Exercices: Triangles semblables

Deux triangles ont respectivement les angles suivants : le premier a un angle de $45^\circ$ et un autre de $60^\circ$ ; le second a un angle de $60^\circ$ et un autre de $75^\circ$. Déterminer si les deux triangles sont semblables en justifiant la réponse à l'aide des critères de similitude.

Les côtés d'un triangle mesurent $5\text{ cm}$, $7\text{ cm}$ et $9\text{ cm}$. Sachant qu'un second triangle est semblable à celui-ci et que son plus petit côté mesure $15\text{ cm}$, calculer la longueur des deux autres côtés du second triangle.

Dans un triangle $ABC$, on trace un segment $DE$ parallèle à la base $BC$, de sorte que le point $D$ appartient au côté $AB$ et le point $E$ au côté $AC$. Sachant que $AD = 4\text{ cm}$, $DB = 6\text{ cm}$ et $DE = 5\text{ cm}$, appliquer le théorème de Thalès dans le triangle pour calculer la longueur de la base $BC$.

Vous pouvez le faire sur papier et envoyer une photo de votre réponse.

Dans un triangle rectangle, la hauteur issue de l'angle droit divise l'hypoténuse en deux segments (projections) qui mesurent $4\text{ cm}$ et $9\text{ cm}$. Appliquer la relation sur la hauteur pour calculer la longueur de cette hauteur $h$.

Dans un triangle rectangle, l'hypoténuse mesure $10\text{ cm}$ et la projection d'un des côtés de l'angle droit sur elle mesure $3,6\text{ cm}$. Appliquer la relation sur le côté de l'angle droit pour déterminer la longueur de ce côté.

Le rapport de similitude entre deux polygones semblables est $k = 2,5$. Si l'aire du plus petit polygone est de $12\text{ cm}^2$, quelle est l'aire du plus grand polygone ?

Déterminer si les triangles $ABC$ et $DEF$ sont semblables, sachant que leurs côtés mesurent $AB = 12\text{ cm}$, $BC = 16\text{ cm}$, $CA = 20\text{ cm}$ et $DE = 9\text{ cm}$, $EF = 12\text{ cm}$, $FD = 15\text{ cm}$. Si oui, indiquer le critère utilisé et le rapport de similitude.

Mathis doit déterminer si deux triangles, $\triangle ABC$ et $\triangle DEF$, sont semblables. Dans le triangle $\triangle ABC$, les côtés mesurent $AB = 6\text{ cm}$, $AC = 9\text{ cm}$ et l'angle $\hat{B} = 40^\circ$. Dans le triangle $\triangle DEF$, les côtés mesurent $DE = 4\text{ cm}$, $DF = 6\text{ cm}$ et l'angle $\hat{E} = 40^\circ$. Mathis affirme : « Comme $\dfrac{AB}{DE} = \dfrac{AC}{DF} = \dfrac{6}{4} = \dfrac{9}{6} = 1,5$, les côtés sont proportionnels, et comme les deux ont un angle de $40^\circ$, ils sont semblables d'après le critère CAC ». Identifier et expliquer en détail l'erreur conceptuelle que commet Mathis en appliquant le critère CAC et indiquer quelle donnée angulaire exacte il faudrait connaître dans les deux triangles pour garantir avec certitude leur similitude.

On veut construire un triangle $\triangle A'B'C'$ semblable à un triangle rectangle $\triangle ABC$ dont les côtés de l'angle droit mesurent $6\text{ cm}$ et $8\text{ cm}$. La condition imposée est que l'aire du nouveau triangle $\triangle A'B'C'$ soit exactement de $96\text{ cm}^2$. Calculer d'abord l'aire du triangle $\triangle ABC$ initial et en déduire en justifiant le rapport de similitude $k$ entre les deux. À partir de ce rapport, déterminer la longueur exacte des trois côtés de $\triangle A'B'C'$ et vérifier que le rapport de leurs périmètres est lui aussi égal à $k$.

Pour calculer la hauteur d'un immeuble, un élève place un miroir plan sur le sol à $12\text{ m}$ de la base de l'immeuble. En reculant de $1,5\text{ m}$ depuis le miroir, l'élève (dont les yeux sont à $1,6\text{ m}$ du sol) voit exactement le sommet de l'immeuble reflété dans le miroir. Sachant que les angles d'incidence et de réflexion sur le miroir forment des triangles rectangles semblables, calculer la hauteur de l'immeuble.

