Exercices: Statistiques avec outils numériques et lecture critique

La figure montre une feuille de calcul avec les âges des membres d'un club de lecture. Dans les cellules B11 et B12, la feuille affiche les résultats des formules $=\text{MOYENNE}(B2:B9)$ et $=\text{MÉDIANE}(B2:B9)$, respectivement. Dans la barre supérieure apparaît la formule de la cellule B11, qui est la cellule sélectionnée.

1. a) Que calcule la formule de la cellule B11, $=\text{MOYENNE}(B2:B9)$ ?

1. b) Et celle de la cellule B12, $=\text{MÉDIANE}(B2:B9)$ ?

1. c) Calculer à la main les deux valeurs à partir des âges de B2 à B9 et vérifier qu'elles coïncident avec celles affichées par la feuille en B11 et B12.

Une chaîne de télévision a présenté ce diagramme en barres sur l'audience de deux émissions, comme le montre la figure.

1. a) À première vue, combien de fois plus d'audience l'émission B semble-t-elle avoir que l'émission A ?

1. b) Lire les valeurs réelles des barres et calculer le véritable rapport entre les deux audiences.

1. c) Quel procédé le graphique utilise-t-il pour exagérer la différence ? Comment devrait être l'axe vertical pour ne pas tromper ?

Vous pouvez le faire sur papier et envoyer une photo de votre réponse.

Une calculatrice statistique indique que la moyenne des $10$ notes d'un groupe est $6,4$ et que la médiane est $6,5$.

1. a) Si le professeur décide d'ajouter $0,5$ points à tous les élèves, quelles seront la nouvelle moyenne et la nouvelle médiane ? Justifier la réponse sans connaître les notes.

1. b) Si, au lieu de cela, il multiplie toutes les notes par $1,1$, que deviennent la moyenne et la médiane ?

1. c) La somme des $10$ notes était $64$. Après vérification, une note de $4$ devient $7$. Quelle est la nouvelle moyenne ?

Pour chacune de ces séries de données, choisir le graphique le plus adapté (diagramme en barres, diagramme circulaire, courbe, polygone des fréquences ou histogramme) et justifier ce choix :

1. a) Le pourcentage de temps qu'un adolescent consacre au sommeil, aux études, aux loisirs et aux écrans.

1. b) L'évolution de la température moyenne d'une ville mois après mois pendant un an.

1. c) Les notes de mathématiques d'une classe de $28$ élèves.

1. d) Le nombre d'animaux de compagnie que possèdent à la maison les élèves d'une classe.

Vous pouvez le faire sur papier et envoyer une photo de votre réponse.

Lucas utilise un tableur pour calculer la moyenne de ses cinq contrôles de mathématiques. Il a saisi les notes dans les cellules de $B2$ à $B6$ : $6$, $7$, $8$, $7$ et $7$. Pour s'organiser, dans la cellule $B7$ il calcule la somme de toutes les notes avec la formule $=\text{SUMA}(B2:B6)$, et obtient $35$. Ensuite, dans la cellule $B8$, il écrit $=\text{MOYENNE}(B2:B7)$ en espérant obtenir sa moyenne finale, mais l'écran affiche $11,67$, une note impossible puisqu'elle est sur $10$.

1. a) Repérer l'erreur commise par Lucas dans la définition de la plage de la formule en $B8$ et expliquer en raisonnant pourquoi le tableur renvoie $11,67$.
2. b) Écrire la formule correcte qu'il aurait dû saisir en $B8$ pour calculer la moyenne directement avec la fonction $\text{MOYENNE}$.
3. c) Si Lucas voulait utiliser la valeur de la somme qu'il a déjà calculée en $B7$, quelle formule avec des opérations arithmétiques élémentaires (sans utiliser le mot $\text{MOYENNE}$) pourrait-il écrire en $B8$ ?

Le bulletin d'information d'une commune publie un diagramme en barres pour montrer l'augmentation du nombre de personnes inscrites au complexe sportif municipal. En 2022, il y avait $500$ inscrits et en 2023, on en a enregistré $520$. Cependant, le concepteur du graphique a décidé de tronquer l'axe vertical et de le faire commencer à $490$ au lieu de $0$. Ainsi, la barre de 2022 a une hauteur de $10$ mm ($500 - 490$) et celle de 2023 mesure $30$ mm ($520 - 490$).

