Exercices: Théorème de Thalès

Calculer la longueur du segment inconnu $x$ dans la figure suivante, sachant que les droites horizontales sont parallèles entre elles.

Deux droites sécantes sont coupées par deux droites parallèles. Sur la première droite sécante, les segments déterminés par les parallèles mesurent $12$ cm et $15$ cm. Sur la seconde droite sécante, le segment correspondant à celui de $12$ cm mesure $8$ cm. Calculer la longueur du segment correspondant à celui de $15$ cm.

Les triangles de la figure sont en configuration de Thalès. Calculer les longueurs des côtés $x$ et $y$.

Expliquer les étapes géométriques nécessaires pour partager un segment de $11$ cm en $5$ parties exactement égales à l'aide d'une règle, d'un compas et du théorème de Thalès.

Trois droites parallèles sont coupées par deux droites sécantes $r$ et $s$. Sur la droite $r$, les segments mesurent $3,5$ cm et $5$ cm. Sur la droite $s$, le segment correspondant à celui de $3,5$ cm mesure $4,2$ cm. Combien mesure le segment correspondant à celui de $5$ cm sur la droite $s$ ?

Dans un triangle $\Delta ABC$, on trace un segment $MN$ parallèle au côté $BC$, de sorte que $M$ appartient au côté $AB$ et $N$ au côté $AC$. On sait que $AM = 4$ cm, $MB = 2$ cm et $AN = 6$ cm. Calculer la longueur du côté entier $AC$.

Vous pouvez le faire sur papier et envoyer une photo de votre réponse.

Vérifier si les segments déterminés par trois droites sur deux sécantes sont proportionnels. Sur la première sécante, ils mesurent $15$ cm et $20$ cm. Sur la seconde sécante, ils mesurent $24$ cm et $32$ cm. Les trois droites sont-elles parallèles ? Justifier la réponse à l'aide de la réciproque du théorème de Thalès.

Dans un triangle $ABC$, on trace un segment $DE$ parallèle au côté $BC$, avec le point $D$ situé sur le côté $AB$ et le point $E$ sur le côté $AC$. On connaît les mesures suivantes : $AD = 6\text{ cm}$, $DB = 3\text{ cm}$ et la base $BC = 12\text{ cm}$. Marcos essaie de calculer la longueur du segment parallèle $DE$ et écrit dans son cahier :

1. a) Sans effectuer aucun calcul numérique, expliquer quelle évidence géométrique immédiate montre que le résultat de $24\text{ cm}$ obtenu par Marcos est impossible.
2. b) Identifier l'erreur conceptuelle commise par Marcos en posant le rapport entre les côtés latéraux et les bases parallèles.
3. c) Écrire l'égalité de rapports correcte en appliquant le théorème de Thalès et déterminer la mesure réelle du segment $DE$.

Dans un parc urbain, on conçoit un parterre triangulaire $ABC$. Sur le côté $AB$, qui mesure $15\text{ m}$, on place un arroseur au point $M$, à $9\text{ m}$ du sommet $A$. On trace un tuyau secondaire $MN$ parallèle au côté $BC$, de sorte que le point $N$ se trouve sur l'autre côté, $AC$, dont la longueur totale est de $14\text{ m}$.

1. a) Avant tout calcul exact, estimer si le segment $AN$ mesurera plus ou moins que la moitié du côté $AC$ ($7\text{ m}$) et justifier entre quelles deux valeurs entières il devrait se situer environ, en observant quelle proportion représente $AM$ par rapport à la longueur totale de $AB$.
2. b) Appliquer le théorème de Thalès pour calculer exactement la longueur du segment $AN$ et celle du segment restant $NC$.
3. c) Vérifier si la valeur obtenue coïncide avec l'estimation initiale et expliquer pourquoi le rapport $\dfrac{AM}{MB}$ doit être numériquement égal au rapport $\dfrac{AN}{NC}$.

Dans une chambre noire, la lumière entre par un petit orifice et projette l'image renversée d'un objet sur la paroi du fond. Si un arbre de $4$ m de hauteur se trouve à $15$ m de l'orifice, calculer la hauteur de l'image projetée $h$ si la profondeur de la chambre est de $0,3$ m.

