Exercices: Théorème de Pythagore

Lors d'un entraînement de football, un joueur court en ligne droite d'un coin du terrain au coin opposé. Si le terrain mesure $80$ mètres de long et $60$ mètres de large, quelle distance le joueur parcourt-il dans sa course en diagonale ?

Un escabeau ouvert a une hauteur verticale de $2,4$ mètres. Si la distance entre les pieds posés au sol est de $1,4$ mètres, quelle est la longueur de chacun des bras de l'escabeau ? Aide : remarquez que la hauteur partage l'escabeau en deux triangles rectangles identiques.

Vérifier si un triangle dont les côtés mesurent $7$ cm, $10$ cm et $12$ cm est un triangle rectangle. Pour cela, vérifier si l'égalité du théorème de Pythagore est satisfaite par ses côtés.

On veut fixer un câble depuis le sommet d'une antenne de téléphonie de $12$ mètres de hauteur jusqu'à un point d'ancrage situé au sol, à $9$ mètres du pied de l'antenne. Quelle longueur doit avoir le câble pour être parfaitement tendu ?

Déterminer la longueur du côté inconnu ($c$) dans le triangle rectangle suivant, sachant que l'hypoténuse mesure $13$ cm et que l'un des côtés de l'angle droit mesure $5$ cm.

Les écrans de télévision se mesurent par leur diagonale en pouces. Si une télévision a une largeur de $32$ cm et une hauteur de $24$ cm, combien de centimètres mesure sa diagonale ?

Calculer le périmètre d'un losange dont les diagonales mesurent $16$ cm et $12$ cm. Rappel : les diagonales d'un losange sont perpendiculaires et se coupent en leur milieu, formant quatre triangles rectangles.

Un phare projette une lumière qui atteint un bateau. Le phare a une hauteur de $30$ mètres et le bateau se trouve à une distance horizontale de $40$ mètres du pied du phare. Quelle est la distance directe entre l'ampoule du phare et le bateau ?

Pour calculer la longueur de la diagonale d'un écran de télévision rectangulaire qui mesure $40\text{ cm}$ de large et $30\text{ cm}$ de haut, Lucie écrit dans son cahier la démarche suivante :

$d = \sqrt{40^2 + 30^2} = \sqrt{40^2} + \sqrt{30^2} = 40 + 30 = 70\text{ cm}$.

1. a) Expliquer en détail quelle erreur algébrique Lucie a commise avec la racine carrée et pourquoi la racine carrée d'une somme ne peut pas se séparer en somme de racines carrées.
2. b) Sans effectuer encore le calcul correct, justifier géométriquement pourquoi un résultat de $70\text{ cm}$ est impossible pour cette diagonale (rappel de l'inégalité triangulaire : la longueur de tout côté d'un triangle est inférieure à la somme des deux autres).
3. c) Corriger la démarche de Lucie et déterminer la mesure réelle de la diagonale de cet écran.

Un terrain de basket scolaire a pour dimensions officielles $28\text{ m}$ de long sur $15\text{ m}$ de large. Le professeur d'EPS demande à ses élèves de courir en ligne droite d'un coin au coin diagonalement opposé.

1. a) Avant toute opération avec des racines, faire une estimation argumentée : justifier pourquoi la distance diagonale parcourue est nécessairement supérieure à $28\text{ m}$ et inférieure à $43\text{ m}$. Entre quels deux nombres entiers pensez-vous que se trouvera le résultat ?
2. b) Appliquer le théorème de Pythagore pour calculer la longueur exacte de la diagonale, en arrondissant le résultat au centième de mètre.
3. c) Comparer la valeur obtenue avec votre estimation préalable et indiquer, avec esprit critique, si le résultat a un sens concret sur un terrain de sport.

Pour sécuriser un filet de volley-ball dans la cour du collège, on a fixé un câble tendeur du haut d'un poteau jusqu'à un ancrage au sol. Le poteau a une hauteur de $2,4$ mètres et la distance entre le pied du poteau et l'ancrage est de $1,8$ mètres. Si l'on veut poser un câble identique sur un autre poteau qui est un agrandissement de rapport $k = 1,5$ du premier, quelle sera la longueur du nouveau câble tendeur ?