Dans la figure suivante, les segments $DE$ et $BC$ sont parallèles. Les longueurs sont données par des expressions littérales : $AD = x$, $DB = 2\text{ cm}$, $AE = x + 2$ et $EC = 3\text{ cm}$. Appliquer le théorème de Thalès pour poser une équation et calculer la valeur numérique de $x$.

Dans un triangle rectangle, la hauteur relative à l'hypoténuse mesure $6\text{ cm}$ et la projection d'un des côtés de l'angle droit sur l'hypoténuse est de $4,5\text{ cm}$. Appliquer les relations métriques dans le triangle rectangle pour calculer le périmètre et l'aire du triangle entier.

Deux entreprises fabriquent des voiles triangulaires semblables pour des bateaux de compétition. Le périmètre de la petite voile est de $12\text{ m}$ et celui de la grande voile est de $18\text{ m}$. Si l'aire de la petite voile est de $6\text{ m}^2$, quelle est l'aire de la grande voile ?

Une chambre noire (ou sténopé) a une profondeur de $15\text{ cm}$. Elle est placée face à un immeuble situé à $30\text{ m}$ de distance du trou de la chambre. Si l'image inversée de l'immeuble projetée au fond de la chambre a une hauteur de $12\text{ cm}$, quelle est la hauteur réelle de l'immeuble ?

Pour mesurer la largeur d'une rivière aux berges parallèles, un géomètre se place en un point $A$ d'une berge, juste en face d'un arbre $B$ sur la berge opposée. Il marche $15\text{ m}$ le long de la berge jusqu'à un point $C$ et plante un jalon. Puis il marche encore $3\text{ m}$ jusqu'au point $D$, tourne de $90^\circ$ en s'éloignant de la rivière et marche $4\text{ m}$ jusqu'à un point $E$, d'où il voit alignés le jalon $C$ et l'arbre $B$. Calculer la largeur $x$ de la rivière.

Une pyramide à base carrée a une hauteur de $12\text{ cm}$ et le côté de sa base mesure $8\text{ cm}$. On coupe la pyramide par un plan parallèle à la base, situé à $3\text{ cm}$ du sommet. Calculer l'aire de la section obtenue et le volume de la petite pyramide supérieure.

Lors d'une visite culturelle sur la place des Terreaux à Lyon, un groupe d'élèves décide de calculer la hauteur de la façade de l'hôtel de ville en profitant d'une journée dégagée, grâce à la projection des ombres. Une élève de $1,68\text{ m}$ de taille projette à cet instant sur le sol horizontal une ombre de $1,20\text{ m}$, tandis que l'ombre du bâtiment mesure $25\text{ m}$. Avant de faire des calculs exacts, estimer en justifiant si la hauteur du bâtiment sera supérieure ou inférieure à $25\text{ m}$ de son ombre et proposer un encadrement approximatif mental de cette hauteur. Ensuite, démontrer quel critère géométrique garantit la similitude des triangles formés, calculer la hauteur réelle du bâtiment à deux décimales près et vérifier si l'estimation initiale était correcte.

Lors d'une randonnée dans les gorges de la Loire, des techniciens de l'environnement doivent connaître la largeur de la rivière entre un saule situé au point $A$ (sur la rive opposée) et une balise plantée au point $B$ (sur leur rive, juste en face de $A$). Pour la mesurer sans traverser l'eau, ils tracent une ligne droite le long de leur rive, perpendiculaire au segment $AB$, et plantent deux piquets : l'un au point $C$, à $24\text{ m}$ de $B$, et l'autre au point $D$, à $6\text{ m}$ de $C$ sur la même ligne ($B$, $C$ et $D$ sont alignés). Depuis $D$, ils marchent dans une direction perpendiculaire à la rive en s'éloignant de la rivière jusqu'à un point $E$ d'où les points $C$ et $A$ sont parfaitement alignés. La distance mesurée de $D$ à $E$ est de $4,5\text{ m}$. Modéliser la situation en identifiant les deux triangles rectangles, démontrer quel critère assure qu'ils sont semblables, calculer la largeur de la rivière entre $A$ et $B$, et déterminer entre quelles valeurs oscillerait cette largeur si la mesure de $DE$ avait une marge d'erreur de $\pm 0,3\text{ m}$.

Dans un triangle rectangle dont les côtés de l'angle droit mesurent $6\text{ cm}$ et $8\text{ cm}$, on inscrit un carré de côté $x$ de telle sorte qu'un des sommets du carré coïncide avec le sommet de l'angle droit du triangle et que le sommet opposé soit sur l'hypoténuse. Calculer la valeur exacte du côté du carré $x$.

