Exercices: Solides de révolution

Imaginer que l'on colle les figures planes suivantes sur un bâtonnet et qu'on les fait tourner rapidement autour de lui. Identifier quel solide de révolution est engendré dans chaque cas :

1. a) Un rectangle qui tourne autour de l'un de ses côtés.
2. b) Un triangle rectangle qui tourne autour de l'un des côtés de l'angle droit.
3. c) Un demi-disque qui tourne autour de son diamètre.

Sur le dessin de cône suivant, identifier le nom des éléments désignés par les lettres $r$, $h$ et $g$. Expliquer brièvement ce que représente chacun d'eux.

Une canette cylindrique a une hauteur de $12$ cm et le rayon de sa base mesure $3$ cm. Dessiner de façon schématique son patron (les figures obtenues si l'on découpait la canette et l'étalait sur une table) et indiquer les dimensions connues sur le dessin.

Vous pouvez le faire sur papier et envoyer une photo de votre réponse.

Pour fabriquer un chapeau de fête en forme de cône, il faut connaître sa génératrice ($g$). Si le chapeau a une hauteur de $8$ cm et un rayon de base de $6$ cm, utiliser le théorème de Pythagore pour calculer la longueur de la génératrice.

Calculer le volume d'une boule de bowling (qui est une boule parfaite) sachant que son rayon mesure $11$ cm. Utiliser la formule $V = \frac{4}{3} \cdot \pi \cdot r^3$ et prendre pour valeur de $\pi \approx 3,14$.

Un tube de balles de tennis a la forme d'un cylindre. La base a un diamètre de $7$ cm et la hauteur du tube est de $22$ cm. Calculer l'aire latérale du tube (sans compter les couvercles).

Identifier lequel de ces patrons ne pourrait jamais former un cylindre et expliquer pourquoi.

On considère un cylindre et un cône droits. Sur la figure apparaissent, en pointillés orange, une coupe horizontale (parallèle à la base) et, en pointillés rouges, une coupe verticale passant par le centre des bases (l'axe du solide).

1. a) Si l'on effectue la coupe horizontale (parallèle à la base) d'un cylindre et d'un cône, quelle figure plane obtient-on pour la section dans chacun ?

1. b) Obtient-on la même figure dans chaque solide si la coupe est verticale et passe par le centre des bases ? Indiquer quelle figure on obtient dans le cylindre et laquelle dans le cône.

Marcos veut construire en carton un chapeau de fête en forme de cône pour la fête de fin d'année de son collège. Dans son cahier, il écrit : « Comme le cône est engendré par la rotation d'un triangle rectangle autour d'un des côtés de l'angle droit, pour faire la surface latérale je découperai un triangle isocèle dont la base mesure la longueur du cercle de base et dont la hauteur est celle du cône ; puis je joindrai les deux côtés égaux ». Expliquer de façon argumentée quelle erreur géométrique commet Marcos et ce qui se passerait s'il essayait d'enrouler ce triangle. Ensuite, nommer la figure plane qui constitue réellement le patron latéral d'un cône et expliquer quel élément du cône (rayon, hauteur ou génératrice) coïncide avec le rayon de cette figure plane.

En décollant avec soin l'étiquette en papier qui enveloppe entièrement et sans chevauchement la paroi latérale d'une boîte cylindrique de sauce tomate, on constate qu'elle a la forme d'un rectangle de $31,4\text{ cm}$ de base et $10\text{ cm}$ de hauteur. Sachant que ce cylindre est engendré par la rotation d'un rectangle autour d'un axe qui coïncide avec l'un de ses côtés, déduire de façon argumentée les dimensions exactes (base et hauteur) de ce rectangle générateur d'origine (prendre $\pi \approx 3,14$). Si l'on voulait aussi fabriquer les deux couvercles métalliques circulaires de la boîte, quel doit être le rayon exact de chacun pour fermer parfaitement le cylindre ?

Dessiner dans votre cahier le solide de révolution engendré par la rotation de la figure plane suivante autour de l'axe indiqué. Quel nom porte le solide obtenu ? Décrire ses éléments principaux (bases, hauteur et génératrice).

Vous pouvez le faire sur papier et envoyer une photo de votre réponse.

Une marque de boissons gazeuses veut concevoir une nouvelle canette cylindrique. Le rayon de la base doit être de $3,5\text{ cm}$ et la hauteur de la canette de $12\text{ cm}$. Calculer la quantité de métal (aire totale) nécessaire pour fabriquer une de ces canettes. Arrondir le résultat à deux décimales.

Pour une fête déguisée, Lucie fabrique des chapeaux en forme de cône. Si chaque chapeau a une génératrice de $25\text{ cm}$ et un diamètre de base de $14\text{ cm}$, quelle sera la hauteur du chapeau ? Utiliser le théorème de Pythagore pour la trouver.

