Exercices: Les nombres premiers

Dans un jeu vidéo de stratégie, vous devez classer des cristaux d'énergie selon leur pureté. Les cristaux portant des nombres premiers donnent de l'énergie supplémentaire, tandis que les nombres composés doivent être traités.

Classer les nombres suivants dans le tableau de votre cahier :

$11, 15, 23, 27, 31, 39, 42, 47, 51$

Pour ranger les étagères d'un CDI, le documentaliste utilise les critères de divisibilité. Sans poser de division, indiquer lesquels des nombres suivants sont divisibles par $3$ et lesquels le sont par $5$ :

1. a) $123$
2. b) $405$
3. c) $1\,020$
4. d) $715$

Le crible d'Ératosthène est une méthode ancienne pour trouver les nombres premiers en barrant les multiples des nombres précédents. Observer le graphique suivant des nombres de $1$ à $20$ :

Recopier la grille dans votre cahier et compléter le processus jusqu'au nombre $50$ afin d'identifier tous les nombres premiers inférieurs à $50$.

En cours de mathématiques, nous apprenons à décomposer les nombres en leurs éléments fondamentaux : les facteurs premiers. Décomposer en produit de facteurs premiers (à l'aide de la « barre verticale ») les nombres suivants :

1. a) $24$
2. b) $60$
3. c) $100$

Un programmeur crée une liste de tous les diviseurs du nombre $30$ pour un algorithme de sécurité.

Utiliser sa décomposition en facteurs premiers pour trouver tous ses diviseurs entiers naturels.

Une confiserie veut emballer $20$ sucettes à la fraise et $28$ au citron dans des sachets identiques, de façon que chacun contienne le plus grand nombre possible de sucettes, sans les mélanger. Pour cela, elle doit calculer le PGCD.

Sur la figure, chaque division des barres représente une sucette.

Calculer le PGCD de $20$ et $28$ et expliquer combien de sucettes il y aura dans chaque sachet.

Deux amis courent sur une piste circulaire. Léa met $8$ minutes pour faire un tour et Boris met $12$ minutes. S'ils partent ensemble de la ligne d'arrivée, combien de minutes s'écouleront avant qu'ils se retrouvent pour la première fois sur la ligne d'arrivée ?

Utiliser le PPCM pour résoudre le problème.

Saviez-vous que les nombres premiers sont utilisés pour créer des codes de sécurité sur internet ? Un code secret est un nombre premier supérieur à $40$ et inférieur à $50$. Quels nombres pourraient être le code ? Vérifier votre réponse à l'aide des critères de divisibilité.

Marc affirme en cours de mathématiques : « Le nombre $91$ est premier parce que j'ai vérifié qu'il n'est pas divisible par $2$ (il est impair), ni par $3$ (la somme de ses chiffres est $10$), ni par $5$ (il ne se termine ni par $0$ ni par $5$). Comme j'ai déjà essayé avec les premiers nombres premiers, il n'est pas nécessaire de continuer. »\na) Expliquer quel est le critère qui indique jusqu'à quel nombre premier il faut tester les divisions pour savoir avec certitude si un nombre $N$ est premier.\nb) Jusqu'à quel nombre premier Marc aurait-il dû tester pour le nombre $91$ ?\nc) Repérer l'erreur de Marc, expliquer pourquoi son raisonnement est faux et déterminer si $91$ est premier ou composé en justifiant la réponse par une division.

Avant de faire le moindre calcul par écrit, concentrez-vous sur le nombre $72$ :\na) Estimer : pensez-vous que $72$ aura plus ou moins de $8$ diviseurs ? Écrire au moins quatre diviseurs qui vous viennent immédiatement à l'esprit pour justifier votre estimation initiale.\nb) Calculer : effectuer la décomposition de $72$ en produit de facteurs premiers et appliquer la formule du nombre de diviseurs, $(a+1)(b+1)\dots$, pour trouver le nombre exact.\nc) Vérifier : comparer la valeur obtenue avec votre estimation et rédiger une brève conclusion expliquant si votre intuition initiale était juste et pourquoi un nombre inférieur à $100$ peut avoir autant de diviseurs.

