Exercices: Perpendicularité et parallélisme

Imaginer une boîte à chaussures (en forme de pavé droit) posée sur une table. On observe les arêtes du couvercle :

1. a) Indiquer deux arêtes parallèles entre elles.
2. b) Indiquer deux arêtes perpendiculaires qui se coupent en un sommet.

Dans le gymnase du collège, un poteau droit (droite $r$) coupe le sol (plan $\pi$) en un point, qui est son pied. Sur le sol, deux droites distinctes, $s$ et $t$, passent par le pied du poteau, et l'on sait que le poteau forme un angle droit avec chacune d'elles.

1. a) Quelle est la position relative du poteau et du sol ? Justifier la réponse.

1. b) Si l'on trace une autre droite quelconque sur le sol passant par le pied du poteau, quel angle formera-t-elle avec lui ?

Deux avions volent dans le ciel. L'avion A vole vers le nord à $10\,000$ mètres d'altitude. L'avion B vole vers l'est à $8\,000$ mètres d'altitude. Sachant que leurs trajectoires ne se coupent pas et ne sont pas parallèles :

1. a) Comment appelle-t-on la position relative de ces deux trajectoires dans l'espace ?
2. b) Ces droites sont-elles coplanaires ? Expliquer pourquoi.

Observer les murs de votre chambre.

1. a) Quelle est la position relative de deux murs opposés ?
2. b) Comment s'appelle la droite qui se forme lorsque deux murs adjacents se coupent ?

Lorsqu'on ouvre un livre de mathématiques et qu'on le laisse posé sur la table, les deux pages forment un angle dièdre.

1. a) Si l'on ouvre complètement le livre jusqu'à ce qu'il soit à plat sur la table, combien mesure cet angle dièdre ?
2. b) Si le livre est entrouvert et que les pages forment un angle de $90^\circ$, comment sont les plans des deux pages entre eux ?

Observer le cube suivant et identifier :

1. a) Une arête parallèle au plan de la base inférieure.
2. b) Une arête perpendiculaire au plan de la base inférieure.

Imaginer un but de football. Analysons ses poteaux comme des droites :

1. a) Quelle est la position relative des deux poteaux verticaux ?
2. b) Quelle est la position relative de la barre transversale (poteau horizontal) par rapport à chacun des poteaux verticaux ?

En classe de mathématiques, Lucie analyse les arêtes d'une boîte en forme de cube dont les sommets sont $A, B, C, D$ sur la base inférieure et $A', B', C', D'$ sur la base supérieure. En regardant l'arête verticale qui contient le segment $AA'$ et l'arête horizontale qui contient $BC$, Lucie affirme : « Comme ces deux droites ne se coupent jamais dans l'espace, même en les prolongeant, elles sont forcément parallèles, exactement comme pour les droites dans le plan. »\na) Expliquer en justifiant quelle erreur conceptuelle commet Lucie en appliquant dans l'espace une propriété qui n'est valable qu'en géométrie plane.\nb) Déterminer la position relative correcte entre la droite qui contient $AA'$ et la droite qui contient $BC$, et justifier pourquoi elles ne peuvent pas être parallèles.\nc) Donner un exemple, avec les arêtes de ce même cube, de deux droites qui ne se coupent pas et qui sont bien parallèles entre elles.

On considère un prisme droit dont la base est un triangle équilatéral, dont les bases sont les triangles horizontaux $ABC$ (inférieur) et $A'B'C'$ (supérieur), avec des arêtes latérales verticales $AA'$, $BB'$ et $CC'$.\na) Écrire le nom d'une droite déterminée par deux sommets du prisme qui soit sécante à la droite contenant l'arête $AB$, mais qui ne soit pas contenue dans le plan de la base inférieure.\nb) Trouver et nommer une droite déterminée par deux sommets du prisme qui soit non coplanaire avec la droite $AA'$ (c'est-à-dire ni sécante ni parallèle à elle).\nc) Si l'on veut tracer un plan imaginaire $\pi$ qui coupe les trois arêtes latérales à une hauteur fixe de $2$ cm par rapport à la base inférieure, quelle position relative ce plan $\pi$ doit-il avoir obligatoirement par rapport au plan de la base $ABC$ ? Justifier la déduction.

