Exercices: Paramètres statistiques

Pour réaliser une étude sur les habitudes de consommation des adolescents sur un réseau social, on a analysé les profils de $50$ élèves d'un lycée. Classer les caractères statistiques suivants, obtenus dans l'étude, comme qualitatifs ou quantitatifs (en indiquant s'ils sont discrets ou continus) :

• a) Marque du téléphone portable utilisé.

• b) Nombre de « j'aime » reçus sur la dernière publication.

• c) Temps total (en minutes) d'utilisation de l'application au cours de la journée.

• d) Thème principal des vidéos visionnées (sport, humour, musique, etc.).

Un groupe d'amis a noté le nombre de messages WhatsApp non lus à la fin de la journée. Les données obtenues sont :

Calculer le mode de cette série et expliquer brièvement ce que représente cette valeur dans le contexte de l'exercice.

Le tableau suivant montre le nombre de livres lus par les élèves d'une classe de 4e au cours du premier trimestre :

Calculer la moyenne du nombre de livres lus par élève.

Sept élèves ont chronométré le temps qu'ils mettent (en secondes) pour résoudre un Rubik's Cube. Les temps relevés sont :

Calculer la médiane de ces temps. Penser à ranger d'abord les données dans l'ordre croissant.

Lors d'une enquête sur le parfum de glace préféré à la cafétéria du collège, on a obtenu les résultats présentés dans le graphique suivant :

À partir du diagramme en barres, identifier le mode et calculer l'étendue des effectifs des parfums.

Vous pouvez le faire sur papier et envoyer une photo de votre réponse.

On a mesuré la taille (en centimètres) des six joueurs titulaires d'une équipe de basket scolaire :

Calculer la médiane des tailles. Le nombre de données étant pair, rappeler comment procéder avec les deux valeurs centrales.

Un jeune économise chaque semaine des sommes différentes. Pendant les $5$ dernières semaines, ses économies ont été :

• a) Calculer la moyenne de ses économies.

• b) Calculer la médiane.

• c) Selon vous, lequel des deux paramètres représente le mieux l'économie « normale » de ce jeune ? Justifier la réponse en mentionnant l'effet de la valeur $54€$.

Durant une semaine de printemps, la température minimale relevée dans une ville a été de $14\ ^\circ\text{C}$ (lundi) et la maximale de $22\ ^\circ\text{C}$ (samedi). Calculer l'étendue des températures sur cette période.

Les températures maximales relevées pendant une semaine d'avril à Toulouse ont été : $22$, $25$, $19$, $24$, $27$, $26$ et $21$ °C. Calculer l'étendue des températures de cette semaine.

Les âges des membres d'un club de robotique sont : $12$, $13$, $12$, $14$, $13$, $12$ et $15$ ans. Calculer la moyenne, la médiane et l'étendue des âges.

Les notes des $5$ derniers contrôles d'anglais de Salma sont : $6$, $7$, $8$, $5$ et $9$.

a) Calculer la moyenne des notes.

b) Calculer l'écart de chaque note par rapport à la moyenne (en valeur absolue) et l'écart moyen.

Dans deux classes de 4e, on a relevé le temps (en minutes) que mettent les élèves pour arriver au collège. En 4e A, les temps vont de $5$ à $40$ minutes et en 4e B, ils vont de $15$ à $25$ minutes.

a) Calculer l'étendue des temps de chaque classe.

b) Dans quelle classe les temps sont-ils les plus proches les uns des autres ? Pourquoi ?

Lucas a noté les buts marqués par son équipe de futsal lors des $6$ derniers matchs du championnat scolaire : $1$, $5$, $0$, $4$, $2$, $6$.

Pour analyser les performances de l'équipe, Lucas affirme dans son cahier :

« Comme il y a $6$ données, les deux valeurs du milieu sont $0$ et $4$. Donc la médiane est $(0 + 4) / 2 = 2$ buts. De plus, l'étendue est $6 - 1 = 5$ buts parce que $0$ ne compte pas comme un but marqué ».

a) Trouver et expliquer de façon argumentée les deux erreurs conceptuelles commises par Lucas.

b) Corriger son travail en calculant correctement la moyenne, la médiane et l'étendue des buts de l'équipe.

Écrire une série de $5$ nombres entiers (représentant le nombre de livres lus durant la dernière année scolaire par $5$ élèves de 4e) qui vérifie simultanément toutes ces conditions :

1. Le mode est $3$.

2. La médiane est $4$.

3. La moyenne est exactement $5$.

4. L'étendue des données est $6$.

Expliquer en détail le raisonnement suivi pour déduire chacune des cinq valeurs et justifier s'il existe une seule combinaison possible de nombres ou si plusieurs solutions différentes sont possibles.