Pour mesurer la largeur d'une rivière aux rives parallèles, un topographe place trois piquets $A, B$ et $C$ alignés dans cet ordre sur l'une des rives, avec $A$ juste en face d'un arbre $T$ sur la rive opposée (de sorte que le segment $TA$ est perpendiculaire aux rives), et un quatrième piquet $D$ tel que les points $T, B$ et $D$ sont alignés. Sachant que le segment $TA$ est parallèle au segment $CD$, que $AB = 8$ m, $BC = 12$ m et que la distance de $D$ à la rivière, mesurée perpendiculairement, est de $2$ m, calculer la largeur de la rivière en utilisant les triangles semblables.

Une rampe d'accès pour fauteuils roulants rattrape un dénivelé de $1,2$ m sur une distance horizontale de $15$ m. Si l'on veut placer un support vertical intermédiaire lorsque la distance horizontale parcourue depuis le début de la rampe est de $6$ m, quelle doit être la hauteur de ce support ?

Lors d'un match de tennis, un joueur frappe la balle à une hauteur de $2,4$ m. La balle se déplace en ligne droite, frôle exactement le haut du filet (qui est à $0,9$ m de hauteur) et retombe dans le camp adverse. Si la distance horizontale entre le joueur et le filet est de $12$ m, à quelle distance du filet la balle rebondira-t-elle ?

Déterminer la valeur de $x$ en appliquant le théorème de Thalès dans le schéma suivant, où les trois droites verticales sont parallèles. Exprimer le résultat sous la forme d'un nombre entier ou d'une fraction simplifiée.

Lors d'une éclipse solaire, la Lune s'interpose exactement entre la Terre et le Soleil, bloquant sa lumière. Sachant que le diamètre du Soleil est d'environ $1,4 \times 10^6$ km et qu'il se trouve à $1,5 \times 10^8$ km de la Terre, et que la Lune est à $384\,000$ km de la Terre, calculer le diamètre approximatif de la Lune en utilisant les triangles semblables.

Dans la charpente d'un toit à deux pans, on place un poinçon vertical de renfort. La base du toit mesure $10$ m au total (du centre à l'avant-toit, il y a $5$ m). La hauteur maximale au centre est de $3$ m. Si le poinçon est placé à $1,5$ m du centre en direction de l'avant-toit, quelle doit être sa longueur ?

Sur le plan d'urbanisme d'une commune, deux avenues rectilignes partent d'un même rond-point $O$. Pour relier ces deux avenues, la mairie prévoit trois passages piétons rectilignes et parallèles entre eux : Passage 1, Passage 2 et Passage 3.

Sur la première avenue, la distance du rond-point $O$ au Passage 1 est de $40\text{ m}$ ; la distance entre le Passage 1 et le Passage 2 est de $24\text{ m}$ ; et la distance entre le Passage 2 et le Passage 3 est de $32\text{ m}$.

Sur la seconde avenue, une équipe de topographie mesure que la distance totale du rond-point $O$ au Passage 3 est exactement de $120\text{ m}$.

1. a) Modéliser la situation en identifiant quels éléments géométriques correspondent aux droites sécantes et lesquels aux droites parallèles du théorème de Thalès.
2. b) Calculer la longueur de chacun des trois tronçons en lesquels la seconde avenue est partagée par les passages piétons (du rond-point au Passage 1, du Passage 1 au Passage 2, et du Passage 2 au Passage 3).
3. c) La réglementation municipale d'accessibilité recommande que la distance entre deux passages piétons consécutifs ne dépasse pas $35\text{ m}$. Déterminer, en justifiant, si le tronçon entre le Passage 2 et le Passage 3 sur la seconde avenue respecte cette recommandation.

On souhaite concevoir la structure métallique d'une verrière triangulaire délimitée par deux profilés sécants $r$ et $s$, reliés par trois traverses horizontales parallèles $a$, $b$ et $c$. Ces traverses déterminent deux tronçons contigus $AB$ et $BC$ sur le profilé $r$, et deux tronçons contigus $A'B'$ et $B'C'$ sur le profilé $s$, conformément au théorème de Thalès, avec un rapport de conception préétabli de $\dfrac{AB}{BC} = \dfrac{A'B'}{B'C'} = \dfrac{2}{5}$.