1. a) Estimer l'impression visuelle d'un habitant qui regarde le graphique sans lire les valeurs de l'axe : par combien le nombre d'utilisateurs semble-t-il avoir été multiplié ?
2. b) Vérifier la réalité en calculant le pourcentage d'augmentation réel des inscriptions entre 2022 et 2023.
3. c) Évaluer de façon critique si le graphique est trompeur et expliquer quelle modification géométrique indispensable l'axe vertical devrait avoir pour ne pas fausser la perception du lecteur.

La figure montre une feuille de calcul avec les points marqués par match par une joueuse de basket, comme indiqué ci-dessous.

1. a) Quelle valeur affichera la cellule B10 si elle contient la formule $=\text{MOYENNE}(B2:B8)$ ? La calculer.

1. b) La cellule B11 contient $=\text{MAX}(B2:B8) - \text{MIN}(B2:B8)$. Quel paramètre statistique calcule-t-elle et quelle est sa valeur ?

1. c) Écrire avec vos mots la formule qu'il faudrait saisir pour obtenir le nombre de matchs où elle a marqué plus de $15$ points.

Une marque de boissons a publié ce diagramme circulaire sur les préférences des consommateurs, comme le montre la figure.

1. a) Additionner les pourcentages de tous les secteurs. Quel résultat obtient-on ? Est-ce possible dans un diagramme circulaire ?

1. b) Expliquer ce qui a pu se passer dans l'enquête pour obtenir ces données et pourquoi le diagramme circulaire n'est pas adapté pour les présenter.

1. c) Quel type de graphique choisiriez-vous pour représenter correctement ces pourcentages ?

Le conseil d'administration d'un lycée de $850$ élèves veut décider quelle nouvelle activité extrascolaire proposer. Une élève interroge $40$ élèves à la sortie du gymnase et conclut : « $70\ \%$ des élèves veulent plus de sport, donc il faut ouvrir un club d'escalade ».

1. a) Quelle est la taille de l'échantillon ? Et la population ?

1. b) Quel défaut présente la façon de choisir l'échantillon ? Comment cela affecte-t-il la conclusion ?

1. c) Proposer une meilleure façon de sélectionner les $40$ personnes interrogées et expliquer pourquoi la conclusion serait plus fiable.

1. d) Quel pourcentage de la population représente l'échantillon ? L'exprimer avec deux décimales.

Un entraîneur utilise une application pour comparer les minutes jouées par deux équipes de basket sur $10$ matchs. L'application affiche ces résultats :

• Équipe Nord : moyenne $= 18,4$ min, écart type $= 7,9$ min.

• Équipe Sud : moyenne $= 17,8$ min, écart type $= 2,1$ min.

1. a) Quelle équipe répartit le plus équitablement les minutes entre ses joueurs ? Quel paramètre l'indique ?

1. b) Si l'entraîneur du Nord veut qu'un joueur précis joue beaucoup, peut-on s'attendre à ce qu'il y parvienne ? Et au Sud ?

1. c) La moyenne de l'équipe Nord est un peu plus élevée. Cela signifie-t-il que tous ses joueurs jouent plus que ceux du Sud ? Justifier la réponse.

Une petite entreprise locale de services informatiques compte sept salariés. Dans un tableur, on a enregistré leurs salaires nets mensuels (en euros) dans les cellules de $B2$ à $B8$ : $1\,250$, $1\,300$, $1\,300$, $1\,350$, $1\,400$, $1\,450$ et $5\,950$ (ce dernier correspond à la direction de l'entreprise). Pour publier une offre d'emploi, le service communication doit décider quel paramètre statistique indiquer comme « salaire typique » de l'équipe.

1. a) Calculer le résultat que donnerait la formule $=\text{MOYENNE}(B2:B8)$ et celui que donnerait $=\text{MÉDIANE}(B2:B8)$.
2. b) Choisir laquelle des deux méthodes est la plus représentative pour informer honnêtement une personne qui postule à un poste de débutant dans l'entreprise et justifier ce choix en analysant l'impact du salaire le plus élevé.
3. c) Si l'entreprise décide finalement de publier la valeur de la moyenne plutôt que celle de la médiane, quelle intention persuasive poursuit-elle selon vous et quelle règle de la lecture critique des données est enfreinte ?

Dans un tableur scolaire, les cellules de $B2$ à $B6$ contiennent les heures hebdomadaires que cinq élèves d'une classe consacrent au sport. Par erreur, la donnée de la cellule $B6$ a été effacée. Pour les quatre autres cellules, on connaît les valeurs : $3$, $4$, $6$ et $8$ heures.

