre d'ancrage externe. Justifier le principe physique ou structurel de chaque proposition.

Analyser le comportement mécanique d'une chaise pliante à ciseaux (avec des pieds en « X ») par rapport à une chaise fixe classique à quatre pieds :

1. Une armature en « X » articulée en son point de croisement n'est pas indéformable en elle-même. Expliquer quel élément la conception ajoute pour que la chaise soit indéformable une fois dépliée et quelle figure géométrique de base est ainsi formée pour assurer sa rigidité.

2. Lorsqu'une personne s'assoit, déduire à quelle sollicitation mécanique (traction ou compression) travaille le tirant ou la sangle qui relie les pieds par leur partie inférieure et justifier cette déduction en décrivant vers où les appuis tendraient à se déplacer si cet élément se rompait.

3. Si une personne assise se balance et s'incline brusquement d'un côté, et en supposant que, comme c'est habituel, la chaise pliante est latéralement plus étroite que la chaise fixe et que les deux ont l'assise à une hauteur similaire, prévoir laquelle des deux chaises basculera le plus facilement et justifier cette prévision à partir de leur base de sustentation et de leur centre de gravité.

Défi d'ingénierie en classe : avec $20$ feuilles de papier et un mètre de ruban adhésif, votre équipe doit construire une tour de $1\ \text{m}$ qui supporte un livre à son sommet. Concevoir votre proposition : forme générale de la tour et de sa base, où vous placez des triangles, comment vous obtenez un centre de gravité bas et quels essais vous feriez avant la version définitive. Justifier chaque décision avec le vocabulaire du thème.

Pendant une tempête avec des rafales de vent, on observe comment réagissent un lampadaire métallique vertical et un jeune arbre sur le même trottoir :

1. Déduire à quelle sollicitation mécanique principale le vent soumet ces deux éléments et identifier en justifiant en quel point du lampadaire se concentre le plus grand risque de rupture.

2. Comparer les deux solutions mécaniques qu'ils représentent : la rigidité absolue face à la flexibilité élastique. Prévoir quel mode de défaillance mécanique subira chacune si la tempête dépasse sa limite de résistance.

3. Dans la conception des gratte-ciel face aux vents d'ouragan et aux séismes, les ingénieurs imitent la stratégie de l'arbre plutôt que celle du lampadaire. Justifier pourquoi on les conçoit pour osciller légèrement au lieu de les construire totalement rigides.

Défi du thème. L'étagère de votre chambre est-elle sûre ? Vous allez auditer et optimiser une structure réelle de chez vous.

1. Recueil de données : choisir une étagère à livres ou une table. Mesurer sa longueur avec un mètre (par ex. $0,8\text{ m}$) et peser les objets qu'elle supporte avec une balance de cuisine ou de salle de bains pour calculer la charge en newtons ($P = m \cdot 9,8\text{ N/kg}$).

2. Analyse structurelle : identifier quels éléments subissent de la flexion, de la compression ou de la traction. Évaluer la stabilité (position du centre de gravité et base d'appui) et vérifier sa rigidité : se déforme-t-elle ou vacille-t-elle si vous appliquez une légère force horizontale ?

3. Proposition et nouvelle conception : rédiger un court rapport avec LibreOffice (ou modéliser la solution dans Tinkercad) en proposant une amélioration technique pour augmenter la résistance et la rigidité du meuble face au flambage ou au basculement, en appliquant la triangulation, des équerres ou des tirants.

Seront évalués :

• L'obtention rigoureuse de données réelles et le calcul correct de la charge en newtons.

• L'identification précise des sollicitations mécaniques et l'analyse de la rigidité et de la stabilité.

• La faisabilité technique, la créativité et la justification de la proposition de renforcement dans le rapport.