Exercices: Applications du théorème de Pythagore

Un graphiste a une photographie rectangulaire de $10 \text{ cm}$ de large et $15 \text{ cm}$ de haut. S'il décide de l'agrandir pour faire une affiche dont la nouvelle largeur est de $40 \text{ cm}$, quelle sera la hauteur de l'affiche si les deux figures doivent être semblables ?

Sur le plan d'un lotissement, l'échelle utilisée est $1:500$. Si la piscine commune mesure $3 \text{ cm}$ de long sur le plan, quelle est sa longueur réelle exprimée en mètres ?

Deux carrés sont semblables. Le côté du premier mesure $4 \text{ cm}$ et le côté du second mesure $12 \text{ cm}$. Calculer le rapport d'agrandissement $k$ et expliquer combien de fois l'aire du second carré est plus grande que celle du premier.

À une heure donnée de la journée, un poteau vertical de $2 \text{ m}$ de hauteur projette une ombre de $1,5 \text{ m}$. Au même instant, l'ombre d'un pylône électrique voisin mesure $12 \text{ m}$. En appliquant le théorème de Thalès, calculer la hauteur du pylône.

Une tablette a un écran rectangulaire dont les dimensions sont $24 \text{ cm}$ de base et $7 \text{ cm}$ de hauteur. Calculer la mesure de sa diagonale en appliquant le théorème de Pythagore.

Le toit d'un abri de jardin a la forme d'un triangle isocèle. La base du triangle mesure $6 \text{ mètres}$ et les côtés égaux mesurent $5 \text{ mètres}$ chacun. Calculer la hauteur du toit.

Pour sécuriser une antenne radio, on a placé un hauban depuis son sommet jusqu'au sol. Si l'antenne mesure $12 \text{ m}$ de hauteur et que le câble est fixé au sol à une distance de $5 \text{ m}$ de la base, quelle est la longueur du câble ?

Calculer le périmètre d'un losange dont les diagonales mesurent $16 \text{ cm}$ et $12 \text{ cm}$. (Indice : rappelez-vous que les diagonales d'un losange sont perpendiculaires et se coupent en leur milieu, formant quatre triangles rectangles identiques).

Marc doit calculer le côté d'un panneau réfléchissant en forme de losange dont les diagonales mesurent $16\text{ cm}$ et $12\text{ cm}$. Pour le résoudre, il écrit dans son cahier : $l^2 = 16^2 + 12^2 = 256 + 144 = 400$, d'où il conclut que le côté mesure $l = \sqrt{400} = 20\text{ cm}$. Identifier l'erreur géométrique commise par Marc, expliquer pourquoi on ne peut pas appliquer directement le théorème de Pythagore avec ces données et calculer la valeur correcte du côté du losange.

Un carreau de terrasse a la forme d'un hexagone régulier de $10\text{ cm}$ de côté. Rappelez-vous que, dans un hexagone régulier, le rayon est exactement égal à la longueur du côté.

1. a) Avant tout calcul numérique, raisonner pour dire si l'apothème du carreau doit être plus grand, plus petit ou égal à $10\text{ cm}$, et estimer si sa valeur sera plus proche de $5\text{ cm}$ ou de $9\text{ cm}$. Justifier cette estimation en pensant à la relation entre les côtés de l'angle droit et l'hypoténuse.
2. b) Poser le triangle rectangle correspondant, calculer la longueur exacte de l'apothème en arrondissant au centième et vérifier si l'estimation initiale était correcte.

Un groupe d'élèves de 5e veut calculer la hauteur du panier de basket de la cour sans utiliser d'échelle. À un moment donné, Louis, qui mesure $1,60 \text{ m}$, projette une ombre de $0,80 \text{ m}$. Si, au même instant, l'ombre du panier mesure $1,52 \text{ m}$, quelle est la hauteur du panier ? Faire un schéma de la situation en identifiant les triangles semblables.

