Exercices: Paramètres statistiques

Dans une étude sur l'usage des réseaux sociaux, on a demandé à un groupe d'adolescents combien d'heures par jour ils consacrent à regarder des vidéos sur TikTok. Les résultats obtenus sont :

$2, 3, 1, 4, 2, 3, 2, 5, 2, 1$

Identifier la population de l'étude et calculer le mode des heures d'utilisation.

Sept amis comparent le nombre de messages non lus dans leur application de messagerie. Les données sont les suivantes :

$12, 15, 8, 20, 15, 14, 11$

Calculer la moyenne ($\bar{x}$) du nombre de messages en attente de ce groupe.

Pendant une semaine d'entraînement, une athlète a noté les kilomètres parcourus chaque jour pour préparer une course :

$5, 8, 10, 12, 15, 18, 21$

Déterminer la médiane ($Me$) de la distance parcourue. Quelle est la signification de cette valeur par rapport au total des jours d'entraînement ?

Le graphique suivant montre les températures maximales relevées dans un refuge de montagne pendant les 5 premiers jours de janvier.

Sachant que les températures ont été $4^\circ C, 6^\circ C, 2^\circ C, 8^\circ C$ et $5^\circ C$, calculer l'étendue des températures sur ces jours.

Un professeur a organisé dans un tableau d'effectifs le nombre de fautes d'orthographe de ses élèves lors de la dernière dictée :

Fautes ($x_i$)	Nb d'élèves ($f_i$)
$0$	$8$
$1$	$12$
$2$	$6$
$3$	$4$

Calculer la moyenne du nombre de fautes de la classe à l'aide des données du tableau.

Deux équipes d'e-sport ont noté leurs scores lors des 5 dernières parties.

• Équipe A : $85, 88, 90, 92, 95$

• Équipe B : $60, 75, 90, 105, 120$

Les deux équipes ont la même moyenne, $\bar{x} = 90$. Sans effectuer de calculs complexes d'écart type, observer les données et expliquer laquelle des deux équipes est la plus régulière (a la plus faible dispersion) et pourquoi.

On a mesuré la taille d'un groupe d'élèves de 3e et on a rangé les données par ordre croissant. Les valeurs des quartiles obtenues sont :

$Q_1 = 158 \text{ cm}, Q_2 = 165 \text{ cm}, Q_3 = 172 \text{ cm}$

1. a) Quelle est la valeur de la médiane ?
2. b) Quel pourcentage d'élèves mesure $172 \text{ cm}$ ou moins ?

Observer la représentation suivante d'une série de données sur une droite graduée. Les points représentent le nombre d'animaux de compagnie que possèdent plusieurs voisins :

À partir du graphique, écrire la liste des données et calculer le mode ($Mo$) et l'étendue.

Marc veut calculer la médiane des notes qu'il a obtenues à sept contrôles de mathématiques au cours de l'année : $4$, $8$, $3$, $9$, $5$, $7$ et $2$. Sur sa copie, il écrit la justification suivante :

« Comme il y a $7$ notes, la médiane est la valeur qui occupe la position centrale, c'est-à-dire le quatrième élément de la liste. Je compte de gauche à droite et le quatrième nombre est $9$, donc la médiane est $Me = 9$ ».

1. a) Identifier et expliquer en raisonnant quelle erreur conceptuelle Marc a commise.
2. b) Sans la calculer pour l'instant, pourquoi est-il impossible que la médiane de cette série de notes soit $9$ ?
3. c) Corriger la méthode et calculer la valeur réelle de la médiane et du mode de ses notes.

Lors d'une compétition scolaire d'athlétisme, une athlète de lancer du poids a enregistré lors de ses cinq essais les distances suivantes (en mètres) : $8,1$ ; $8,3$ ; $8,0$ ; $8,4$ et $12,2$.

1. a) Estimer : sans faire de calculs écrits, estimer entre quels deux nombres entiers se situera la moyenne et expliquer si la médiane sera, selon vous, supérieure, inférieure ou égale à cette moyenne estimée. Justifier la réponse en observant la répartition des valeurs.
2. b) Vérifier : calculer exactement la moyenne ($\bar{x}$) et la médiane ($Me$) des lancers.
3. c) Évaluer : comparer les résultats avec l'estimation initiale. Expliquer avec vos mots comment le dernier lancer ($12,2$ m) a influencé la moyenne et pourquoi il a à peine modifié la médiane.