1. a) Sachant que la cellule $B7$ contient la formule $=\text{MOYENNE}(B2:B6)$ et renvoie exactement $6$ heures, reconstituer la valeur numérique qui doit figurer dans la cellule vide $B6$.
2. b) Avec la donnée de $B6$ retrouvée, calculer la valeur que renverrait la formule $=\text{MÉDIANE}(B2:B6)$.
3. c) Imaginer que l'élève de la cellule $B6$ pratique à un niveau professionnel et s'entraîne en réalité $25$ heures par semaine au lieu de la valeur que vous avez trouvée. Sans tout recalculer, expliquer si la valeur de la médiane changerait par rapport à la question précédente et justifier pourquoi la médiane est un paramètre plus robuste que la moyenne face aux valeurs atypiques.

Tâche de décision. Un journal en ligne publie le titre « Les dépenses des adolescents en jeux vidéo explosent ! » accompagné du graphique de la figure, comme indiqué ci-dessous.

1. a) Lire les valeurs réelles de la dépense annuelle sur le graphique et calculer le véritable pourcentage d'augmentation entre la première et la dernière année.

1. b) Pourquoi le graphique donne-t-il une impression bien plus alarmante que les données ? Indiquer au moins deux choix de conception qui en sont la cause.

1. c) Réécrire le titre de façon honnête en utilisant les données.

1. d) Quelles questions poseriez-vous sur l'échantillon de l'enquête avant d'accepter même cette augmentation modérée ?

Pour calculer l'écart type des données $4$, $6$, $7$, $7$, $9$, $11$ avec un tableur, on construit un tableau avec des colonnes auxiliaires :

Donnée $x_i$	$x_i - \bar{x}$	$(x_i - \bar{x})^2$
$4$
$6$
$7$
$7$
$9$
$11$

1. a) Calculer la moyenne $\bar{x}$ et compléter le tableau dans votre cahier.

1. b) Quelle formule de tableur donnerait la valeur de la cellule de la deuxième colonne pour la donnée $4$ ? Et celle de la troisième colonne ?

1. c) Calculer la moyenne des carrés de la troisième colonne (la variance) puis, avec la calculatrice, déterminer la racine carrée pour obtenir l'écart type.

1. d) La somme de la deuxième colonne vaut $0$. Est-ce un hasard ou cela se produirait-il avec n'importe quelle série de données ? Justifier.

Vous pouvez le faire sur papier et envoyer une photo de votre réponse.

Un club d'athlétisme doit recruter une relayeuse et dispose des temps des deux candidates lors de leurs $8$ dernières courses de $100\ \text{m}$ :

• Candidate 1 : moyenne $= 12,40\ \text{s}$, écart type $= 0,45\ \text{s}$.

• Candidate 2 : moyenne $= 12,55\ \text{s}$, écart type $= 0,10\ \text{s}$.

1. a) L'entraîneur a besoin d'une coureuse qui descende sous $12,9\ \text{s}$ avec la plus grande fiabilité lors du championnat, car un mauvais temps élimine l'équipe. Qui recrute-t-il ? Justifier la réponse en utilisant la moyenne et l'écart type.

1. b) Si, au contraire, il cherchait la coureuse capable de réaliser la meilleure performance du jour, votre choix changerait-il ? Pourquoi ?

1. c) Calculer le coefficient de variation de chaque candidate, $CV = \frac{\sigma}{\bar{x}}$, et expliquer quelle information il apporte par rapport à l'écart type.

Indiquer si chaque affirmation sur l'usage des outils numériques en statistiques est vraie ou fausse et justifier la réponse :

1. a) « La moyenne calculée avec un tableur à partir de données regroupées en classes (en utilisant les centres de classe) est exactement égale à celle calculée avec les données d'origine. »

1. b) « Si un graphique statistique est réalisé avec un logiciel, il ne peut pas être trompeur. »

1. c) « Une calculatrice scientifique peut donner l'écart type même si nous ne comprenons pas la formule, mais l'interpréter reste notre travail. »

1. d) « Pour comparer la dispersion de deux séries de données dont les moyennes sont très différentes, il vaut mieux utiliser l'écart type que le coefficient de variation. »

Un site d'actualités publie le titre suivant : « Alerte sanitaire : manger de la pastèque en été fait exploser les hospitalisations pour insolation ». Pour le justifier, il présente le tableau suivant, avec des données véridiques d'une région sur six mois, saisies dans un tableur dans les colonnes $A$ (Mois), $B$ (Tonnes de pastèques vendues) et $C$ (Cas pris en charge pour insolation) :

• Mai : $15$ t de pastèques et $2$ insolations.