1. a) Si la longueur totale de la partie vitrée sur le premier profilé doit être $AC = 35\text{ cm}$, en déduire les valeurs exactes que doivent avoir les segments $AB$ et $BC$.
2. b) Pour le second profilé $s$, proposer deux longueurs entières distinctes pour $A'B'$ et $B'C'$ de sorte que leur somme soit strictement supérieure à $60\text{ cm}$ et qu'elles conservent exactement la proportion requise.
3. c) Écrire une expression mathématique générale permettant de calculer directement la longueur du segment supérieur $A'B'$ en fonction de la longueur totale $L = A'C'$ du profilé $s$, valable pour toute structure devant conserver cette même proportion de conception.

Dans une configuration de deux droites sécantes coupées par trois droites parallèles, les segments de la première sécante mesurent $x$ et $x+3$. Sur la seconde sécante, les segments correspondants mesurent $x-2$ et $x$. Poser l'égalité de rapports, résoudre l'équation obtenue et déterminer la valeur des quatre segments.

Un projecteur de théâtre éclaire un acteur et projette son ombre sur le rideau de fond. Le projecteur est au niveau du sol. L'acteur, de $1,80$ m de hauteur, marche vers le rideau. Lorsqu'il est à $4$ m du projecteur, son ombre mesure $h_1$. S'il avance de $2$ m de plus vers le rideau, son ombre mesure $h_2$. Sachant que la distance totale du projecteur au rideau est de $10$ m, calculer la différence de hauteur entre les deux ombres projetées ($h_1 - h_2$).

Dans un trapèze $ABCD$ de bases $AB = 25$ cm et $CD = 15$ cm, on trace un segment $MN$ parallèle aux bases, avec $M$ sur $AD$ et $N$ sur $BC$. On sait que le segment $MN$ partage les côtés non parallèles dans le rapport $\frac{AM}{MD} = \frac{2}{3}$. Calculer la longueur du segment $MN$. (Indice : tracer, depuis un sommet, la parallèle à l'un des côtés obliques.)

Vous pouvez le faire sur papier et envoyer une photo de votre réponse.

Un miroir plan est posé sur le sol horizontal. Une personne dont les yeux sont à $1,60$ m du sol se place à $1,20$ m du centre du miroir et voit exactement reflétée dans celui-ci l'antenne d'un immeuble. Si la distance entre le miroir et la base de l'immeuble est de $18$ m, et si la personne comme l'immeuble sont perpendiculaires au sol, quelle est la hauteur totale de l'antenne par rapport au sol ?

Dans la structure d'une grue à tour, la flèche principale forme un triangle avec les câbles de haubanage. D'un nœud $A$ de la flèche principale, on trace un tirant vertical jusqu'au bras inférieur horizontal, mesurant $3$ m. D'un nœud $B$, situé $4$ m plus loin sur la flèche principale, on trace un autre tirant vertical qui mesure $4,5$ m. À quelle distance du nœud $A$ se trouve le point d'articulation (où se rejoignent les deux bras de la grue) ?

Vous pouvez le faire sur papier et envoyer une photo de votre réponse.

Deux droites parallèles sont distantes de $H$. Deux segments transversaux se croisent en un point $P$ situé entre les parallèles, formant une figure en forme de sablier. Les segments de l'une des transversales mesurent $x$ et $x+5$, tandis que la base du triangle supérieur mesure $12$ cm et la base du triangle inférieur mesure $27$ cm. Calculer la valeur de $x$ et la longueur totale de cette transversale.

Pour mesurer la hauteur d'une montagne inaccessible sans utiliser la trigonométrie, un topographe utilise deux piquets verticaux de $2$ m de hauteur. Il plante le premier piquet dans le sol et, allongé, aligne visuellement le haut du piquet avec le sommet de la montagne. La distance entre son œil et le piquet est de $1,5$ m. Puis il recule de $150$ m en ligne droite, plante le second piquet et aligne de nouveau son œil avec le haut du piquet et le sommet. Cette fois, la distance de son œil au piquet est de $1,6$ m. Calculer la hauteur de la montagne.