Un groupe de 20 adolescents a noté combien de fois ils sont allés au cinéma au cours des six derniers mois. Les données obtenues sont les suivantes :

$2, 3, 0, 1, 5, 3, 2, 1, 0, 0, 2, 4, 3, 2, 1, 1, 6, 2, 0, 3$

Organiser ces données dans un tableau d'effectifs et calculer les mesures de tendance centrale : la moyenne ($\bar{x}$), la médiane ($Me$) et le mode ($Mo$). Laquelle d'entre elles représente selon vous le mieux le groupe ?

Deux applications de messagerie, « App A » et « App B », sont en concurrence pour être les plus stables. On a mesuré le temps de réponse (en millisecondes) lors de 10 essais différents, avec les résultats suivants :

• App A : $\bar{x} = 120$ ms ; $\sigma = 15$ ms

• App B : $\bar{x} = 125$ ms ; $\sigma = 5$ ms

Calculer le coefficient de variation ($CV$) des deux applications et expliquer en justifiant laquelle des deux est la plus « fiable » ou la plus régulière dans son fonctionnement pour un utilisateur.

Un club d'e-sport a relevé le temps (en minutes) que mettent ses membres pour terminer un niveau difficile d'un jeu vidéo. Les résultats figurent dans ce tableau de données regroupées :

Temps (min)	$[10 ; 20[$	$[20 ; 30[$	$[30 ; 40[$	$[40 ; 50[$
Nombre de joueurs	4	12	8	6

Calculer la moyenne et l'écart type de la série en utilisant les centres de classe.

Les notes de Lucie aux quatre premiers contrôles de mathématiques ont été $6,5$, $4$, $8$ et $7,5$. Il lui reste un cinquième contrôle à passer : quelle note doit-elle obtenir pour que sa moyenne finale soit exactement de $7$ ? Justifier votre réponse en posant une équation.

On a réalisé une enquête sur le nombre d'heures hebdomadaires que les élèves de 3e consacrent à la lecture de livres pour le plaisir. Les paramètres de position obtenus sont :

$\text{Min} = 0$ ; $Q_1 = 2$ ; $Me = 4$ ; $Q_3 = 7$ ; $\text{Max} = 12$

Tracer le diagramme en boîte correspondant. Si un élève lit 6 heures par semaine, dans quel quart de la population se situe-t-il (entre 0-25 %, 25-50 %, 50-75 % ou 75-100 %) ?

Vous pouvez le faire sur papier et envoyer une photo de votre réponse.

Dans une classe d'EPS, on a mesuré le temps de récupération de deux groupes après une course. Les deux groupes ont la même moyenne de pulsations, $\bar{x} = 85$ bpm. Cependant, la variance du groupe 1 est $S^2 = 16$ et celle du groupe 2 est $S^2 = 100$.

1. a) Calculer l'écart type de chaque groupe.
2. b) Dans lequel des deux groupes les élèves ont-ils une condition physique plus proche les uns des autres ? Justifier votre réponse en vous appuyant sur la dispersion.

Une boutique de vêtements pour jeunes veut analyser l'âge de ses clients. Pour cela, elle prend un échantillon de 10 personnes un samedi matin :

$14, 15, 16, 14, 22, 15, 17, 14, 35, 16$

1. a) Calculer l'étendue et l'âge moyen.
2. b) La médiane est de $15,5$ ans. Si l'on retire le client de 35 ans (considéré comme une valeur aberrante), calculer la nouvelle moyenne et la nouvelle médiane. Quel paramètre a le plus changé ? Pourquoi, selon vous ?

Observer les deux séries de données suivantes, qui représentent les points marqués par deux joueurs de basket lors de leurs 5 derniers matchs :

• Joueur A : $18, 20, 22, 19, 21$

• Joueur B : $10, 30, 5, 25, 30$

Sur la figure, les mêmes données sont représentées sur une droite graduée (chaque point correspond à un match).