• Juin : $60$ t de pastèques et $16$ insolations.

• Juillet : $150$ t de pastèques et $45$ insolations.

• Août : $170$ t de pastèques et $52$ insolations.

• Septembre : $45$ t de pastèques et $8$ insolations.

• Octobre : $10$ t de pastèques et $0$ insolations.

1. a) Modéliser la relation observée entre les deux variables : décrire s'il existe une corrélation positive, négative ou nulle entre la consommation de pastèque et les cas d'insolation, en le justifiant à partir des données du tableau.
2. b) Appliquer le critère de lecture critique « corrélation n'est pas causalité » pour démonter le titre de l'article. Quelle est la variable de confusion sous-jacente qui explique que les deux séries de données augmentent et diminuent ensemble ?
3. c) Dans la cellule $C7$ figure un $0$ correspondant au mois d'octobre. Si quelqu'un effaçait ce nombre en laissant la cellule totalement vide (blanche), comment cela affecterait-il le résultat renvoyé par la formule $=\text{MOYENNE}(C2:C7)$ ? Expliquer la différence technique entre la façon dont un tableur traite une cellule vide et une cellule contenant le nombre $0$ lors du calcul de la moyenne.

Une marque de boissons gazeuses lance une campagne publicitaire avec le slogan : « $80\,\%$ des consommateurs préfèrent notre marque à celle du concurrent leader ». En examinant le rapport technique qui appuie la publicité, une association de consommateurs découvre trois choix méthodologiques discutables :

1. L'échantillon total était de $20$ clients choisis à la sortie d'un concert sponsorisé par la marque elle-même (dont $16$ ont répondu « Oui » à sa boisson et $4$ ont répondu « Non »).

2. La publicité comprend un diagramme circulaire où le secteur du « Oui » est dessiné avec un angle au centre de $324^\circ$ et celui du « Non » de $36^\circ$.

3. La marque soutient que si elle parvient à convaincre $5$ personnes de plus de voter favorablement lors d'un second sondage portant sur $25$ personnes au total ($21$ votes favorables sur $25$), le pourcentage d'approbation aura augmenté d'exactement $25\,\%$ par rapport à l'échantillon initial.

1. a) Repérer l'erreur commise dans la construction du diagramme circulaire : calculer l'angle du secteur qui correspondrait réellement à $80\,\%$ et expliquer quel effet visuel trompeur provoque l'angle dessiné par la marque.
2. b) Formuler une critique argumentée sur la taille de l'échantillon et la méthode de sélection : pourquoi ne peut-on pas étendre ces résultats à l'ensemble des consommateurs français ?
3. c) Corriger l'erreur de calcul du rapport technique : calculer le pourcentage d'approbation réel s'il y avait $21$ avis favorables sur $25$ personnes interrogées et expliquer pourquoi il est faux de dire que l'approbation a augmenté de $25\,\%$, en précisant la différence entre points de pourcentage et pourcentage d'augmentation.

Défi du thème. Le temps de ces deux dernières semaines est-il représentatif dans votre commune ? Devenez analyste de données et rédigez un rapport météorologique critique.

1. Recueil et classement : Accéder au site de Météo-France et noter la température maximale quotidienne de votre département pendant les $15$ derniers jours. Identifier en justifiant le type de variable statistique et réaliser dans un tableur (ou GeoGebra) son tableau d'effectifs et de fréquences complet.

2. Paramètres et graphique : À l'aide de formules du tableur, obtenir la moyenne ($\bar{x}$), la médiane ($Me$), l'étendue et l'écart type ($\sigma$). Avec le même outil, produire le graphique statistique le plus pertinent, en légendant correctement les axes et les unités.

3. Lecture critique et conclusions : Rédiger un court rapport (une page) analysant si la moyenne décrit fidèlement le comportement thermique ou si un écart type élevé (par exemple, supérieur à $3,5$ °C) indique une dispersion trop importante. Réfléchir : un média pourrait-il manipuler la perception du climat en n'utilisant qu'un seul de ces paramètres ?

Seront évalués :

• La rigueur dans le classement de la variable et la réalisation correcte du tableau d'effectifs.

• La précision des paramètres calculés et la qualité technique du graphique dans le tableur ou GeoGebra.

• La profondeur de la lecture critique sur la représentativité des mesures et la dispersion.