L'écran d'un smartphone rectangulaire a une hauteur de $12\text{ cm}$ et une largeur de $5\text{ cm}$. Une tablette est semblable au smartphone et son plus petit côté mesure $15\text{ cm}$. Calculer d'abord la diagonale du smartphone à l'aide du théorème de Pythagore, puis utiliser le rapport d'agrandissement pour déterminer la diagonale de la tablette.

Un menuisier conçoit deux étagères triangulaires semblables pour les coins d'une pièce. La petite étagère a deux côtés de l'angle droit de $30\text{ cm}$ et $40\text{ cm}$. La grande étagère a un périmètre de $240\text{ cm}$. Quelle est la longueur du plus grand côté (hypoténuse) de la grande étagère ?

Dans un parc, une rampe de skate vue de profil forme un triangle rectangle. La base de la rampe mesure $4\text{ mètres}$ et la hauteur maximale est de $3\text{ mètres}$. À une distance de $1,6\text{ mètres}$ de la base, on a placé un support vertical de renfort.

• a) Calculer la longueur totale de la rampe (la partie inclinée).

• b) En utilisant les triangles semblables, calculer la hauteur du support vertical.

Un jardin a la forme d'un triangle isocèle. Ses deux côtés égaux mesurent $13\text{ mètres}$ et le côté différent (la base) mesure $10\text{ mètres}$. On veut construire une maquette de ce jardin qui soit une réduction et dont la base mesure $20\text{ cm}$ sur la maquette. Calculer :

• a) La hauteur réelle du jardin.

• b) L'aire occupée par la maquette, en $\text{cm}^2$.

Deux immeubles projettent leur ombre à la même heure de la journée. L'immeuble A a une hauteur de $15\text{ mètres}$ et son ombre mesure $12\text{ mètres}$. L'immeuble B est à côté et projette une ombre de $20\text{ mètres}$.

• a) Quelle est la hauteur de l'immeuble B ?

• b) Si l'on relie le sommet de chaque immeuble à l'extrémité de son ombre, on obtient deux triangles rectangles. Calculer la longueur de ces lignes imaginaires (hypoténuses) pour les deux immeubles.

Calculer l'aire d'un hexagone régulier de côté $8\text{ cm}$. Rappel : un hexagone régulier peut se décomposer en six triangles équilatéraux. Il faudra utiliser le théorème de Pythagore pour déterminer l'apothème de l'hexagone avant de calculer son aire totale.

Dans un triangle rectangle, la hauteur issue de l'angle droit partage l'hypoténuse en deux segments qui mesurent $9\text{ cm}$ et $16\text{ cm}$.

• a) Calculer la hauteur du triangle à l'aide de la relation de la hauteur ($h^2 = m \cdot n$, où $m$ et $n$ sont les deux segments de l'hypoténuse).

• b) Une fois la hauteur trouvée, utiliser le théorème de Pythagore pour calculer les longueurs des deux côtés de l'angle droit du triangle initial.

Un atelier de menuiserie doit concevoir une pièce d'assemblage en forme de triangle rectangle dont l'hypoténuse mesure exactement $\sqrt{65}\text{ dm}$.

1. a) Trouver deux couples distincts d'entiers naturels non nuls $(a, b)$ pouvant être les longueurs des côtés de l'angle droit, en décimètres. Démontrer algébriquement, à l'aide du théorème de Pythagore, que les deux couples donnent exactement l'hypoténuse requise.
2. b) Si l'atelier décidait que la pièce doit être, en plus d'être rectangle, un triangle isocèle (avec les deux côtés de l'angle droit égaux) en conservant l'hypoténuse de $\sqrt{65}\text{ dm}$, écrire une équation et en déduire la longueur exacte de chacun des côtés de l'angle droit. Peuvent-ils mesurer un nombre entier de décimètres dans ce second cas ? Justifier la réponse.