Sans effectuer de calculs complexes de variance, observer les données et répondre :

1. Ont-ils la même moyenne ?

2. Lequel des deux joueurs est le plus « constant » dans ses scores ?

3. Si vous deviez en choisir un pour jouer la dernière minute d'une finale, lequel choisiriez-vous et pourquoi ? Utiliser les notions de moyenne et de dispersion dans votre réponse.

Une équipe de recherche en sociologie recueille un ensemble de $5$ nombres entiers positifs correspondant au nombre de livres lus par an par un petit groupe d'étudiants. Les données d'origine ont été perdues, mais le rapport final conserve intacts les paramètres suivants :

• Le mode est unique et égal à $4$.

• La médiane est $5$.

• L'étendue est $8$.

• La moyenne est $7$.

Déterminer de façon ordonnée et justifiée quels sont les $5$ nombres d'origine. Justifier chaque étape en expliquant quelle propriété statistique permet de fixer ou d'écarter chacune des valeurs.

Une start-up de design technologique à Nice compte $8$ salariés. Leurs salaires mensuels nets en euros sont : $1\,200$, $1\,250$, $1\,300$, $1\,300$, $1\,400$, $1\,450$, $1\,500$ et $6\,600$ (ce dernier correspond à la fondatrice).

1. a) Calculer la moyenne, la médiane et le mode des salaires.
2. b) Dans une offre d'emploi, l'entreprise affirme : « Le salaire moyen de notre équipe est de $2\,000$ € par mois. » De leur côté, les représentants des salariés soutiennent que le salaire le plus représentatif avoisine $1\,300$ €–$1\,400$ €. Comparer les deux indicateurs de position (moyenne et médiane) : lequel décrit le plus fidèlement la rémunération habituelle des salariés ? Justifier votre réponse en analysant l'impact du salaire atypique.
3. c) Pour étudier la dispersion de ces salaires, on propose deux options : calculer l'étendue ou calculer l'écart interquartile ($Q_3 - Q_1$). Justifier laquelle des deux mesures est préférable dans ce cas.

Dans un groupe de $10$ amis, la moyenne des tailles est de $172$ cm. Si une personne mesurant $194$ cm rejoint le groupe, quelle sera la nouvelle moyenne ? Si ensuite une autre personne mesurant $161$ cm s'en va, quelle sera la moyenne finale du groupe ? Justifier pas à pas comment chaque changement modifie la somme totale des tailles pour effectuer le calcul.

Deux joueurs d'e-sport, Alex et Bea, ont enregistré leurs scores lors des $8$ dernières parties d'un tournoi.

• Alex : $85, 90, 88, 92, 87, 89, 91, 88$

• Bea : $70, 98, 65, 100, 75, 95, 80, 100$

1. a) Calculer la moyenne et l'écart type des deux joueurs.
2. b) Utiliser le coefficient de variation ($CV$) pour déterminer lequel des deux est le joueur le plus régulier et le plus fiable pour l'équipe. Expliquer ce que signifie, dans ce contexte, qu'un joueur ait un écart type beaucoup plus élevé que l'autre si leurs moyennes étaient similaires.

Une entreprise de messagerie analyse le poids des colis qu'elle transporte. Les données ont été regroupées dans le tableau d'effectifs par classes suivant :

Poids en kg $[L_i ; L_s[$	Nombre de colis ($n_i$)
$[0 ; 2[$	$12$
$[2 ; 4[$	$25$
$[4 ; 6[$	$38$
$[6 ; 8[$	$15$
$[8 ; 10[$	$10$

Calculer la moyenne, la variance et l'écart type de la série. Pour cela, déterminer d'abord les centres de classe ($x_i$) de chaque classe.

Observer le diagramme en boîte suivant, qui représente le nombre d'heures hebdomadaires d'utilisation d'une application mobile dans un échantillon d'adolescents :

À l'aide du graphique, répondre :

1. a) Quelle est la valeur de la médiane, du premier quartile ($Q_1$) et du troisième quartile ($Q_3$) ?
2. b) Calculer l'écart interquartile ($RIC$).
3. c) Justifier si la distribution est symétrique ou asymétrique. Dans quelle moitié des données la dispersion est-elle la plus grande ?