Vous pouvez le faire sur papier et envoyer une photo de votre réponse.

Sur le plan d'une chambre à l'échelle $1:50$, les dimensions d'un bureau rectangulaire sont $2,4 \text{ cm}$ de large et $3,6 \text{ cm}$ de long.

1. Calculer les dimensions réelles du bureau en mètres.

2. Si l'aire réelle de la chambre est de $12 \text{ m}^2$, quelle est l'aire occupée par la chambre sur le plan, exprimée en $\text{cm}^2$ ?

Manon a acheté une télévision de $50$ pouces. Sachant que $1$ pouce équivaut à $2,54 \text{ cm}$, la diagonale de l'écran mesure exactement $127 \text{ cm}$. Si la largeur de la télévision est de $110 \text{ cm}$, quelle est la hauteur de l'écran ? Utiliser le théorème de Pythagore et arrondir le résultat au dixième.

Une antenne de téléphonie de $12 \text{ m}$ de hauteur est maintenue au sol par deux haubans partant de son sommet. Chaque hauban est ancré à une distance de $5 \text{ m}$ de la base de l'antenne.

1. Quelle est la longueur totale de câble nécessaire pour maintenir l'antenne ?

2. Si l'on veut installer une autre antenne semblable de hauteur $18 \text{ m}$, à quelle distance de la base faudrait-il ancrer les câbles pour que la structure reste proportionnelle ?

Calculer le périmètre et l'aire d'un hexagone régulier dont le côté mesure $8 \text{ cm}$. Pour trouver l'aire, rappelez-vous qu'il faut d'abord calculer l'apothème à l'aide du théorème de Pythagore dans l'un des triangles équilatéraux qui forment l'hexagone.

Un menuisier conçoit une étagère en forme de triangle rectangle. Il a placé une tablette intermédiaire parallèle à la base. La hauteur totale de l'étagère est de $150 \text{ cm}$ et la base mesure $90 \text{ cm}$. Si la tablette intermédiaire est située à une hauteur de $60 \text{ cm}$ depuis la base :

1. Quelle est la longueur de cette tablette intermédiaire ?

2. Quelle est la longueur de la tringle inclinée qui forme l'hypoténuse de l'étagère complète ?

On a fabriqué une maquette d'un monument à l'échelle $1:250$. Si le monument réel a un volume de $1500 \text{ m}^3$, calculer le volume de la maquette en décimètres cubes ($\text{dm}^3$). Rappelez-vous la relation entre le rapport de réduction et le rapport des volumes.

Pour franchir un petit ravin dans un parcours d'aventure, on a installé une tyrolienne de $25 \text{ m}$ de longueur. Le point de départ est sur une tour à $18 \text{ m}$ de hauteur et le point d'arrivée est sur une autre plateforme à $3 \text{ m}$ de hauteur. Quelle est la distance horizontale qui sépare les deux structures ?

Dans une station de Météo-France dans les Alpes, on va installer un mât anémométrique vertical de $12\text{ m}$ de hauteur. Pour assurer sa stabilité face aux rafales de vent, il sera maintenu par deux haubans fixés depuis le sommet du mât jusqu'à deux points d'ancrage sur le sol horizontal. En raison du relief rocheux, le premier ancrage est placé à $5\text{ m}$ de la base du mât et le second ancrage, du côté opposé, est situé à $9\text{ m}$ de cette base. Sachant qu'il faut $25\text{ cm}$ supplémentaires à chacune des deux extrémités de chaque câble pour réaliser les fixations réglementaires, calculer combien de mètres de câble il faut acheter au total pour les deux haubans. Arrondir le résultat final à deux décimales.

Une entreprise de signalisation routière commande la conception d'un panneau d'avertissement en forme de losange dont le côté extérieur doit mesurer exactement $25\text{ cm}$.