Dans un jeu de stratégie en ligne, pour déverrouiller un coffre, il faut saisir une clé à quatre chiffres de la forme $52X4$. Si le système indique que la clé est un nombre divisible à la fois par $3$ et par $4$, quelles sont toutes les valeurs possibles du chiffre $X$ ? Justifier la réponse en appliquant les critères de divisibilité correspondants.

Une application de messagerie utilise un filtre de sécurité qui ne laisse passer que les messages dont l'identifiant est un nombre premier. Classer les identifiants suivants en nombres premiers ou nombres composés, en justifiant chaque décision par la recherche d'un diviseur différent de 1 et du nombre lui-même :

1. a) $119$
2. b) $131$
3. c) $143$
4. d) $151$
5. e) $203$

Observer l'arbre de facteurs incomplet suivant qui représente la décomposition d'un nombre entier naturel. Votre tâche est de le compléter, puis d'écrire la décomposition en produit de facteurs premiers de ce nombre à l'aide de puissances de facteurs premiers.

Dans une station de métro de Paris, trois lignes se croisent à $07:00$ du matin. La ligne $L1$ passe toutes les $12$ minutes, la ligne $L2$ toutes les $15$ minutes et la ligne $L5$ toutes les $20$ minutes. Sur la figure, on a marqué les passages de chaque ligne pendant les $40$ premières minutes à partir de $07:00$.

1. a) Combien de minutes doivent s'écouler pour que les trois lignes se croisent de nouveau pour la première fois ?

1. b) À quelle heure exacte aura lieu cette rencontre ?

Une banque alimentaire a reçu un don de $120$ boîtes de légumes secs, $150$ litres de lait et $72$ boîtes de conserve. Elle veut préparer le plus grand nombre possible de colis identiques à distribuer à des familles dans le besoin, sans qu'il reste aucun produit.

1. a) Combien de colis peut-elle préparer au maximum ?
2. b) Quelle quantité de chaque produit contiendra chacun de ces colis ?

On sait que le PGCD de deux nombres $a$ et $b$ est $\text{PGCD}(a ; b) = 15$ et que leur produit est $a \cdot b = 6750$. Utiliser la relation mathématique entre le produit de deux nombres et leurs diviseurs/multiples communs pour déterminer le PPCM de ces nombres sans avoir à les calculer séparément.

On appelle nombres premiers jumeaux les couples de nombres premiers qui ne sont séparés que par un nombre pair (c'est-à-dire dont la différence est $2$). Par exemple, $3$ et $5$ sont des nombres premiers jumeaux.

1. a) Trouver tous les couples de nombres premiers jumeaux inférieurs à $60$.
2. b) Le couple $(21, 23)$ est-il un couple de nombres premiers jumeaux ? Justifier la réponse.

Calculer la valeur numérique des nombres $A$ et $B$ à partir de leurs décompositions en facteurs premiers, puis déterminer le PPCM$(A ; B)$ et le PGCD$(A ; B)$.

$A = 2^{3} \cdot 3^{2} \cdot 5$

$B = 2^{2} \cdot 3 \cdot 5^{2}$

Indiquer si $A$ et $B$ sont premiers entre eux et expliquer pourquoi en s'appuyant sur le résultat du PGCD.

Pour vérifier si le nombre $173$ est premier, deux camarades de classe proposent deux stratégies différentes :\n- Stratégie de Lucie : diviser $173$ par tous les nombres impairs consécutifs à partir de $3$ jusqu'à atteindre la moitié du nombre ($86$), c'est-à-dire : $3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, \dots, 85$.\n- Stratégie de Guillaume : déterminer mentalement entre quels nombres entiers se situe $\sqrt{173}$ et essayer de diviser $173$ uniquement par les nombres premiers inférieurs ou égaux à cette racine.\na) Comparer les deux stratégies et justifier pourquoi celle de Guillaume économise du travail sans perdre en fiabilité. En particulier, expliquer pourquoi il n'est pas nécessaire de tester avec des nombres composés comme $9$ ou $15$, et pourquoi on peut s'arrêter sans risque à la racine carrée.\nb) Appliquer la stratégie de Guillaume en effectuant les divisions nécessaires et conclure si $173$ est premier ou composé.

