Exercices: Notion de fonction

Dans une boutique d'applications, chaque jeu premium a un prix fixe de $2,50$ €. On souhaite étudier la relation entre le nombre de jeux achetés et le coût total de l'achat.

1. a) Identifier la variable indépendante et la variable dépendante.
2. b) Cette relation est-elle une fonction ? Justifier en s'appuyant sur la définition d'une fonction.
3. c) Écrire l'expression littérale (formule) qui relie les deux grandeurs, en notant $x$ le nombre de jeux et $y$ le coût total.

Observer les relations suivantes entre des grandeurs et déterminer, dans chaque cas, s'il s'agit ou non d'une fonction :

1. a) À chaque numéro de téléphone portable, on associe le nom de son propriétaire dans le répertoire.
2. b) À chaque élève de ta classe, on associe sa taille mesurée en centimètres.
3. c) À chaque code-barres d'un supermarché, on associe le prix du produit correspondant.
4. d) À chaque personne, on associe la couleur des yeux de ses frères et sœurs.

Lucie surveille la consommation de batterie de son smartphone pendant qu'elle joue à un jeu vidéo. Le graphique suivant montre le pourcentage de batterie restant en fonction de la durée de jeu (en minutes) :

À partir du graphique, répondre :

1. a) Quel pourcentage de batterie avait-elle au début de la partie (temps = $0$) ?
2. b) Combien de batterie lui reste-t-il après $20$ minutes de jeu ?
3. c) Si la batterie atteint $0\%$, pendant combien de minutes a-t-elle joué en tout ?

Soit la fonction définie par l'expression littérale $f(x) = 3x - 2$. Compléter dans ton cahier le tableau de valeurs suivant :

$x$ (Entrée)	$-2$	$-1$	$0$	$1$	$2$
$f(x)$ (Sortie)

Une fois le tableau complété, indiquer quelle est l'image de $x = -1$.

Pour qu'une courbe représente une fonction, toute droite verticale tracée doit couper la courbe en un seul point. Utiliser ce « test de la droite verticale » pour décider laquelle des courbes suivantes n'est pas une fonction :

Justifier le choix en expliquant ce qui se passe sur la courbe choisie lorsqu'on trace une droite verticale.

Le prix d'un abonnement mensuel à une plateforme de séries est de $9$ €, mais le premier mois bénéficie d'une offre et ne coûte que $3$ €.

1. a) Dresser un tableau reliant le nombre de mois d'abonnement (de $1$ à $4$ mois) à la dépense totale cumulée.
2. b) Représenter ces quatre points dans un repère.
3. c) A-t-il un sens de relier les points par une ligne continue ? Expliquer pourquoi.

Un randonneur gravit une montagne en suivant un sentier. La fonction qui relie son altitude au-dessus du niveau de la mer, $H$ (en mètres), à la distance horizontale parcourue, $d$ (en kilomètres), est $H(d) = 400 + 150d$.

1. a) À quelle altitude se trouve le point de départ du parcours ($d = 0$) ?
2. b) Si le randonneur a parcouru $3$ km à l'horizontale, à quelle altitude se trouve-t-il ?
3. c) Identifier les variables de la fonction et expliquer leur signification physique.

Observer les points représentés dans le repère suivant, qui montrent la température d'une serre pendant les premières heures de la matinée :

Indiquer les coordonnées $(x, y)$ des quatre points marqués sur le graphique et expliquer ce que chacune signifie dans le contexte du problème. (Exemple : à l'heure $1$, la température est de… ).

Dans un collège, on étudie différentes relations entre des grandeurs. Déterminer, en justifiant, lesquelles des situations suivantes correspondent à une fonction et, si c'est le cas, identifier la variable indépendante et la variable dépendante :

1. a) À chaque numéro de carte d'identité des élèves, on associe leur âge actuel.
2. b) À chaque température maximale atteinte dans la cour pendant une journée, on associe les heures auxquelles cette température a été relevée.
3. c) À la quantité de gigaoctets ($GB$) consommés avec un forfait mobile, on associe le prix mensuel de la facture.
4. d) À chaque nombre entier naturel, on associe ses diviseurs.

Une entreprise de location de trottinettes électriques facture un tarif fixe de $1,20$ € pour déverrouiller le véhicule et un tarif variable de $0,15$ € par minute d'utilisation.

1. a) Identifier les deux variables qui interviennent et préciser laquelle est dépendante et laquelle est indépendante.
2. b) Écrire l'expression algébrique (formule) permettant de calculer le coût total de la location, $y$, en fonction de la durée d'utilisation en minutes, $x$.
3. c) Calculer combien paiera un élève qui utilise la trottinette pendant $22$ minutes pour aller de chez lui au collège.