Lors de la surveillance des incendies dans le massif de l'Estérel, un poste d'observation forestier est situé à une altitude de $1900\text{ m}$. Le guetteur repère une colonne de fumée dont la position sur la carte se trouve à $1200\text{ m}$ vers l'est et $900\text{ m}$ vers le nord de la tour, mais dans un vallon situé à une altitude plus basse, à $1100\text{ m}$ d'altitude.

1. a) Modéliser la situation dans le plan horizontal et calculer la distance en ligne droite sur la carte (distance horizontale) qui sépare le poste d'observation de la colonne de fumée.
2. b) Modéliser la situation en trois dimensions en tenant compte de la différence d'altitude entre la tour et le feu. Calculer la distance réelle et directe que parcourrait un drone de reconnaissance en ligne droite dans l'espace, du poste d'observation jusqu'au départ de feu.

Un service de messagerie utilise des cartons en forme de pavé droit. L'un de ses plus grands cartons a pour dimensions $60\text{ cm}$ de longueur, $45\text{ cm}$ de largeur et $30\text{ cm}$ de hauteur. Un client doit envoyer un tube rigide qui mesure exactement $82\text{ cm}$.

Utiliser le théorème de Pythagore pour déterminer si le tube rentre dans le carton (en le plaçant en diagonale, entre deux sommets opposés de l'espace intérieur) et justifier la réponse par les calculs nécessaires.

Un architecte a conçu une verrière en forme de triangle isocèle dont la base mesure $12\text{ m}$ et dont les côtés égaux mesurent $10\text{ m}$ chacun. Pour des raisons d'éclairage, il doit placer une traverse horizontale exactement à la moitié de la hauteur du triangle.

Calculer d'abord la hauteur totale de la verrière à l'aide du théorème de Pythagore, puis utiliser les triangles semblables pour déterminer la longueur de la traverse horizontale.

Une entreprise de publicité a créé une bâche en forme de losange pour recouvrir la façade d'un immeuble. Les diagonales du losange mesurent $16\text{ m}$ et $12\text{ m}$. Elle veut fabriquer une réplique à l'échelle pour un bureau, dont le rapport de réduction par rapport à l'original est $k = 0,25$.

Calculer le périmètre de la bâche originale (en utilisant le théorème de Pythagore pour trouver le côté) puis, à partir de ce résultat, déterminer le périmètre et l'aire de la petite réplique sans calculer ses côtés un à un.

Un drone survole un terrain plat à une hauteur de $120\text{ m}$. À un instant donné, sa caméra repère le sommet d'une tour de contrôle. Les capteurs indiquent que la distance en ligne droite (diagonale) entre le drone et le sommet de la tour est de $150\text{ m}$. Sachant que l'ombre de la tour au même instant mesure $18\text{ m}$, calculer :

1. La distance horizontale au sol entre le drone et la verticale de la tour.

2. La hauteur de la tour de contrôle en utilisant les triangles semblables formés par la tour et son ombre, sachant que les rayons du soleil sont inclinés de telle sorte qu'un poteau de $2\text{ m}$ projette une ombre de $1,2\text{ m}$.

Un jardin a la forme d'un hexagone régulier de $8\text{ m}$ de côté. On veut installer un système d'arrosage circulaire qui atteint exactement les milieux de chaque côté (c'est-à-dire le cercle inscrit dans l'hexagone).

1. Calculer le rayon de ce cercle (apothème de l'hexagone) à l'aide du théorème de Pythagore.

2. Si un plan du jardin est réalisé à l'échelle $1:200$, quelle est l'aire de l'hexagone sur le plan, en $\text{cm}^2$ ?

Deux immeubles verticaux sont séparés par une distance de $16\text{ m}$. L'immeuble A mesure $24\text{ m}$ de hauteur et l'immeuble B mesure $36\text{ m}$. On veut tendre un câble de fibre optique allant du toit de l'immeuble A au toit de l'immeuble B.