Un groupe d'amis a noté le nombre d'heures hebdomadaires qu'ils consacrent aux jeux vidéo en ligne. Les données obtenues sont les suivantes :

$12, 15, 9, 12, 18, 20, 12, 14, 15, 10$

Calculer les paramètres de position : la moyenne ($\bar{x}$), la médiane ($Me$) et le mode ($Mo$).

Une application de santé a enregistré les pas quotidiens (en milliers) d'une adolescente au cours des deux dernières semaines :

$8, 10, 12, 8, 9, 11, 15, 8, 10, 12, 14, 8, 9, 10$

Représenter ces données dans un tableau d'effectifs et calculer :

1. a) L'étendue de la série.
2. b) L'écart moyen ($DM$) par rapport à la moyenne.

Lors d'un entraînement de basket-ball, on a relevé le nombre de tirs à trois points réussis par chaque joueur sur 25 tentatives. Les résultats sont présentés dans le graphique suivant :

À partir du diagramme en barres :

1. a) Dresser le tableau des effectifs.
2. b) Calculer la moyenne, la médiane et le mode du nombre de tirs à trois points réussis.

Vous pouvez le faire sur papier et envoyer une photo avec votre réponse.

On a réalisé une étude sur l'autonomie de la batterie (en heures) de deux modèles différents de smartphones, $A$ et $B$, en effectuant 10 tests avec chacun.

Modèle $A$ : $14, 15, 16, 14, 15, 16, 15, 14, 15, 16$

Modèle $B$ : $10, 20, 15, 12, 18, 11, 19, 15, 14, 16$

1. a) Calculer la moyenne des deux modèles. Que remarquez-vous ?
2. b) Calculer l'étendue et l'écart moyen de chaque modèle.
3. c) Si vous deviez en acheter un en vous basant sur la fiabilité de l'autonomie, lequel choisiriez-vous et pourquoi ?

On présente ci-dessous un diagramme en boîte (box-plot) qui représente les notes obtenues par les élèves d'une classe à un examen de rattrapage :

Observer le graphique et identifier les paramètres de position suivants :

1. a) Valeur minimale et valeur maximale.
2. b) Premier quartile ($Q_1$), médiane ($Me$) et troisième quartile ($Q_3$).
3. c) Quel pourcentage d'élèves a obtenu une note supérieure à $8$ ?

Aïcha a passé 4 contrôles de mathématiques ce trimestre et ses notes ont été : $6,5$ ; $8,2$ ; $7,4$ et $9,1$.

1. a) Quelle est sa moyenne actuelle ?
2. b) S'il reste un dernier contrôle, quelle note Aïcha doit-elle obtenir pour que sa moyenne finale soit exactement de $8,0$ ?

Lors d'une enquête sur la couleur préférée des élèves de 4e, on a obtenu les résultats suivants :

1. a) Quel type de caractère statistique étudie-t-on ?
2. b) Calculer, si c'est possible, la moyenne, la médiane et le mode. Si un paramètre ne peut pas être calculé, expliquer pourquoi.

Calculer la moyenne et le mode de la série suivante de données regroupées en classes, qui correspondent au poids (en kg) des membres d'une équipe de judo :

Les buts marqués par une équipe de futsal lors de ses $5$ derniers matchs ont été : $2$, $5$, $1$, $4$ et $3$.

a) Calculer la moyenne de buts par match.

b) Calculer la variance et l'écart type, en arrondissant au centième.

Deux joueurs de basket-ball ont marqué lors de leurs $6$ derniers matchs :

• Joueur A : $7$, $8$, $8$, $9$, $6$, $10$ points

• Joueur B : $2$, $14$, $5$, $11$, $9$, $7$ points

a) Vérifier que les deux joueurs ont la même moyenne de points.

b) Calculer l'étendue des points marqués par chacun.

c) L'entraîneur a besoin d'un joueur régulier pour le prochain match. Lequel choisiriez-vous ? Pourquoi ?

Deux athlètes s'entraînent sur $100$ mètres plat et enregistrent leurs temps avec leur montre connectée. Leurs $5$ derniers temps, en secondes, sont :

• Mei : $13,2$ ; $13,0$ ; $13,1$ ; $13,2$ ; $13,0$

• Léa : $12,6$ ; $13,8$ ; $12,9$ ; $13,4$ ; $12,8$

a) Calculer la moyenne et l'étendue des temps de chaque athlète.

b) Calculer l'écart type de chacune, en arrondissant au centième.

c) L'entraîneur doit choisir l'une des deux pour la finale et recherche la régularité. Qui choisiriez-vous ? Justifier la réponse.