Observer les courbes suivantes représentées dans le plan muni d'un repère. À l'aide du critère de la droite verticale, indiquer en justifiant laquelle représente une fonction et laquelle n'en représente pas.

Soit la fonction $f(x) = \frac{x^2 - 4}{2}$. Effectuer les tâches suivantes :

1. a) Calculer les images des valeurs $x = 0$, $x = 2$ et $x = -4$.
2. b) Déterminer la valeur de $x$ (antécédent) dont l'image est $f(x) = 6$.
3. c) Le point $P(-1; -1,5)$ appartient-il à la courbe de la fonction ? Justifier en effectuant les calculs nécessaires.

Le tableau suivant indique la quantité d'eau (en litres) qui reste dans une piscine gonflable pendant qu'on la vide avec une pompe :

Temps (minutes)	0	5	10	15	20
Eau (litres)	4500	3600	2700	1800	900

1. a) S'agit-il d'une relation fonctionnelle ? Expliquer pourquoi.
2. b) Représenter les points dans un repère en choisissant une échelle adaptée.
3. c) Si la tendance reste constante, combien de temps faudra-t-il pour vider complètement la piscine ?
4. d) Quel volume d'eau y aura-t-il $12$ minutes après le début de la vidange ?

Vous pouvez le faire sur papier et envoyer une photo de votre réponse.

L'aire d'un rectangle dont la longueur est le double de la largeur peut s'exprimer comme une fonction.

1. a) En notant $x$ la mesure de la largeur du rectangle, écrire l'expression algébrique de la fonction aire $A(x)$.
2. b) Quelle est la variable indépendante et quelle est la variable dépendante ?
3. c) Calculer l'aire lorsque la largeur est de $4,5$ $cm$.
4. d) Si l'aire du rectangle est de $50$ $cm^2$, quelle est sa largeur ?

Un randonneur relève le pourcentage de batterie restant sur son smartphone au cours d'une randonnée en montagne. Le graphique obtenu est le suivant :

D'après le graphique, répondre :

1. a) Quelles sont les variables indépendante et dépendante ? Indiquer les unités de mesure.
2. b) Quel était le pourcentage de batterie au début de la randonnée ?
3. c) La fonction est-elle croissante ou décroissante ? Quelle signification cela a-t-il dans le contexte du problème ?
4. d) Estimer combien de temps s'est écoulé lorsqu'il reste exactement $50$ % de charge au téléphone.

On considère la relation qui associe à chaque nombre entier $x$ sa valeur absolue augmentée de trois unités, c'est-à-dire $y = |x| + 3$.

1. a) Dresser un tableau de valeurs pour les nombres entiers compris entre $-3$ et $3$.
2. b) Représenter les points obtenus dans un repère.
3. c) A-t-il un sens de relier les points par une ligne continue si l'énoncé dit que $x$ est un nombre entier ? Expliquer pourquoi.
4. d) Indiquer quel serait l'ensemble image (ensemble des valeurs prises par la variable dépendante) d'après le tableau et le graphique.

Vous pouvez le faire sur papier et envoyer une photo de votre réponse.

Un programmeur de jeux vidéo conçoit le système de récompenses d'un nouveau niveau. Le nombre de « Crédits stellaires » ($C$) que reçoit un joueur dépend du temps ($t$), en minutes, qu'il met pour terminer une mission, selon la relation :

$$C(t) = \frac{600}{t-5}$$

La figure montre la courbe représentative de cette relation pour les temps autorisés par le jeu.

1. a) Indiquer, en justifiant, si cette relation est une fonction pour toute valeur de $t$ strictement positive.

1. b) Si le temps minimal pour terminer la mission est de 6 minutes et le maximum autorisé par le serveur est de 60 minutes, déterminer l'ensemble de définition et l'ensemble image de cette fonction dans ce contexte réel.

1. c) Que se passe-t-il pour la récompense lorsque le joueur se rapproche du temps de 5 minutes ? Aurait-il un sens que l'ensemble de définition contienne la valeur $t = 5$ ?

Considérer la relation qui associe à chaque nombre réel $x$ sa distance à l'entier le plus proche. Par exemple, si $x = 2,3$, sa distance à l'entier le plus proche (2) est $0,3$. Si $x = 2,8$, sa distance à l'entier le plus proche (3) est $0,2$.

1. a) Représenter graphiquement cette relation sur l'intervalle $x \in [0 ; 3]$.
2. b) Expliquer pourquoi cette relation est une fonction.
3. c) Déterminer l'ensemble image de la fonction.
4. d) Est-ce une fonction périodique ? Si oui, donner sa période.