Imaginer que le sol de votre chambre est le plan $\pi$ et qu'un des murs latéraux est le plan $\beta$. Vous installez un câble de fibre optique qui longe l'angle où se rejoignent le plafond et le mur du fond (droite $r$) :

1. a) Quelle est la position de la droite $r$ par rapport au plan du sol $\pi$ ?
2. b) Quelle est la position relative de la droite $r$ par rapport au plan du mur latéral $\beta$ ?
3. c) Si l'on trace une ligne verticale sur le mur latéral (droite $s$), les droites $r$ et $s$ se coupent-elles ? Justifier si elles sont perpendiculaires.

Une porte tournante d'un centre commercial a trois vantaux de verre identiques qui se coupent selon un axe vertical central.

1. a) Comment s'appelle chacune des trois régions de l'espace délimitées par deux vantaux consécutifs ?
2. b) Si l'angle dièdre entre le premier et le deuxième vantail est de $120^\circ$ et que les trois vantaux sont répartis de façon symétrique, combien mesurent les deux autres angles dièdres ?
3. c) Si une mouche se pose exactement sur l'axe central, à combien de faces des angles dièdres appartient-elle ?

On considère un prisme droit dont la base est un hexagone régulier. Analyser les relations entre ses éléments :

1. a) Combien de faces latérales sont perpendiculaires à la base inférieure ?
2. b) Combien de paires de faces latérales sont parallèles entre elles ?
3. c) Si l'on trace la diagonale d'une face latérale et une arête de la base n'ayant aucun sommet commun avec cette diagonale, quelle est la position relative des droites qui les contiennent ?

Les célèbres tours KIO de Madrid ont une inclinaison de $15^\circ$ par rapport à la verticale. Modéliser l'une de ces tours par un prisme oblique dont le sol horizontal de la place est le plan $\pi$ et dont les quatre arêtes latérales représentent les angles inclinés de la façade.\na) Quelle est la position relative des arêtes latérales de l'édifice par rapport au plan du sol $\pi$ ? Justifier si elles sont sécantes perpendiculaires ou sécantes obliques, en indiquant la mesure de l'angle dièdre aigu que forme la façade inclinée avec le plan horizontal du sol.\nb) Pour l'entretien de la tour, un monte-charge extérieur monte le long d'un rail parallèle à l'une des arêtes inclinées de la façade, tandis qu'un ascenseur intérieur monte selon une trajectoire rectiligne entièrement verticale (perpendiculaire au plan du sol $\pi$). Si les deux trajectoires n'ont aucun point commun et ne sont pas dans un même mur vertical, quelle est leur position relative dans l'espace ? Justifier si elles sont parallèles, sécantes ou non coplanaires.

Pour donner de l'ombre à une cour d'école à Toulouse, la mairie va installer une toile tendue rectangulaire $ABCD$. Le côté supérieur $AB$ est fixé horizontalement sur un mur vertical plan $\alpha$ à une hauteur de $3$ m au-dessus du sol. Le côté inférieur $CD$ est ancré directement sur le sol horizontal $\beta$, à une distance horizontale de $4$ m du mur. La toile forme un plan incliné $\gamma$.\na) Avant de calculer quoi que ce soit, estimer si l'angle dièdre que forme la toile $\gamma$ avec le sol $\beta$ sera inférieur, égal ou supérieur à $45^\circ$. Justifier l'estimation en comparant la hauteur de fixation sur le mur et la distance horizontale d'ancrage.\nb) Visualiser la section perpendiculaire (un triangle rectangle dont les côtés de l'angle droit mesurent $3$ m et $4$ m) et calculer la longueur de la pente de la toile (segment $BC$).\nc) Vérifier si l'estimation initiale était correcte en calculant la tangente de l'angle dièdre aigu formé avec le sol ($\tan\theta = 3/4 = 0,75$) et en déterminant si un angle ayant cette tangente est supérieur ou inférieur à $45^\circ$ (sachant que $\tan 45^\circ = 1$).