Un professeur a corrigé les copies d'une classe de $25$ élèves. La moyenne est de $6,4$ et l'écart type de $1,2$. Après avoir revu l'un des exercices, il décide d'ajouter $0,5$ points à tous les élèves de la classe.

1. a) Quelles seront la nouvelle moyenne et le nouvel écart type ?
2. b) Si, au lieu d'ajouter une quantité fixe, il décidait d'augmenter toutes les notes de $10\%$, comment ces deux paramètres seraient-ils modifiés ? Justifier votre réponse à l'aide des propriétés des paramètres statistiques.

Inventer une série de $6$ données statistiques (nombres entiers positifs) qui vérifient simultanément les conditions suivantes :

1. Le mode est $4$.

2. La médiane est $5$.

3. L'étendue est $10$.

4. La moyenne est supérieure à la médiane.

Montrer les calculs qui vérifient que votre série remplit toutes les conditions.

Dans une petite entreprise, les salaires des $5$ employés sont : $1100€, 1200€, 1250€, 1300€$ et $1400€$. Le directeur a un salaire de $4500€$.

1. a) Calculer la moyenne et la médiane des salaires en incluant le directeur.
2. b) Laquelle des deux mesures représente le mieux le salaire « typique » de l'entreprise ? Expliquer l'effet du salaire du directeur (valeur extrême) sur la moyenne et pourquoi la médiane est un paramètre plus robuste dans ce cas.
3. c) Si l'on veut donner une image de prospérité dans la publicité de l'entreprise, quel paramètre utiliserait-on ? Serait-ce trompeur ?

À partir des séries historiques de Météo-France, on a relevé les précipitations annuelles (en litres par mètre carré, $\text{l/m}^2$) de deux villes françaises sur cinq années représentatives :

• Nantes : $1\,200$, $1\,300$, $1\,100$, $1\,400$, $1\,000$

• Nice : $200$, $150$, $300$, $100$, $250$

1. a) Calculer la moyenne ($\bar{x}$), la variance ($s^2$) et l'écart type ($s$) des précipitations de chaque ville.
2. b) Une personne affirme : « Le volume de pluie à Nantes est beaucoup plus irrégulier qu'à Nice parce que son écart type est pratiquement le double. » Utiliser le coefficient de variation ($CV = s / \bar{x}$) exprimé en pourcentage pour réfuter ou défendre cette affirmation avec rigueur mathématique.
3. c) Justifier pourquoi, dans cette étude, il est méthodologiquement correct d'utiliser le coefficient de variation avec les précipitations en $\text{l/m}^2$, alors qu'il n'aurait pas de sens mathématique de l'appliquer directement aux températures moyennes annuelles mesurées en degrés Celsius ($^\circ\text{C}$).

Une coopérative rizicole de la Camargue conditionne des paquets de riz dont le poids nominal est fixé à $1\,000$ g. Pour vérifier le réglage de deux lignes de conditionnement, le contrôle qualité prélève un échantillon de $5$ paquets sur chaque machine :

• Machine A : $995$, $1\,000$, $1\,005$, $998$, $1\,002$ (en grammes).

• Machine B : quatre paquets ont été relevés avec des poids de $980$, $1\,020$, $990$, $1\,010$ (en grammes), mais le poids du cinquième paquet n'a pas été noté à cause d'un problème informatique.

1. a) Déterminer quel doit être le poids du cinquième paquet de la machine B pour que les deux lignes aient exactement la même moyenne de $1\,000$ g.
2. b) Avec la valeur trouvée, calculer l'écart type ($s$) et le coefficient de variation en pourcentage ($CV_{\%}$) de chacune des deux machines.
3. c) Le protocole qualité de l'usine exige que le coefficient de variation d'une conditionneuse ne dépasse pas $1\%$. Déterminer en justifiant si les deux machines respectent la norme et expliquer quels préjudices économiques ou commerciaux subirait la coopérative si elle utilisait la machine la plus dispersée, bien que sa moyenne soit exactement de $1\,000$ g.