Exercices: Figures semblables

Un graphiste crée deux affiches rectangulaires qui doivent être semblables. L'affiche d'origine mesure $60 \text{ cm}$ de large et $40 \text{ cm}$ de haut. Si la seconde affiche a une largeur de $120 \text{ cm}$, quelle doit être sa hauteur pour qu'elle garde la même forme ? Calculer aussi le rapport d'agrandissement $k$.

On dispose de deux photographies d'un même monument, une petite et une agrandie. On sait que ce sont des figures semblables. Sur la petite photo, la hauteur du monument est de $5 \text{ cm}$ et sa largeur est de $3 \text{ cm}$. Sur la photo agrandie, la hauteur est de $15 \text{ cm}$.

1. a) Quelle sera la largeur du monument sur la photo agrandie ?

1. b) Donner le rapport d'agrandissement (de la petite photo à la photo agrandie) sous forme de nombre décimal.

Pour un projet d'arts plastiques, Lucie a dessiné un éclair sur un quadrillage. Elle doit maintenant dessiner un autre éclair qui soit une réduction du premier avec un rapport de réduction $k = 0,5$. Si l'éclair d'origine mesure $8 \text{ cm}$ de long, combien mesurera la longueur du nouvel éclair ? Que signifie le fait que le rapport soit inférieur à $1$ ?

Deux pentagones sont semblables et le rapport de similitude entre eux est $k = 3$. Si le périmètre du plus petit pentagone est de $25 \text{ cm}$, quel est le périmètre du plus grand pentagone ? Justifier la réponse en expliquant la relation entre le rapport et les périmètres de figures semblables.

On dispose de trois triangles rectangles dont on connaît les longueurs des côtés de l'angle droit :

• Triangle A : côtés de l'angle droit de $3\text{ cm}$ et $4\text{ cm}$.

• Triangle B : côtés de l'angle droit de $6\text{ cm}$ et $8\text{ cm}$.

• Triangle C : côtés de l'angle droit de $5\text{ cm}$ et $10\text{ cm}$.

Identifier lesquels sont semblables en vérifiant si leurs côtés homologues sont proportionnels. Calculer le rapport de similitude entre les deux triangles choisis.

Une carte d'une réserve naturelle est dessinée à une échelle telle que $2 \text{ cm}$ sur le papier représentent $500 \text{ m}$ dans la réalité. Si le sentier principal mesure $6 \text{ cm}$ sur la carte, quelle est sa longueur réelle en mètres ? Exprimer aussi l'échelle de la carte sous la forme habituelle $1:n$.

Un écran de tablette de forme rectangulaire a pour dimensions $24 \text{ cm} \times 18 \text{ cm}$. On veut fabriquer une housse pour un modèle de smartphone plus petit qui soit semblable à la tablette. Si le grand côté du smartphone mesure $12 \text{ cm}$, combien doit mesurer le petit côté ? Quel est le pourcentage de réduction appliqué ?

Deux carrés, dont l'un a un côté de $5 \text{ cm}$ et l'autre un côté de $12 \text{ cm}$, sont-ils semblables ? Justifier la réponse en s'appuyant sur les deux conditions que doivent remplir des polygones pour être semblables : angles correspondants et côtés homologues.

Mathis veut agrandir une photographie rectangulaire de $10\text{ cm}$ de large sur $15\text{ cm}$ de haut pour l'adapter à un nouveau cadre. Comme le nouveau cadre a une largeur de $14\text{ cm}$, Mathis affirme : « Comme j'ai ajouté $4\text{ cm}$ à la largeur, je dois aussi ajouter $4\text{ cm}$ à la hauteur ; donc la nouvelle hauteur doit être de $19\text{ cm}$ ».

1. a) Expliquer avec ses propres mots pourquoi le raisonnement de Mathis est erroné et ce qui arriverait à l'image si elle était imprimée avec ces dimensions.
2. b) Déterminer le rapport d'agrandissement $k$ qui relie la photo agrandie à la photo d'origine.
3. c) Calculer la hauteur exacte que doit avoir la photographie dans le nouveau cadre pour garder les proportions d'origine et ne pas être déformée.

Sur une carte de l'IGN à l'échelle $1:50\,000$, la distance à vol d'oiseau entre un refuge de montagne et un village est de $7,2\text{ cm}$.