Calculer le volume d'une boule de glace parfaitement sphérique de rayon $3\text{ cm}$. Si la glace fond dans un récipient cylindrique de même base et de même hauteur que la sphère, quelle hauteur atteindra la glace liquide ? (On suppose que le volume ne varie pas en fondant).

Un réservoir d'eau a la forme d'un cylindre de rayon $2\text{ mètres}$ et de hauteur $5\text{ mètres}$. Si le réservoir est rempli aux trois quarts de sa capacité, combien de litres d'eau contient-il ? (Rappel : $1\text{ m}^3 = 1000\text{ litres}$).

Un cône de signalisation routière a une hauteur de $60\text{ cm}$ et un rayon de base de $15\text{ cm}$. Calculer son aire latérale (la surface à peindre en orange). Pour cela, il faut d'abord trouver la génératrice du cône à l'aide du théorème de Pythagore.

On coupe une orange sphérique de $10\text{ cm}$ de diamètre par un plan situé à une distance de $3\text{ cm}$ du centre. Lorsqu'on sépare les deux morceaux, la section est un disque. Calculer le rayon de ce disque en appliquant le théorème de Pythagore dans le triangle grisé.

On dispose d'un morceau de carton en forme de secteur circulaire comme sur l'image. En joignant les bords rectilignes, on forme la surface latérale d'un cône. Calculer l'aire totale de ce cône sachant que le rayon du secteur (qui sera la génératrice) est de $10\text{ cm}$ et que la longueur de l'arc est de $18,84\text{ cm}$.

Vous disposez d'un carton rectangulaire mesurant exactement $10\text{ cm}$ de large sur $20\text{ cm}$ de long. Imaginer qu'on le fait tourner $360^\circ$ dans l'espace : d'abord autour de son côté de $10\text{ cm}$ (on obtient le cylindre $A$) puis, lors d'un second essai, autour de son côté de $20\text{ cm}$ (on obtient le cylindre $B$). Avant tout calcul, estimer de façon argumentée : lequel des deux cylindres aura, selon vous, la plus grande aire latérale ? Et lequel renfermera le plus grand volume ? Noter votre intuition initiale. Ensuite, vérifier votre estimation en calculant l'aire latérale des deux cylindres (laisser le résultat en fonction de $\pi$) et le volume de chacun avec la formule $V = \pi \cdot r^2 \cdot h$. Enfin, comparer les résultats avec votre prévision et expliquer mathématiquement pourquoi le rayon a plus d'influence que la hauteur sur le volume d'un cylindre.

En cours de technologie, on veut construire à l'échelle un cône de signalisation routière dont la base circulaire a un rayon de $9\text{ cm}$ et dont la hauteur est de $12\text{ cm}$. Pour découper dans du carton la pièce correspondant à la surface latérale, deux élèves proposent des chemins différents : Irène calcule d'abord la génératrice $g$ avec le théorème de Pythagore et applique directement la formule réduite de l'aire latérale : $A_{lat} = \pi \cdot r \cdot g$ ; de son côté, Alba calcule aussi la génératrice $g$, puis détermine l'angle au centre $\alpha$ que doit avoir le secteur circulaire déplié en résolvant la proportion $\frac{\alpha}{360^\circ} = \frac{r}{g}$, et calcule ensuite l'aire avec la formule générale du secteur circulaire : $A_{secteur} = \frac{\pi \cdot g^2 \cdot \alpha}{360^\circ}$. Effectuer les calculs pas à pas avec les deux méthodes (prendre $\pi \approx 3,14$). Démontrer algébriquement pourquoi la formule directe d'Irène est équivalente à la démarche d'Alba. Si vous devez tracer le patron sur le carton à la règle, au compas et au rapporteur pour le monter, laquelle des deux méthodes vous donne l'information indispensable au tracé ? Justifier votre réponse.

Une entreprise de parfums conçoit un nouveau flacon en verre. Le flacon a une base cylindrique de $3 \text{ cm}$ de rayon et $6 \text{ cm}$ de hauteur. Sur cette base repose un tronc de cône dont la base supérieure a $1 \text{ cm}$ de rayon et dont la génératrice mesure $5 \text{ cm}$. Sachant que le bouchon est une demi-boule parfaite qui s'ajuste exactement à l'ouverture supérieure de $1 \text{ cm}$ de rayon, calculer la surface totale extérieure du flacon (sans compter la base d'appui).

Un rouleau industriel en acier a la forme d'un cylindre creux. Le diamètre extérieur du rouleau est de $20 \text{ cm}$, le diamètre intérieur est de $16 \text{ cm}$ et sa longueur totale est de $50 \text{ cm}$. Si la masse volumique de l'acier est de $7,85 \text{ g/cm}^3$, calculer la masse totale du rouleau en kilogrammes. (Rappel : pour trouver le volume du cylindre creux, il faut soustraire le volume du cylindre intérieur à celui du cylindre extérieur.)