1. a) Écrire l'équation qui relie la longueur de la grande diagonale ($D$), la petite diagonale ($d$) et le côté du losange à partir du théorème de Pythagore.
2. b) En procédant en sens inverse, proposer deux combinaisons différentes de nombres entiers positifs pour les longueurs complètes des diagonales ($D$ et $d$) qui donnent exactement un côté de $25\text{ cm}$. Justifier mathématiquement, par les calculs appropriés, pourquoi les deux propositions sont valables.

Un joueur veut ranger son clavier mécanique de $52\text{ cm}$ de long dans une caisse de transport qu'il a achetée. La caisse est un pavé droit dont les dimensions intérieures sont $48\text{ cm}$ de long, $18\text{ cm}$ de large et $10\text{ cm}$ de haut. Le clavier pourra-t-il rentrer dans la caisse s'il le place entre deux sommets opposés (la diagonale de l'espace) ? Calculer la longueur de la plus grande diagonale de l'intérieur de la caisse pour justifier la réponse.

Une entreprise de messagerie utilise des drones pour livrer des colis. Pour que l'atterrissage soit sûr sur un toit, le drone projette deux rayons laser qui forment un angle droit au niveau de l'émetteur. Le drone se trouve à une hauteur $h$ au-dessus du toit. Les points d'impact des lasers au sol sont alignés avec la verticale du drone et sont distants l'un de l'autre de $15,6\text{ m}$. Si l'un des points d'impact est à $3,9\text{ m}$ de la verticale du drone, calculer :

1. a) La hauteur $h$ à laquelle vole le drone en utilisant la relation de la hauteur dans le triangle rectangle.
2. b) La distance entre le drone et chacun des deux points d'atterrissage (les côtés de l'angle droit du triangle).

Pour un festival de cinéma, on a construit une maquette à l'échelle d'une pyramide régulière à base carrée. La pyramide réelle a un côté de base de $24\text{ m}$ et une hauteur de $16\text{ m}$. Si la maquette a été construite avec un rapport de réduction $k = 1:80$, calculer :

1. a) La longueur de l'arête latérale de la pyramide réelle (il faudra appliquer deux fois le théorème de Pythagore).
2. b) Le volume de la maquette en centimètres cubes, sachant que le volume d'une pyramide est $V = \frac{1}{3} \cdot \text{Aire de la base} \cdot \text{Hauteur}$. (Utiliser la relation $k^3$ pour le volume.)

Un panneau de signalisation a la forme d'un triangle équilatéral de $90\text{ cm}$ de côté. À l'intérieur, une bande rouge délimite un autre triangle équilatéral semblable. Si l'aire de la partie blanche (le triangle intérieur) est exactement la moitié de l'aire totale du panneau, quel est le rapport de réduction entre le petit triangle et le grand ? Quelle est la longueur du côté du triangle intérieur ? Arrondir à deux décimales.

Sur une place se trouve un mât vertical. À une distance de $12\text{ m}$ de sa base, un projecteur est posé au sol et éclaire. Un adolescent de taille $1,65\text{ m}$ se place entre le projecteur et le mât, à une distance de $3\text{ m}$ du projecteur.

1. a) Calculer la hauteur du mât sachant que l'ombre de la tête du garçon coïncide exactement avec le sommet du mât.
2. b) Si le garçon avance de $2\text{ m}$ vers le mât, quelle sera la longueur de son ombre projetée sur le mât lui-même ?

Le logo d'une nouvelle marque de vêtements est un losange inscrit dans un rectangle de $16\text{ cm}$ de long et $12\text{ cm}$ de large. Les sommets du losange sont les milieux des côtés du rectangle. Calculer :

1. a) Le périmètre du losange.
2. b) L'aire d'un second logo semblable au précédent dont le périmètre est le triple. Justifier comment l'aire change sans calculer les nouveaux côtés.