Dans une commune du département de la Creuse, la liste électorale d'un bureau de vote annexe compte exactement $105$ électeurs convoqués pour des élections locales. Le coordinateur doit répartir les électeurs en groupes ou en créneaux horaires comptant exactement le même nombre de personnes, avec les conditions suivantes : dans chaque créneau, il y a plus d'un électeur et on ne fait pas un unique créneau avec tous les électeurs.\na) Décomposer $105$ en produit de facteurs premiers et utiliser la formule $(a+1)(b+1)(c+1)\dots$ pour calculer combien il a de diviseurs au total.\nb) Déduire combien de façons différentes il existe d'organiser les créneaux selon les conditions du coordinateur et écrire tous les couples possibles (nombre de créneaux, électeurs par créneau).\nc) Si, à la dernière minute, $4$ personnes de plus s'inscrivent et que la liste passe à $109$ électeurs, serait-il possible d'organiser des créneaux égaux avec les mêmes conditions ? Appliquer la méthode des nombres premiers jusqu'à $\sqrt{N}$ pour vérifier si $109$ est premier et justifier les conséquences sur l'organisation.

Un expert en cybersécurité conçoit un système de chiffrement pour une application de messagerie. La clé de sécurité principale est un nombre $N$ obtenu en multipliant un couple de nombres premiers jumeaux compris entre $100$ et $110$. Cependant, en vérifiant la liste, il s'aperçoit que dans cet intervalle il y a deux couples de nombres premiers jumeaux, donc le choix n'est pas unique. Pour résoudre le problème, il décide que la clé sera le produit des deux nombres premiers les plus proches de $105$ (l'un en dessous et l'autre au-dessus).

Déterminer ces deux nombres premiers, vérifier en justifiant qu'ils sont bien premiers grâce à la méthode de la racine carrée, puis calculer la valeur de la clé de sécurité $N$.

Lors d'une démonstration de gymnastique rythmique, un groupe de $p$ gymnastes est présent. Le chorégraphe essaie de placer les sportives en lignes et en colonnes pour former un rectangle parfait, mais constate que la seule façon d'y parvenir est de les mettre toutes sur une seule ligne. Quand on ajoute une gymnaste au groupe, le nombre total de personnes $(p+1)$ devient un nombre qui a exactement 8 diviseurs.

Sachant que $40 < p < 60$, déterminer toutes les valeurs possibles de $p$, démontrer que $p$ est un nombre premier et trouver toutes les façons possibles de disposer le groupe de $(p+1)$ gymnastes en rectangles de plus d'une ligne.

La conjecture de Goldbach affirme que tout nombre pair supérieur à 2 peut s'écrire comme la somme de deux nombres premiers. Votre tâche est d'étudier cette conjecture pour le nombre $120$.

Chercher et écrire tous les couples de nombres premiers dont la somme est exactement $120$. Pour démontrer que les nombres choisis sont bien premiers, choisir le couple dont les deux termes sont les plus éloignés l'un de l'autre et appliquer, pour chacun d'eux, les critères de divisibilité par les nombres premiers inférieurs à $\sqrt{n}$.

Un architecte conçoit une place circulaire et veut placer des lampadaires sur son bord. Le nombre de lampadaires doit être un nombre premier $n$. Pour que l'éclairage soit esthétique, l'architecte a découvert que si l'on retire 1 au nombre de lampadaires $(n-1)$, le résultat doit être un nombre dont la décomposition en produit de facteurs premiers est $2^3 \cdot 3^2$.