Les notes de $11$ élèves à un examen ont été : $5$, $7$, $3$, $8$, $6$, $9$, $4$, $7$, $5$, $6$ et $10$.

a) Ranger les notes dans l'ordre croissant et calculer la médiane.

b) Calculer le premier et le troisième quartile.

c) Entre quelles valeurs se concentrent, approximativement, les $50\%$ centraux des notes ?

Les diagrammes de points montrent les points marqués par deux joueuses lors de leurs $6$ derniers matchs.

a) Calculer la moyenne de points de chaque joueuse.

b) Calculer l'étendue de chacune.

c) D'après les graphiques et les calculs, laquelle des deux est la plus régulière ? Expliquer ce que cela signifie.

Pour étudier la dispersion de ses notes ($5$, $6$, $7$ et $8$), un élève soustrait la moyenne à chaque donnée et obtient : $-1,5$ ; $-0,5$ ; $0,5$ et $1,5$. Comme la somme de ces différences est $0$, il affirme : « L'écart type est $0$, donc mes notes ne sont pas du tout dispersées. »

a) Expliquer l'erreur commise dans son raisonnement.

b) Calculer correctement l'écart type des quatre notes, en arrondissant au centième.

Deux joueuses de basket-ball d'une équipe de minimes, Lucie et Manon, ont marqué les points suivants lors de leurs $5$ derniers matchs :

• Lucie : $14$, $15$, $16$, $17$, $18$

• Manon : $8$, $12$, $16$, $20$, $24$

a) Vérifier rapidement que les deux joueuses ont exactement la même moyenne de points.

b) Sans calculer encore l'écart moyen ($DM$), observer la répartition des données autour de la moyenne et estimer de façon argumentée laquelle des deux joueuses aura un $DM$ plus grand. Quelle valeur pensez-vous approximativement que prendra le $DM$ de chacune ?

c) Calculer de façon exacte l'étendue et l'écart moyen ($DM$) des deux joueuses.

d) Comparer vos résultats avec votre estimation préalable et expliquer laquelle des deux joueuses est la plus régulière. Pourquoi, en sport, la moyenne seule ne suffit-elle pas pour juger de la régularité d'un sportif ?

À partir de données météorologiques relevées par Météo-France lors d'une semaine de printemps, on a obtenu les températures maximales quotidiennes suivantes (en $^\circ\text{C}$) dans deux villes françaises :

• Nantes : $15$, $17$, $16$, $18$, $14$

• Toulouse : $12$, $29$, $15$, $30$, $24$

a) Calculer pour chacune des deux villes la moyenne, la médiane et l'étendue des températures maximales.

b) Calculer l'écart moyen ($DM$) des températures des deux villes.

c) Interpréter les paramètres obtenus : si une personne doit préparer une valise pour voyager cette semaine-là et qu'on ne l'informe que de la température moyenne, dans laquelle des deux villes est-il le plus probable qu'elle ait un froid ou une chaleur imprévus ? Justifier la réponse en indiquant quel paramètre statistique de dispersion décrit le mieux cette situation.

Un streamer bien connu analyse les vues de ses 5 dernières vidéos. La moyenne des vues des 4 premières vidéos est de $12\,500$ personnes. S'il veut que la moyenne des 5 vidéos monte à $15\,000$ vues afin d'attirer un nouveau sponsor, combien de vues doit-il obtenir au minimum pour sa cinquième vidéo ? Expliquer la démarche en précisant s'il est possible que la médiane des vues soit supérieure à la moyenne dans ce cas.

Lors d'une compétition d'e-sport, deux équipes, la « Team Alpha » et la « Team Beta », ont obtenu les temps de réponse suivants (en millisecondes) lors d'une épreuve de réflexes. Les données sont présentées dans les diagrammes en boîte suivants :

À partir des graphiques :

1. a) Quelle équipe a le temps de réponse médian le plus bas ?
2. b) Laquelle des deux équipes est la plus « régulière » dans ses réflexes ? Justifier votre réponse à l'aide de l'écart interquartile.
3. c) Si, pour gagner la compétition, on valorise le fait de ne jamais dépasser $200$ ms, quelle équipe a les meilleures chances ?

Un groupe de 10 amis a un âge moyen d'exactement $14$ ans. Lorsque le frère aîné de l'un d'eux rejoint le groupe, la moyenne passe à $15$ ans.

1. a) Calculer l'âge du frère aîné.
2. b) Si une fille de $10$ ans rejoint ensuite le groupe, quelle sera la nouvelle moyenne du groupe de 12 personnes ?
3. c) Est-il possible qu'après l'arrivée de la fille, la médiane du groupe soit toujours $14$ ? Donner un exemple d'âges des 10 amis d'origine qui vérifie cette condition.