Démontrer, à l'aide de la réciproque du théorème de Thalès, que le segment joignant les milieux de deux côtés d'un triangle quelconque est parallèle au troisième côté. Si le troisième côté mesure $L$, quelle est la longueur de ce segment en fonction de $L$ ? Justifier la réponse en s'appuyant sur les triangles semblables.

Dans une structure triangulaire en bois $ABC$, les côtés latéraux mesurent $AB = 15\text{ cm}$ et $AC = 20\text{ cm}$. Pour la renforcer, on place une traverse intérieure $MN$ reliant un point $M$ du côté $AB$ à un point $N$ du côté $AC$, de sorte que $AM = 6\text{ cm}$ (il reste $MB = 9\text{ cm}$) et $AN = 8\text{ cm}$ (il reste $NC = 12\text{ cm}$). On veut vérifier si la traverse $MN$ est exactement parallèle à la base $BC$.

• Méthode A : Vérifier l'égalité des rapports entre segments consécutifs : $\dfrac{AM}{MB} \stackrel{?}{=} \dfrac{AN}{NC}$.

• Méthode B : Vérifier l'égalité des rapports entre le segment partiel et le côté entier : $\dfrac{AM}{AB} \stackrel{?}{=} \dfrac{AN}{AC}$.

1. a) Appliquer numériquement les deux méthodes et déterminer si la traverse $MN$ est parallèle à la base $BC$ d'après la réciproque du théorème de Thalès.
2. b) Démontrer algébriquement que, si dans un triangle quelconque l'égalité de la méthode A est vérifiée (en posant $AM = x$, $MB = a - x$, $AN = y$, $NC = b - y$), l'égalité de la méthode B l'est nécessairement aussi, en justifiant pourquoi les deux critères sont mathématiquement équivalents.
3. c) Si la base mesure $BC = 25\text{ cm}$ et que l'on souhaite déterminer la longueur de la traverse $MN$, justifier laquelle des deux méthodes est directement liée aux triangles semblables pour calculer $MN$ et expliquer quelle erreur de raisonnement commettrait une personne qui tenterait de le calculer à partir de la proportion de la méthode A.

Une parcelle agricole de forme triangulaire $ABC$ est bordée par un canal d'irrigation rectiligne le long du côté $AC$ ($180\text{ m}$) et par un chemin rectiligne le long du côté $AB$ ($150\text{ m}$). La troisième limite, $BC$, mesure $210\text{ m}$. Dans un projet de réorganisation, les techniciens tracent deux clôtures de séparation rectilignes, $D_1E_1$ et $D_2E_2$, toutes deux parallèles à la limite $BC$, en plaçant les points $D_1$ et $D_2$ sur le chemin $AB$ de façon que celui-ci soit divisé en trois parties égales de $50\text{ m}$ chacune ($D_1$ étant le plus proche du sommet $A$).

1. a) Modéliser la position des ancrages $E_1$ et $E_2$ sur le canal $AC$ en calculant, grâce au théorème de Thalès, la longueur des trois tronçons obtenus sur cette limite.
2. b) Calculer la longueur exacte de chacune des deux clôtures intérieures ($D_1E_1$ et $D_2E_2$), en justifiant en détail pourquoi on ne peut pas utiliser directement le rapport des segments sur les côtés latéraux $\dfrac{AD_1}{D_1D_2}$ et quel rapport géométrique il faut employer.
3. c) Un des propriétaires affirme : « Comme les clôtures divisent les deux limites latérales en trois parties de même longueur, la parcelle entière a été partagée en trois zones de même aire ». Déterminer, en justifiant, si cette affirmation est vraie ou fausse en comparant l'aire du triangle supérieur $AD_1E_1$ avec l'aire du trapèze inférieur délimité par $D_2E_2$ et la limite $BC$, à partir du rapport de réduction.