Une source lumineuse ponctuelle est placée au centre de la base d'un cône de révolution de rayon $R = 5$ cm et de hauteur $H = 12$ cm. La source émet un rayon lumineux perpendiculaire à l'une des génératrices du cône.

1. a) Ce rayon peut-il traverser la surface latérale du cône ?
2. b) Calculer la distance entre la source et le point de la génératrice où le rayon serait perpendiculaire. Pour cela, visualiser le triangle rectangle formé par la section axiale du cône.

On considère une sphère de rayon $13$ cm. Un plan $\pi_1$ coupe la sphère à une distance de $5$ cm de son centre, ce qui détermine un disque $C_1$. Un second plan $\pi_2$, perpendiculaire au premier, coupe aussi la sphère en passant par son centre.

1. a) Décrire la position relative de la droite d'intersection des deux plans par rapport à la sphère.
2. b) Quelle est la distance minimale entre le bord du disque $C_1$ et le plan $\pi_2$ ? S'aider d'un dessin de la section circulaire pour justifier la réponse.

Dans une pyramide régulière de base carrée $ABCD$ et de sommet $V$, on note $r$ la droite qui contient la hauteur de la pyramide (qui joint $V$ au centre $O$ de la base) et on note $s$ la droite qui contient l'arête de la base $AB$. On souhaite démontrer rigoureusement la position relative de $r$ et $s$.\nDeux camarades de classe proposent des démarches différentes :\n- Méthode de Marcos : il cherche s'il existe un plan contenant simultanément les droites $r$ et $s$, en analysant si les points $V, O, A$ et $B$ peuvent être dans un même plan.\n- Méthode de Sarah : elle s'appuie sur la relation droite-plan : elle utilise le fait que la droite $r$ est perpendiculaire au plan de la base et le coupe au point $O$, puis vérifie si la droite $s$ (contenue dans la base) passe ou non par $O$.\na) Appliquer la méthode de Marcos et conclure sur la position relative de $r$ et $s$.\nb) Appliquer la méthode de Sarah et obtenir la même conclusion.\nc) Comparer les deux méthodes et justifier laquelle est la plus directe et la plus générale pour démontrer qu'une droite perpendiculaire à un plan est non coplanaire avec toute droite de ce plan ne passant pas par le pied de la perpendiculaire.

Une équipe d'architectes conçoit la structure d'un hangar industriel avec une toiture à deux pans. Les deux pans du toit forment deux plans sécants $\pi_1$ et $\pi_2$ dont l'intersection est l'arête faîtière horizontale $r$. Le sol du hangar est un plan horizontal $\pi_0$ parallèle à la droite $r$.\na) On doit ajouter une poutre métallique de renfort contenue dans une droite $s$. Déduire quelles conditions géométriques $s$ doit vérifier par rapport aux plans $\pi_1$ et $\pi_2$ pour être parallèle aux deux pans à la fois sans être contenue dans aucun d'eux. En déduire la position relative que $s$ aura nécessairement par rapport au faîtage $r$ et par rapport au sol $\pi_0$.\nb) Aux extrémités inférieures de chaque pan, on place des gouttières sur des droites $t_1$ (dans $\pi_1$) et $t_2$ (dans $\pi_2$), toutes deux parallèles au faîtage $r$. Démontrer si $t_1$ et $t_2$ sont parallèles entre elles et justifier si elles déterminent un plan parallèle au sol $\pi_0$.\nc) Concevoir et décrire les conditions géométriques d'une droite $p$ perpendiculaire au faîtage $r$, parallèle au plan du sol $\pi_0$ et qui passe à une distance verticale fixe de $1,5$ m de $r$ sans jamais la couper.