1. a) Avant d'effectuer le moindre calcul exact sur le papier, faire une estimation mentale : la distance réelle sera-t-elle inférieure à $2\text{ km}$, comprise entre $2$ et $5\text{ km}$, ou supérieure à $5\text{ km}$ ? Expliquer en une phrase quel arrondi ou quel calcul mental rapide a été utilisé pour s'orienter.
2. b) Calculer avec exactitude la distance réelle en kilomètres en appliquant l'échelle donnée.
3. c) Vérifier si l'estimation initiale correspondait au bon intervalle et juger si le résultat obtenu est raisonnable pour un itinéraire de randonnée à pied.

Un graphiste travaille sur le logo d'une nouvelle application. Le dessin original tient dans un carré de côté $4\text{ cm}$. Pour l'en-tête du site web, il doit l'agrandir de sorte que le nouveau côté soit de $10\text{ cm}$.

1. a) Calculer le rapport d'agrandissement $k$.
2. b) Si le logo original comporte une ligne décorative intérieure qui mesure $2,5\text{ cm}$, combien mesurera cette même ligne sur le logo agrandi ?

En cours d'arts plastiques, Lucie a fait un dessin de phare sur un quadrillage. Elle veut maintenant le reproduire au triple de sa taille originale pour décorer une fresque.

1. a) Si, sur le dessin original, le phare a une base de $2\text{ cm}$, quelle largeur devra avoir la base sur la reproduction ?
2. b) Lucie a calculé que l'aire occupée par le phare dans son cahier est de $12\text{ cm}^2$. Quelle surface occupera le phare sur la fresque ? Rappeler la relation entre les aires de figures semblables.

Deux cadres photo rectangulaires sont semblables. Le petit cadre a pour dimensions $10\text{ cm} \times 15\text{ cm}$. Le grand cadre a un périmètre de $150\text{ cm}$.

1. a) Quel est le rapport d'agrandissement entre le grand cadre et le petit ?
2. b) Quelles sont les dimensions (longueur et largeur) du grand cadre ?

Sur la carte d'une île de jeu vidéo, la distance entre le « Port des Pirates » et la « Montagne du Destin » est de $4,5\text{ cm}$. Sachant que l'échelle de la carte est $1:20\,000$ :

1. a) Quelle est la distance réelle, exprimée en mètres, entre ces deux points ?
2. b) Si une forêt occupe sur la carte une surface de $3\text{ cm}^2$, quelle est sa surface réelle en mètres carrés ?

Un centre commercial a un plan au sol en forme de trapèze. Sur le plan d'architecte, réalisé à l'échelle $1:500$, la grande base mesure $16\text{ cm}$, la petite base mesure $12\text{ cm}$ et la hauteur est de $8\text{ cm}$.

1. a) Calculer les dimensions réelles du plan au sol du centre commercial en mètres.
2. b) Calculer le rapport entre l'aire sur le plan et l'aire réelle.

On a fabriqué deux panneaux de signalisation « STOP » qui sont semblables (octogones réguliers). Le petit panneau a un côté de $20\text{ cm}$ et une aire d'environ $1931\text{ cm}^2$. Si le grand panneau a un côté de $30\text{ cm}$ :

1. a) Quel est le rapport d'agrandissement ?
2. b) Quel est le périmètre du grand panneau ?
3. c) Quelle sera l'aire du grand panneau ? (Exprimer le résultat en $\text{cm}^2$.)

Une équipe de cinéma utilise une maquette de gratte-ciel pour une scène d'action. La maquette mesure $1,2\text{ m}$ de hauteur et sa base a une aire de $0,15\text{ m}^2$. Si le gratte-ciel réel a une hauteur de $180\text{ m}$ :

1. a) Calculer l'échelle à laquelle la maquette a été construite.
2. b) Quelle est l'aire réelle de la base du bâtiment ?

Observer les deux écrans de télévision de la figure. Bien qu'ils aient des tailles différentes, on dit qu'ils ont le même format (ils sont semblables). Le petit écran fait $32$ pouces et le grand fait $50$ pouces.

1. a) Si la largeur de l'écran de $32$ pouces est de $70,8\text{ cm}$, quelle est la largeur de l'écran de $50$ pouces ?
2. b) Si l'aire du petit écran est de $2\,827\text{ cm}^2$, quelle est l'aire du grand écran ?

Une coopérative de Jaén met son huile d'olive vierge extra en boîtes en forme de pavé droit de $12\text{ cm}$ de long, $10\text{ cm}$ de large et $25\text{ cm}$ de haut, dont le volume total est de $3\text{ litres}$ et dont l'étiquette latérale a une aire de $1\,100\text{ cm}^2$. Pour une campagne promotionnelle, elle décide de fabriquer une boîte miniature exactement semblable dont la hauteur est de $10\text{ cm}$.