On a réalisé une enquête sur le temps quotidien (en minutes) que les adolescents d'un collège passent sur les réseaux sociaux. Les données ont été regroupées dans le tableau suivant :

Sachant que le temps moyen d'utilisation est de $57$ minutes :

1. a) Calculer la valeur de $x$ (effectif de la classe $[60 ; 90[$).
2. b) Déterminer le mode (classe modale) et la médiane (classe médiane) de la série.
3. c) Quel pourcentage d'élèves consacre $90$ minutes ou plus aux réseaux sociaux ?

Deux joueuses de basket-ball, Lucie et Marie, ont marqué les nombres de points suivants lors de leurs 6 derniers matchs :

• Lucie : $18, 22, 20, 19, 21, 20$

• Marie : $10, 35, 5, 40, 12, 18$

1. a) Calculer la moyenne de points de chaque joueuse.
2. b) Calculer l'étendue et l'écart moyen des deux joueuses.
3. c) Si l'entraîneur cherche une joueuse fiable qui assure un nombre de points constant, même s'il n'est pas très élevé, laquelle devrait-il choisir ? Justifier la réponse en comparant leur dispersion.

L'histogramme suivant montre la répartition des notes obtenues à un examen de rattrapage par 40 élèves. Cependant, l'axe des effectifs a été partiellement effacé.

Sachant que le nombre total d'élèves est $40$ et que les hauteurs des barres sont proportionnelles aux effectifs :

1. a) Déterminer l'effectif de chaque classe.
2. b) Calculer la note moyenne estimée en utilisant les centres des classes.
3. c) Si pour réussir il faut obtenir $5$ et que l'on suppose les notes réparties de façon uniforme dans chaque classe, quel pourcentage estimé d'élèves a échoué à l'examen ?

Vous pouvez le faire sur papier et envoyer une photo avec votre réponse.

On considère un ensemble de 5 nombres entiers positifs. On sait que :

• La moyenne est $10$.

• La médiane est $12$.

• Le mode est $15$ et il est unique.

• L'étendue est $12$.

Trouver les 5 nombres qui forment cet ensemble. Expliquer les étapes logiques suivies pour les déduire.

Dans une entreprise de développement d'applications, les salaires des 10 employés sont les suivants : huit employés gagnent $1\,500\ €$ par mois, le directeur adjoint gagne $4\,000\ €$ et le directeur gagne $7\,000\ €$.

1. a) Calculer la moyenne, la médiane et le mode des salaires.
2. b) Le directeur affirme : « Le salaire moyen dans notre entreprise est de $2\,300\ €$, nous sommes très généreux. » Un employé répond : « La plupart d'entre nous ne gagnent que $1\,500\ €$. » Expliquer, à l'aide des paramètres calculés, pourquoi tous deux disent la vérité tout en donnant des impressions si différentes.
3. c) Lequel des trois paramètres statistiques représente le mieux la réalité de ce que gagne un employé typique de cette entreprise ? Justifier votre choix.

Hugo compare deux applications de transport pour aller au collège. Lors de ses $8$ derniers trajets, les temps d'attente en minutes ont été :

• Appli A : $4$, $6$, $5$, $7$, $5$, $6$, $4$, $7$

• Appli B : $2$, $9$, $3$, $10$, $4$, $8$, $3$, $5$

a) Calculer le temps d'attente moyen de chaque application.

b) Calculer l'écart type de chacune, en arrondissant au centième.

c) Si Hugo dispose d'exactement $10$ minutes chaque matin, quelle application lui recommanderiez-vous ? Justifier la réponse à l'aide de la moyenne et de la dispersion.

Les graphiques montrent les points marqués par deux équipes de basket-ball lors de leurs $6$ derniers matchs.

a) Calculer la moyenne de points de chaque équipe.

b) Calculer l'étendue et l'écart type de chaque équipe, en arrondissant au centième.

c) Un commentateur affirme : « Les deux équipes ont les mêmes performances, car elles ont la même moyenne. » Êtes-vous d'accord ? Argumenter la réponse à l'aide des indicateurs de dispersion.

Les tailles de $5$ amis sont : $160$, $165$, $170$, $168$ et $162$ cm.

a) Calculer la moyenne et l'étendue des tailles.

b) Un sixième ami rejoint le groupe et la moyenne ne change pas. Quelle est la taille du nouvel ami ?

c) Écrire deux tailles possibles pour le nouvel ami qui auraient fait augmenter l'étendue, et calculer la nouvelle étendue dans chaque cas.