Calculer la valeur de $n$, justifier pourquoi c'est un nombre premier et représenter dans un arbre la décomposition en facteurs du nombre composé $(n-1)$.

Vous pouvez le faire sur papier et envoyer une photo de votre réponse.

On dit qu'un nombre entier naturel est « spécial » s'il est le produit de trois nombres premiers distincts et inférieurs à $20$. Un exemple serait $2 \cdot 3 \cdot 5 = 30$.

Déterminer le plus grand nombre « spécial » possible et le plus petit possible. Ensuite, trouver combien de diviseurs possède chacun de ces deux nombres sans avoir à les énumérer tous, en utilisant uniquement les exposants de leur décomposition en facteurs premiers.

Déterminer les valeurs du chiffre $X$ pour que le nombre $35X1$ soit un nombre premier. Pour cela, suivre ces étapes :

1. Appliquer les critères de divisibilité pour écarter les valeurs de $X$ qui le rendent divisible par $3$ ou $11$.

2. Parmi les valeurs restantes, utiliser la méthode de la racine carrée pour vérifier lesquelles donnent un nombre premier. Remarquer qu'il suffit de tester la divisibilité par les nombres premiers jusqu'à la partie entière de $\sqrt{35X1}$.

Deux comètes passent près de la Terre de façon périodique. La comète A passe tous les $p$ ans, où $p$ est un nombre premier. La comète B passe tous les $q$ ans, où $q$ est le nombre premier qui suit $p$. Aujourd'hui, la comète A passe, et l'on sait que la dernière fois qu'elles ont coïncidé remonte à $77$ ans et que c'était la première fois qu'on les voyait ensemble depuis que l'histoire en garde la trace.

Si $p$ et $q$ sont des nombres à deux chiffres, déterminer de quels nombres il s'agit et calculer combien d'années devront s'écouler avant qu'elles coïncident de nouveau.

Considérer les nombres entiers naturels compris entre $90$ et $100$.

1. a) Les classer en nombres premiers et nombres composés.
2. b) Parmi les nombres composés, indiquer lequel possède le plus grand nombre de diviseurs distincts.
3. c) Existe-t-il dans cet intervalle un nombre qui soit le résultat de l'élévation d'un nombre premier à une puissance supérieure à 1 ? Justifier la réponse.

Un nombre entier naturel $N$ possède exactement $8$ diviseurs et, dans sa décomposition en facteurs premiers, n'apparaissent que $2$ et $3$.\na) Sachant que la formule du nombre de diviseurs est $(a+1)(b+1) = 8$, déterminer quels couples d'exposants entiers naturels non nuls $(a, b)$ peuvent avoir $2$ et $3$ pour que le résultat soit exactement $8$.\nb) À partir des couples trouvés, écrire les décompositions en facteurs premiers possibles et calculer les valeurs numériques que peut prendre le nombre $N$.\nc) Lequel de ces nombres est le plus petit ? Expliquer en justifiant l'influence de la position du plus grand exposant sur la plus petite base ($2$) ou sur la plus grande base ($3$) pour obtenir la valeur la plus petite possible.

Analyser la relation qui existe entre les exposants de la décomposition en facteurs premiers d'un nombre entier naturel et le nombre total de ses diviseurs :\na) Un nombre entier naturel est un « carré parfait » s'il est le carré d'un autre nombre entier naturel (par exemple, $36 = 6^2$). Démontrer, en utilisant la formule $(a+1)(b+1)\dots$, pourquoi tout carré parfait a obligatoirement un nombre impair de diviseurs, alors que les nombres qui ne sont pas des carrés parfaits ont un nombre pair de diviseurs.\nb) En procédant en sens inverse, déterminer le plus petit nombre entier naturel qui possède exactement $9$ diviseurs. Montrer étape par étape comment vous déduisez quels facteurs premiers et quels exposants il doit avoir pour être le plus petit possible.\nc) Vérifier si le nombre obtenu à la question b) est ou non un carré parfait et justifier en quoi ce fait est cohérent avec votre démonstration de la question a).