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Une entreprise de livraison par drones facture ses services de la façon suivante : un coût fixe de $5\,€$ pour la gestion et, en plus, $2\,€$ par kilogramme. Cependant, si le colis dépasse $10\,\text{kg}$, le coût par kilogramme supplémentaire (seulement les kilogrammes au-delà de 10) est divisé par deux.

1. a) Exprimer la fonction $P(x)$ qui donne le prix total de l'envoi en fonction de la masse $x$ du colis, en kilogrammes. Attention : la fonction doit avoir deux expressions (fonction définie par morceaux).

1. b) Calculer $P(8)$ et $P(15)$.

1. c) Représenter la courbe de la fonction.

1. d) Si un client a payé $31\,€$, quelle était la masse de son colis, en kilogrammes ?

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On veut construire un cadre rectangulaire en bois pour un miroir. On dispose d'une baguette de bois de $4$ mètres de longueur totale pour faire tout le contour.

1. a) En notant $x$ la longueur de la base du cadre (en mètres), exprimer la fonction $A(x)$ qui donne l'aire délimitée par le cadre.
2. b) Quel est l'ensemble de définition de cette fonction compte tenu des contraintes physiques du problème ?
3. c) Calculer l'aire lorsque la base mesure $0,5 m$ et lorsqu'elle mesure $1,5 m$.
4. d) Pour quelle valeur de $x$ l'aire est-elle maximale ? Quelle est alors la forme géométrique du cadre ?

Analyser les courbes suivantes et déterminer si elles représentent une fonction ou non. Justifier la réponse en utilisant la notion de relation entre variable indépendante et variable dépendante.

1. a) $x^2 + y^2 = 25$ (Un cercle de rayon 5 centré à l'origine).
2. b) $y = \sqrt{x}$ (En ne considérant que la racine positive).
3. c) Une droite verticale dans le repère qui passe par $x = 4$.
4. d) Une parabole « couchée » dont l'équation est $x = y^2$.

Un réservoir d'eau a la forme d'un cône renversé. Il se remplit à un rythme constant. La relation entre le volume d'eau ($V$) et la hauteur atteinte par l'eau ($h$) est donnée par la fonction :

$$V(h) = \frac{1}{3} \cdot \pi \cdot (0,5h)^2 \cdot h$$

1. a) Simplifier l'expression de la fonction $V(h)$.
2. b) Est-ce une fonction linéaire ? Justifier la réponse en observant le degré de la variable $h$.
3. c) Calculer l'antécédent de $V = \frac{2\pi}{3}$, c'est-à-dire la hauteur $h$ nécessaire pour avoir ce volume.
4. d) Si le réservoir a une hauteur totale de $4$ mètres, quels sont l'ensemble de définition et l'ensemble image de la fonction dans cette situation ?

Observer le tableau de valeurs suivant qui relie deux grandeurs, $A$ et $B$ :

Grandeur A ($x$)	-2	-1	0	1	2
Grandeur B ($y$)	5	2	1	2	5

1. a) Trouver une expression algébrique (formule) qui relie $y$ à $x$.
2. b) Indiquer s'il s'agit d'une fonction et justifier.
3. c) Déterminer les points d'intersection avec les axes.
4. d) Si l'on complète le tableau avec la valeur $x = 1$ et qu'on lui associe $y = 3$, serait-ce encore une fonction ? Justifier la réponse.

Un opérateur de téléphonie propose un forfait pour adolescents appelé « Gamer Pro ». Le coût mensuel ($C$) en euros dépend des gigaoctets ($g$) consommés :

• Les $20\ \text{GB}$ premiers sont gratuits (inclus dans l'abonnement fixe de $15\ €$).

• À partir de $20\ \text{GB}$, chaque gigaoctet supplémentaire coûte $1,5\ €$, mais seulement jusqu'à un maximum de $50\ \text{GB}$ de consommation totale.

• Si l'on consomme plus de $50\ \text{GB}$, le débit est réduit et plus rien n'est facturé.

1. a) Représenter graphiquement la fonction $C(g)$ pour une consommation comprise entre $0$ et $80\ \text{GB}$.

1. b) Définir la fonction par une expression algébrique par morceaux.

1. c) Indiquer les intervalles sur lesquels la fonction est constante et ceux sur lesquels elle est croissante.

1. d) Quels sont l'ensemble de définition et l'ensemble image de cette fonction ?

Vous pouvez le faire sur papier et envoyer une photo de votre réponse.