Le nombre de livres lus ce trimestre par les $20$ élèves d'une classe est donné par ce tableau :

a) Calculer le nombre moyen de livres lus.

b) Calculer la variance et l'écart type, en arrondissant au centième.

Justifier si ces affirmations sont vraies ou fausses, en donnant des exemples si nécessaire :

a) Si deux séries de données ont la même moyenne, elles ont la même dispersion.

b) L'écart type ne peut pas être négatif.

c) Si toutes les données d'une série sont égales, son écart type est $0$.

d) Si l'on ajoute à une série une donnée égale à sa moyenne, l'étendue ne change pas.

Le tableau montre les températures moyennes mensuelles (en °C) de la dernière année dans deux villes côtières :

a) Calculer la température moyenne annuelle de chaque ville.

b) Calculer l'étendue des températures de chacune.

c) Une famille veut déménager dans une ville « sans températures extrêmes ». Laquelle lui recommanderiez-vous ? Justifier la réponse avec les données calculées.

Dans une petite entreprise de développement de logiciels en France, $8$ personnes travaillent. Leurs salaires nets mensuels (en euros) sont les suivants :

Le dernier salaire correspond à la directrice générale et fondatrice de l'entreprise. La direction veut recruter un nouveau programmeur et rédiger une offre indiquant le « salaire représentatif » du personnel.

a) Calculer la moyenne, la médiane et le mode des salaires des employés.

b) La direction propose de publier dans l'offre la moyenne, tandis que le représentant syndical exige de publier la médiane. Comparer les deux méthodes et justifier de façon critique laquelle des deux reflète le plus fidèlement le salaire typique de la majorité des employés.

c) Si la directrice décide d'augmenter son salaire le mois prochain à $8\,500\text{ \euro}$ alors que les autres salaires restent inchangés, expliquer sans calcul quel paramètre (entre la moyenne et la médiane) va changer et lequel restera inchangé. Quelle propriété fondamentale de la médiane cette situation illustre-t-elle ?

Lors d'un essai clinique réalisé dans un hôpital français, on a mesuré les temps de réaction (en millisecondes) à un stimulus chez un groupe de $5$ patients, ce qui a donné les relevés suivants :

a) Calculer la moyenne $\bar{x}$, l'étendue et l'écart moyen ($DM$) de ce groupe initial de patients.

b) Un sixième patient va être intégré à l'essai. Quelle valeur exacte son temps doit-il avoir pour que la moyenne du groupe reste inchangée à $220\text{ ms}$ ? Justifier comment vous la déduisez.

c) Si l'on intègre ce sixième patient avec la valeur obtenue à la question b), expliquer si le nouvel écart moyen va augmenter, diminuer ou rester identique par rapport à l'écart initial, avant de faire le calcul. Ensuite, calculer le nouvel écart $DM$ pour vérifier votre prédiction.

d) Supposons maintenant qu'à partir des $5$ patients d'origine, on veuille ajouter un sixième patient de sorte que l'étendue des temps augmente exactement jusqu'à $35\text{ ms}$. Déduire les deux valeurs possibles du temps de ce sixième patient pour que cela se produise.

Défi du thème. Comment la température maximale a-t-elle évolué dans votre département au cours des deux dernières semaines ? Devenez analyste climatique pour élaborer un véritable bulletin météorologique.

1. Recueil des données : Rendez-vous sur le site de Météo-France (ou un historique météorologique officiel) et relevez la température maximale quotidienne ($T$) de votre commune lors des $14$ derniers jours. Définir avec précision la population, l'échantillon et le type de caractère statistique.

2. Organisation : Construire dans un tableur (ou GeoGebra) un tableau complet des effectifs : effectifs, fréquences, pourcentages et effectifs cumulés.

3. Traitement statistique : Réaliser le graphique le plus représentatif (diagramme en barres ou polygone) et calculer les paramètres de position et de dispersion : moyenne ($\bar{x}$), médiane ($Me$), mode ($Mo$) et étendue. Exprimer les décimales avec une virgule (par exemple, $18,5$ °C).

4. Rapport final : Rédiger un bref rapport argumenté (une demi-page) dans lequel vous analysez si la moyenne est représentative face aux valeurs extrêmes et proposez une mesure pratique d'économie d'énergie pour les ménages en fonction des données obtenues.

Seront évalués :

• La rigueur dans la définition des notions et l'exactitude du tableau des effectifs.

• Le calcul correct des paramètres statistiques ($\bar{x}$, $Me$, $Mo$, étendue) et la pertinence du graphique.

• La capacité critique à interpréter les résultats et à justifier la proposition finale.