Un phare de $35\text{ m}$ de hauteur est situé sur une falaise verticale. Depuis un bateau en mer, on observe que la distance à la base du phare (le point où le phare commence sur la falaise) est de $100\text{ m}$ et que la distance au sommet du phare est de $110\text{ m}$. Calculer :

1. a) La hauteur de la falaise au-dessus du niveau de la mer.
2. b) La distance horizontale entre le bateau et la base de la falaise.

On veut installer un panneau solaire rectangulaire sur un toit incliné. Le toit a une inclinaison telle que, pour chaque $4\text{ m}$ d'avancée horizontale, il monte de $3\text{ m}$ en hauteur.

1. a) Calculer la longueur réelle du pan de toit qui couvre $8\text{ m}$ de distance horizontale.
2. b) Si le panneau solaire mesure $2\text{ m}$ de long et est posé en suivant la pente du toit, quelle hauteur verticale $h$ le panneau franchit-il entre son bord inférieur et son bord supérieur ? (Utiliser les triangles semblables.)

Un syndic de copropriété à Marseille va installer une rampe droite continue pour franchir un escalier extérieur composé de $4$ marches identiques. Chaque marche a un giron (profondeur horizontale) de $18\text{ cm}$ et une hauteur (contremarche) de $15\text{ cm}$. Pour commander la main courante inclinée qui longera toute la rampe, ils doivent connaître sa longueur totale. Deux personnes du conseil proposent des méthodes différentes :

• Méthode de Sonia : elle calcule l'hypoténuse d'une seule marche en appliquant le théorème de Pythagore à ses dimensions ($18\text{ cm}$ et $15\text{ cm}$) et multiplie le résultat obtenu par $4$.

• Méthode de Robert : il additionne d'abord les dimensions des $4$ marches pour trouver la base totale ($4 \cdot 18 = 72\text{ cm}$) et la hauteur totale ($4 \cdot 15 = 60\text{ cm}$), puis applique le théorème de Pythagore une seule fois dans le triangle rectangle global.

1. a) Développer les deux méthodes en détaillant les calculs avec deux décimales et vérifier si l'on obtient la même longueur totale.
2. b) Démontrer, à l'aide des triangles semblables, pourquoi les deux procédés sont mathématiquement équivalents.
3. c) Justifier laquelle des deux méthodes est la plus recommandée si l'on cherche à minimiser l'accumulation des erreurs d'arrondi lorsque les dimensions des marches ont des décimales inexactes.

Une maison individuelle à Clermont-Ferrand va rénover son toit symétrique à deux pans (de profil triangle isocèle) pour installer des panneaux solaires photovoltaïques. La façade horizontale de la maison mesure $8\text{ m}$ de large et le bâtiment a une longueur de $12\text{ m}$. Pour respecter la réglementation technique relative aux charges de neige et permettre une bonne évacuation de l'eau, la hauteur verticale du faîtage (le sommet du toit) doit être d'au moins $3\text{ m}$, mais ne peut pas dépasser $4,5\text{ m}$ à cause des restrictions d'urbanisme de la commune. L'architecte dispose de deux types de poutres en bois pour la pente du toit :

• Poutre A : de $4,5\text{ m}$ de longueur.

• Poutre B : de $5,5\text{ m}$ de longueur.

1. a) Identifier le triangle rectangle du profil du toit, calculer avec deux décimales la hauteur du faîtage obtenue avec chaque type de poutre et en déduire laquelle des deux options est la seule à respecter la réglementation technique.
2. b) Pour la poutre réglementaire, calculer l'aire totale de la toiture inclinée en additionnant les deux pans rectangulaires de la maison.
3. c) Les panneaux solaires sont rectangulaires et mesurent $2\text{ m}$ de long sur $1\text{ m}$ de large ; ils seront installés uniquement sur le pan orienté au sud (un rectangle de $12\text{ m}$ de profondeur sur la longueur de la poutre valide). Analyser comment il convient d'orienter les panneaux (à l'horizontale ou à la verticale par rapport au sol) pour ne pas dépasser les bords du toit et calculer le nombre maximal de panneaux entiers que l'on peut poser.