1. a) Modéliser la réduction en calculant le rapport de réduction $k$ qui transforme la boîte d'origine en la miniature.
2. b) Appliquer directement la propriété sur les aires des figures semblables pour calculer l'aire de l'étiquette de la boîte miniature, sans calculer les nouvelles dimensions de la base.
3. c) Utiliser la relation entre les volumes de solides semblables pour déterminer combien de millilitres d'huile pourra contenir la boîte miniature.

Un cabinet d'architecture conçoit la rénovation d'un local commercial du centre-ville. Sur le plan, le local est représenté par une surface qui mesure $96\text{ cm}^2$ sur le papier, alors que l'aire réelle du local est de $150\text{ m}^2$.

1. a) Sachant que le rapport des aires de figures semblables est $k^2$, exprimer les deux aires en centimètres carrés et calculer la valeur numérique du rapport des aires entre la réalité et le plan.
2. b) À partir du résultat précédent, en déduire le coefficient d'agrandissement linéaire $k$ et écrire l'échelle du plan sous la forme habituelle $1:n$.
3. c) Si, sur le plan, la porte d'entrée mesure $0,8\text{ cm}$ de large, combien de centimètres mesurera-t-elle en réalité ? Si une cloison mesure $5\text{ m}$ de longueur réelle, combien de centimètres mesurera-t-elle sur le plan ?

Un étudiant en graphisme travaille sur un logo rectangulaire qui mesure $12\text{ cm}$ de large et $8\text{ cm}$ de haut. Il décide d'abord d'appliquer un agrandissement de 150 % pour une affiche publicitaire. Ensuite, sur cette affiche, il effectue une réduction à 40 % pour l'adapter à une carte de visite.

• a) Quel est le rapport total entre le logo original et celui de la carte de visite ?

• b) Le logo de la carte de visite est-il plus grand ou plus petit que l'original ? Justifier la réponse en calculant les dimensions finales.

• c) Si l'aire du logo original était de $96\text{ cm}^2$, quelle sera l'aire du logo sur la carte de visite ?

Sur une maquette d'un centre sportif réalisée à l'échelle $1:250$, la piscine olympique occupe une surface de $20\text{ cm}^2$ et a une contenance (volume) de $160\text{ cm}^3$.

• a) Calculer l'aire réelle de la piscine en mètres carrés ($m^2$).

• b) Calculer la contenance réelle de la piscine en litres ($L$). (Rappel : $1\text{ dm}^3 = 1\text{ L}$).

• c) Si l'on veut réaliser une autre maquette plus petite où la surface de la piscine n'est que de $5\text{ cm}^2$, quelle échelle faudrait-il utiliser ?

Un drone prend une photographie verticale d'une voiture de $4,5\text{ mètres}$ de longueur. Sur l'écran du téléphone, qui affiche la photo en taille réelle, la voiture mesure $1,8\text{ cm}$.

• a) À quelle échelle est l'image de l'écran ?

• b) Sur la même photo apparaît un jardin rectangulaire qui mesure sur l'écran $5\text{ cm}$ de long et $3\text{ cm}$ de large. Quelle est l'aire réelle du jardin en mètres carrés ?

• c) Si le drone monte à deux fois la hauteur, combien mesurera la voiture sur l'écran du téléphone si la caméra ne change pas son zoom ?

Nous avons deux récipients semblables pour ranger du pop-corn. Le petit récipient a une hauteur de $15\text{ cm}$ et le grand une hauteur de $25\text{ cm}$. Si le coût du carton pour fabriquer le petit récipient est de $0,18\text{ €}$, et que le prix du carton est proportionnel à sa surface :

• a) Quel sera le coût du carton nécessaire pour fabriquer le grand récipient ?

• b) Si le petit récipient peut contenir $1,2\text{ kg}$ de pop-corn, combien de kilos de pop-corn tiendront dans le grand récipient ? (On suppose que les deux sont remplis à ras bord.)

Un architecte présente le plan d'un appartement à l'échelle $1:50$. Dans le salon, qui est parfaitement rectangulaire, il a dessiné un tapis qui mesure $6\text{ cm}$ de long et $4\text{ cm}$ de large. Le client lui demande que le tapis réel soit 20 % plus long et 20 % plus large.

• a) Quelles sont les dimensions réelles du tapis demandé par le client ?

• b) Quel est le rapport de similitude entre le tapis du dessin et le tapis réel final ?

• c) De quel pourcentage l'aire du tapis réel a-t-elle augmenté par rapport à celle qui était prévue à l'origine sur le plan ?