Deux poteaux verticaux de hauteurs $4\text{ m}$ et $6\text{ m}$ sont plantés sur un sol horizontal, séparés par une distance de $10\text{ m}$. On tend un câble rectiligne depuis le sommet de chaque poteau jusqu'à la base de l'autre. Calculer à quelle hauteur $h$ du sol se croisent les deux câbles. Démontrer si ce résultat dépend ou non de la distance qui sépare les poteaux.

Dans un triangle rectangle, la hauteur issue de l'angle droit divise l'hypoténuse en deux segments (projections) tels que l'un est plus long que l'autre de $5\text{ cm}$. Si la hauteur mesure $6\text{ cm}$, déterminer analytiquement la longueur des deux segments et calculer le périmètre exact du triangle initial.

Un réservoir d'eau a la forme d'un cône renversé (sommet vers le bas) avec un rayon de $3\text{ m}$ à la base supérieure et une profondeur totale de $4\text{ m}$. Si le réservoir contient de l'eau jusqu'à une hauteur de $2\text{ m}$, utiliser la relation entre les volumes de solides semblables pour calculer le volume d'eau contenu et le volume restant vide.

On considère un trapèze isocèle dont les bases mesurent $15\text{ cm}$ et $25\text{ cm}$, et dont la hauteur est de $12\text{ cm}$. On prolonge les côtés non parallèles jusqu'à ce qu'ils se coupent en un point, formant un triangle dans la partie supérieure. Calculer la hauteur $x$ de ce triangle supérieur et l'aire totale du grand triangle formé.

La diagonale d'un rectangle mesure $20\text{ cm}$. Si l'on trace la perpendiculaire à la diagonale issue d'un des sommets, celle-ci est divisée en deux segments. Si l'un des segments mesure $7,2\text{ cm}$, déterminer l'aire totale du rectangle en appliquant les relations métriques sur le côté de l'angle droit et sur la hauteur.

Dans une sphère de rayon $R = 15\text{ cm}$ on inscrit un cône droit dont la génératrice mesure $g = 24\text{ cm}$. Considérer le triangle rectangle formé par le diamètre de la sphère et la génératrice du cône pour appliquer les relations de similitude. Calculer le rayon de la base du cône et sa hauteur.

Dans un triangle $\triangle ABC$, les longueurs des côtés sont $AB = 18\text{ cm}$ et $AC = 24\text{ cm}$. On place deux points : $D$ sur le côté $AB$ à $6\text{ cm}$ de $A$, et $E$ sur le côté $AC$ à $8\text{ cm}$ de $A$. On souhaite démontrer si le segment $DE$ est parallèle au côté $BC$ et déterminer quelle fraction du côté $BC$ représente $DE$. Pour cela, on propose deux stratégies : Arthur suggère de vérifier si $\dfrac{AD}{DB} = \dfrac{AE}{EC}$ en appliquant la réciproque du théorème de Thalès ; Chloé suggère de comparer directement les triangles $\triangle ADE$ et $\triangle ABC$ par le critère CAC en utilisant l'angle commun $\hat{A}$. Développer entièrement les deux méthodes avec leurs justifications et analyser de façon critique laquelle des deux stratégies est la plus complète pour répondre aux deux questions, en expliquant la limite de la méthode de Thalès concernant le rapport entre les bases.

Une association d'irrigants de Bordeaux gère une parcelle triangulaire $\triangle ABC$, dont la base $BC$ mesure $160\text{ m}$ et dont la hauteur issue du sommet $A$ jusqu'à cette base mesure $100\text{ m}$. On doit tracer un canal rectiligne $MN$ parallèle à la base $BC$ ($M$ sur le côté $AB$ et $N$ sur le côté $AC$) qui divise le terrain en deux parties d'aires exactement égales : un triangle supérieur $\triangle AMN$ et un trapèze inférieur $MNCB$. Justifier quel critère garantit que $\triangle AMN$ est semblable à $\triangle ABC$, en déduire le rapport de similitude $k$ exact (sous forme de radical simplifié et avec trois décimales) qui partage les aires en $50\,\%$, calculer la longueur du canal $MN$ et la distance à laquelle il doit être tracé depuis le sommet $A$. Enfin, réfuter mathématiquement la proposition intuitive d'un agriculteur qui suggère de creuser le canal exactement à la moitié de la hauteur ($50\text{ m}$), en calculant quel pourcentage réel de l'aire totale se trouverait dans le triangle supérieur si l'on suivait sa proposition.