1. Quelle longueur minimale doit avoir le câble ?

2. Un technicien se place sur le câble à une distance horizontale de $4\text{ m}$ de l'immeuble A. À quelle hauteur du sol se trouve-t-il en ce point ? (Utiliser les triangles semblables.)

On considère une pyramide régulière à base carrée dont la base est un carré de $10\text{ cm}$ de côté. La hauteur de la pyramide (du centre de la base au sommet) est de $12\text{ cm}$.

1. Calculer la hauteur d'une face latérale (apothème de la pyramide) à l'aide du théorème de Pythagore.

2. On construit une pyramide plus petite, obtenue par réduction de rapport $k = 0,5$. Calculer le volume de la petite pyramide sachant que le volume de la pyramide d'origine est $V = \frac{1}{3} \cdot \text{Aire de la base} \cdot \text{Hauteur}$.

Dans un parc, une balançoire est formée de deux poteaux métalliques qui se croisent en formant un « X ». Les pieds des poteaux sont séparés de $3\text{ m}$ au sol. Les poteaux mesurent $5\text{ m}$ chacun, sont inclinés symétriquement (ils forment le même angle avec le sol) et se croisent exactement à une hauteur de $2\text{ m}$ au-dessus du sol.

Calculer la distance entre les extrémités supérieures des poteaux en utilisant les propriétés des triangles semblables (configuration de Thalès) et le théorème de Pythagore pour déterminer les distances intermédiaires nécessaires.

Sur la maquette d'un parc pour enfants, une rampe droite pour trottinettes a la forme d'un triangle rectangle de base $12\text{ cm}$ et de hauteur $5\text{ cm}$. La rampe réelle construite dans le parc est un agrandissement de rapport $k = 20$. Pour déterminer la longueur de la pente de la rampe réelle (l'hypoténuse), deux élèves proposent des méthodes différentes :

• Méthode de Marc : il calcule d'abord l'hypoténuse de la maquette avec le théorème de Pythagore, puis multiplie cette mesure par le rapport d'agrandissement $k = 20$.

• Méthode de Sarah : elle multiplie d'abord les deux dimensions de la maquette par le rapport $k = 20$ pour obtenir la base et la hauteur réelles de la rampe, puis applique le théorème de Pythagore à ces valeurs plus grandes.

1. a) Développer entièrement les deux méthodes étape par étape et vérifier si elles conduisent au même résultat numérique, en mètres.
2. b) Si vous deviez résoudre cet exercice lors d'un contrôle sans calculatrice, laquelle des deux méthodes choisiriez-vous et pourquoi ? Justifier votre choix en analysant la difficulté des calculs et en vous appuyant sur les propriétés de l'agrandissement.

Les pompiers de Bordeaux disposent d'une échelle de secours de longueur fixe $6,5\text{ m}$. Pour accéder à un balcon, ils appuient l'extrémité supérieure sur la façade verticale d'un immeuble et posent le pied sur un trottoir horizontal, à une distance de $2,5\text{ m}$ du mur.

1. a) Modéliser la situation par un triangle rectangle et calculer à quelle hauteur de la façade arrive l'extrémité supérieure de l'échelle dans cette position initiale.
2. b) Pour dégager une piste cyclable, les pompiers rapprochent le pied de l'échelle de $0,9\text{ m}$ vers le mur (il se retrouve à $1,6\text{ m}$ de celui-ci). L'extrémité supérieure montera-t-elle le long du mur exactement des mêmes $0,9\text{ m}$ dont le pied a été rapproché ? Formuler une hypothèse justifiée avant de calculer, puis calculer la nouvelle hauteur atteinte pour la confronter.
3. c) Comparer la variation horizontale du pied et la variation verticale de la hauteur, et expliquer pourquoi, à cause de la relation quadratique du théorème de Pythagore ($a^2 + b^2 = c^2$), le déplacement horizontal et le déplacement vertical ne sont pas proportionnels et, en général, ne sont pas égaux.