Deux pièces d'un moteur sont semblables. La pièce $A$ pèse $2,4\text{ kg}$ et est faite d'un matériau qui coûte $15\text{ €/kg}$. La pièce $B$ est une réduction de la pièce $A$ avec un rapport $k = 0,5$.

• a) Si les deux pièces sont faites du même matériau dense, combien pèsera la pièce $B$ ?

• b) Quel sera le coût du matériau de la pièce $B$ ?

• c) Si la surface de la pièce $A$ doit être recouverte d'un antirouille qui coûte $2\text{ €}$ pour chaque $10\text{ cm}^2$ et que le traitement de la pièce $A$ coûte $48\text{ €}$, combien coûtera le traitement de la pièce $B$ ?

Une carte a une échelle graphique où un segment de $4\text{ cm}$ représente $2\text{ km}$ réels. Sur cette carte, une réserve naturelle a la forme d'un triangle équilatéral de côté $6\text{ cm}$.

• a) Calculer l'échelle numérique de la carte.

• b) Calculer le périmètre réel de la réserve en kilomètres.

• c) Si sur une nouvelle carte la même réserve a une aire 4 fois plus grande que sur la première carte, quelle est l'échelle de la nouvelle carte ?

Une entreprise de messagerie utilise des boîtes cubiques semblables. La boîte « Standard » a une arête de $20\text{ cm}$. La boîte « Maxi » a une aire totale qui est exactement le double de celle de la boîte « Standard ».

• a) Calculer le rapport d'agrandissement entre la boîte « Maxi » et la boîte « Standard » (donner le résultat avec deux décimales).

• b) Quelle est la longueur de l'arête de la boîte « Maxi » ?

• c) Si la boîte « Standard » peut contenir $8\text{ litres}$ de sable, combien de litres la boîte « Maxi » peut-elle contenir ?

Une entreprise doit commander une bâche publicitaire géante en agrandissant un logo au dessin complexe formé de courbes et de polygones combinés. L'aire du logo original sur le dépliant est de $45\text{ cm}^2$, et sur la bâche toutes les longueurs doivent être multipliées par $k = 8$. Deux graphistes discutent de la meilleure méthode pour calculer l'aire de la bâche :

• Méthode de Lucie : décomposer le logo original en douze figures géométriques de base, mesurer les dimensions de chacune, multiplier chaque longueur par $8$, calculer les douze aires agrandies et les additionner.

• Méthode de Mathis : multiplier directement l'aire totale de $45\text{ cm}^2$ par $k^2 = 8^2 = 64$.

1. a) Appliquer la méthode de Mathis pour calculer l'aire finale de la bâche en mètres carrés et expliquer si la méthode de Lucie donnerait théoriquement exactement le même résultat.
2. b) Comparer les deux méthodes et justifier laquelle est la plus efficace en pratique professionnelle, en indiquant au moins deux inconvénients ou risques sérieux de la méthode de Lucie par rapport à celle de Mathis.
3. c) Si l'entreprise décide de fabriquer aussi une sculpture en volume pleine semblable au logo, dont le volume original était de $35\text{ cm}^3$, en utilisant le même rapport $k = 8$ sur les longueurs, formuler quelle méthode généraliser pour trouver son volume final et le calculer en décimètres cubes.

Dans un atelier de poterie artisanale de Toulouse, on fabrique des vases décoratifs géométriques qui sont semblables entre eux. Le vase moyen mesure $15\text{ cm}$ de hauteur et son coût de production est de $12\text{ €}$, dont $8\text{ €}$ correspondent à l'argile employée (liée au volume) et $4\text{ €}$ à l'émail extérieur (lié à la surface). Pour répondre à une commande spéciale, un apprenti calcule le devis d'un vase géant semblable de $30\text{ cm}$ de hauteur en multipliant tous les coûts par $2$, et fixe le coût final à $24\text{ €}$ ($16\text{ €}$ d'argile et $8\text{ €}$ d'émail).

1. a) Identifier l'erreur conceptuelle de l'apprenti, qui ne distingue pas les grandeurs linéaires, les aires et les volumes dans des figures semblables.
2. b) Déterminer le rapport d'agrandissement des longueurs $k$ entre le vase géant et le vase moyen, et calculer le coût réel de l'argile et de l'émail pour la pièce géante en appliquant les rapports correspondants.
3. c) Comparer le coût total réel avec celui qu'avait calculé l'apprenti et rédiger une conclusion mathématique qui justifie pourquoi doubler la hauteur d'un objet en trois dimensions ne double pas la quantité de matériau nécessaire.