Pour une exposition d'art, on a construit une pièce de métal formée d'un cône qui s'insère parfaitement dans un cylindre de même hauteur ($12 \text{ cm}$) et de même rayon de base ($5 \text{ cm}$). Le cône est renversé, de sorte que son sommet touche le centre de la base inférieure du cylindre. Calculer le volume d'eau nécessaire pour remplir l'espace vide qui reste entre les parois du cylindre et le cône.

Un cornet de glace a la forme d'un cône de $15 \text{ cm}$ de hauteur et de $3 \text{ cm}$ de rayon à l'ouverture supérieure. On y place une boule de glace qui est une sphère parfaite de $3,5 \text{ cm}$ de rayon. En raison de sa taille, une partie de la boule dépasse du cornet et une partie se trouve à l'intérieur. Si la boule repose exactement sur le bord circulaire du cône, quelle distance y a-t-il entre le point le plus bas de la boule de glace et le sommet inférieur du cornet ? (Utiliser le théorème de Pythagore.)

Une bouée maritime est formée de deux cônes identiques accolés par leur base. La longueur totale de la bouée, d'une pointe à l'autre, est de $2 \text{ mètres}$ et le diamètre de la section circulaire centrale où ils se rejoignent est de $120 \text{ cm}$. Calculer le volume total de la bouée en litres et sa surface extérieure totale.

On coupe une sphère de rayon $13 \text{ cm}$ par un plan horizontal passant à une distance de $5 \text{ cm}$ du centre. Cette coupe engendre un disque (section). Calculer l'aire de ce disque de coupe et l'aire de la calotte sphérique supérieure obtenue, sachant que la surface d'une calotte sphérique se calcule par $S = 2 \cdot \pi \cdot R \cdot h$, où $h$ est la hauteur de la calotte.

Un réservoir d'eau a la forme d'un tronc de cône renversé. Le rayon de la base supérieure (ouverte) est de $4 \text{ mètres}$ et celui de la base inférieure (fond) est de $2 \text{ mètres}$. La hauteur totale du réservoir est de $6 \text{ mètres}$. Si le réservoir est rempli jusqu'à la moitié de sa hauteur ($3 \text{ mètres}$), utiliser la similitude de triangles (théorème de Thalès) pour trouver le rayon de la surface de l'eau à cet instant et calculer le volume d'eau accumulé.

Calculer le volume du solide engendré par la rotation de $360^\circ$ du polygone irrégulier suivant autour de l'axe vertical indiqué. Le polygone est formé d'un rectangle de $2 \times 4 \text{ cm}$ et d'un triangle rectangle de base $3 \text{ cm}$ accolé à l'un de ses côtés.

Une entreprise de fournitures agricoles de Tomelloso (Ciudad Real) commande la conception d'un silo vertical pour stocker du grain. La structure complète est un solide de révolution formé d'un cylindre inférieur de $4\text{ m}$ de diamètre extérieur et de $6\text{ m}$ de hauteur, surmonté d'un toit conique ayant la même base circulaire et une hauteur de $1,5\text{ m}$. Tout d'abord, modéliser géométriquement la section plane : décrire précisément quelle figure plane polygonale (en indiquant les dimensions de tous ses côtés) engendre ce solide complet par la rotation de $360^\circ$ autour de l'axe vertical de symétrie du silo. Ensuite, pour imperméabiliser l'extérieur, on va appliquer une résine protectrice sur la paroi cylindrique verticale et sur le toit conique (le sol et la jonction horizontale interne entre le cylindre et le cône ne sont pas traités). Calculer le nombre total de mètres carrés de surface à imperméabiliser (prendre $\pi \approx 3,14$). Enfin, si chaque pot de résine coûte $45\text{ €}$, permet de couvrir exactement $12\text{ m}^2$ et n'est pas vendu en quantité fractionnée, déterminer le budget minimal nécessaire s'il est obligatoire d'appliquer deux couches complètes sur toute la surface.

Un atelier de conception pédagogique fabrique des maquettes pour expliquer la géométrie de la planète Terre et les projections cartographiques. Pour construire la surface latérale d'un dôme conique protecteur, on découpe dans une feuille de plastique un secteur circulaire de rayon $20\text{ cm}$ et d'angle au centre $144^\circ$. Poser et résoudre le problème inverse : en courbant le secteur circulaire et en joignant ses bords rectilignes pour former le cône, calculer le rayon de la base circulaire obtenue et la hauteur verticale que atteindra ce cône (arrondir la hauteur au dixième de centimètre). Par ailleurs, pour la maquette sphérique du globe terrestre, un élève de l'équipe propose : « Pour que les collèges puissent découper et monter en classe une sphère parfaite en carton, on peut imprimer son patron plat sur une seule feuille rectangulaire continue, comme on le fait avec le cylindre et le cône ». Analyser et expliquer en détail pourquoi la proposition de l'élève est une erreur géométrique insurmontable, en s'appuyant sur les propriétés du patron de la sphère et en expliquant ce qui arrive inévitablement à toute carte plane du monde lorsqu'elle tente de représenter la surface terrestre sans la déformer.